初中数学经典最值问题提高题.doc

初中数学经典最值问题提高题
初中数学的几何最值问题经典例题
1。 （2016山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】
A．　　　B．　　　C．5　　　D．
2。(2016湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=,∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。
3。(2016四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 .
4。 （2016四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ．
5。（2016湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】
A.13cm B.12cm C。10cm D.8cm
6.(2016广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 ．
7.（2016浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q,K分别为线段BC，CD,BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
8.（2016四川广元3分） 如图，点A的坐标为（—1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【 】
A.（0，0） B。（，）
C。(，） D.(，）

9.(2016江苏连云港12分)已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC,AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：如图1,P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在,请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD,再以PE，PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E,使AE＝nPA(n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
10。 （2016四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
(1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动,总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化，求出最大（或最小)值．

11。 （2016福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三: ．
(2）若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论,须加以证明）

12.（2016四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
(2)将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′）与AB交于一点E,MC（即MC′）同时与AD交于一点F时,点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
13.（2016云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10cm，AC：BC=4：3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
(1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒）,△PBQ的面积为y（cm2）,当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
（3)当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
14。 （2016甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中,∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°,在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时,则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
15。（2016湖北十堰6分）阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义,并求它的最小值．
解: ,如图,建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B(3,2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3,即原式的最小值为3。
根据以上阅读材料，解答下列问题:
（1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1,1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标)
（2)代数式 的最小值为 ．
16。（2016江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　 　．
17.(2016广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E,设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长;
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值．
18.(2016江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点（与B、C不重合）,连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N（如图1).
(1）求证：AM=AN;
（2）设BP=x.
①若，BM=，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

19。 (2016陕西省12分)如图，正三角形ABC的边长为．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形,且使正方形的面积最大（不要求写作法)；
(2)求（1）中作出的正方形的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

20.(2016四川宜宾12分）如图,在△ABC中,已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动,△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
(1）求证:△ABE∽△ECM；
（2)探究：在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
(3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

21.（2016安徽省12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为（0°＜＜180°)，得到△A1B1C．

（1)如图1,当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；
（2)如图2,连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证:S1∶S2＝1∶3;
(3) 如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P,AC＝a,连接EP．当＝ °时，EP的长度最大,最大值为 ．
22．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 _________(沈阳）
23．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．(武汉)

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