相似三角形第12讲.doc

相似三角形解题方法指导（四）
知识回顾 一网打尽
Ⅰ. 梳理知识
1.相似三角形与相似多边形的性质
(1)相似三角形的性质
①相似三角形的三边 ，三角 .
②相似三角形的 ， 与 都等于相似比.
③相似三角形周长之比等于 ，相似三角形面积之比等于 .
(2)相似多边形的性质
①相似多边形的对应边 ，对应角 .
②相似多边形的对角线之比、周长之比都等于 .
③相似多边形面积之比等于 .
2.几何变换(按一定的方法把一个图形变成另一个图形)
(1)相似变换：保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换
(2)位似变换
①位似图形：如果两个图形不仅是 图形，而且每组对应点所在的直线都 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 .
②位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到 的距离之比等于位似比.
5.相似三角形的应用——测量旗杆的高度(利用阳光下的影子；利用标杆；利用镜子的反射.)
知识要点 基础练习
一、选择题
1.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有( )

图1 图2 图3 图4
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列能使三角形一定相似的是( )
A.两边对应成比例的三角形 B.两边分别成比例的直角三角形
C.两边对应成比例的等腰三角形 D.两直角边对应成比例的直角三角形
3.如图2，下列条件不能判别△ACD∽△ABC的是( )
A.∠ADC=∠ACB B.∠ACD=∠B C.AC2=AD·AB D.
5.已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=5，CD=3，则AD等于( )
A.2.25 B.2.5 C.2.75 D.3
6.如图3，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高________米（ ）
A.11.25 B.6.6 C.8 D.10.5
7.一个地图上标准比例尺是1∶300000,图上有一条形区域，其面积约为24 cm2，则这块区域的实际面积约为（ ）平方千米（ ）
A.2160 B.216 C.72 D.10.72
8.如图4，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A.AE⊥AF B.EF∶AF=∶1
C.AF2=FH·FE D.FB∶FC=HB∶EC
9.如图5，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
A.2∶1 B.∶1 C.∶1 D.4∶1

图5 图6 图7 图8
10.如图6，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1、S2，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
11.如图7，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB∶AC等于（ ）
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶ D.1∶2
12.顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ D.1∶2
13.△ABC∽△A′B′C′，相似比是2∶3，那么△A′B′C′与△ABC面积的比是( )
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
14.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( )
A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
15.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
16.如图8，ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6 cm2，则S△CBF等于( )

A.12 cm2 B.24 cm2 C.54 cm2 D.15 cm2
典型例题 方法指导
考点1 利用三角形相似计算物体的长度
例题1
(1).如图1，△ABC中，AB=9，AC=6，点D在AB上，且AD=3，点E在AC上，如果连接DE，使△ADE与原三角形相似，那么AE=________.
（2）垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高________米.
（3）如图2，若OA∶OD=OB∶OC=n，则x=________（用a,b,n表示）.

图2 图3 图1
(4).如图3，在△ABC中，若∠A=90°，正方形DEFG内接于△ABC，则图中与△ABC相似的三角形有________________.

考点2 相似多边形的性质的基本应用
例题2
1、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8 cm，AC=AB，则AN=________.

图1 图2 图3
2、如图2，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，(1)当BD与a、b之间满足关系式________时，△ABC∽△CDB;(2)当BD与a、b之间满足关系________时，△ABC∽△BDC.
3、若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A′B′C′的周长是________.
4、两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________.
5、如图3，在ABCD中，延长AB到E，使BE=AB，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是________.
变式练习2
1、△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，则△A′B′C′的周长为________.
2、两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为________.
3、若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，则较小的三角形的周长为________.
4已知，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.

考点3 三角形中的内接矩形
例题3
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？

变式练习3
如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.
(1)如图(1)，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长.
(2)如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.
(3)如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.
(4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，请写出正方形的边长.

考点4 三角形相似的证明经典题型
例题4
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.
(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.
已知：如图(1)E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连结BE交AC于O，求证:

注意：(1)在证明时,常常把等积式转化成比例式.(2)证明比例式时常利用中间比来证明.(3)当证明的比例式中的线段在同一直线上时,常采用相等的线段,相等的比,相等的等积式来代换相应的量.
变式练习4
1、如图，在正方形ABCD对角线上任意取点E，AE延长线交CD于F，交BC延长线于G，求证：EC2=EF·EG。

2、如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
求证：△ADE∽△ACB。

3、如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线和BC延长线交于点E，求证：DE2=BE·CE。

考点5 相似多边形的面积比与相似比的互相转化应用
例题5
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，若S△DCE∶S△DCB=1∶3，
求S△DCE∶S△ABD.

变式练习5
1、如图，DE∥BC，SΔDOE∶SΔCOB=4∶9，AD∶BD

2、（09牡丹江)如图，中，直线交于点交于点交于点若则 ．
3、（09孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．

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