江苏省高考数学二轮复习-专题7-三角恒等变换与解三角形.doc

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题7 三角恒等变换与解三角形

回顾2008～2012年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值，2009年考查了向量与三角化简的综合问题，2012年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.
预测在2013年的高考题中：
(1)填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.
(2)在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.

1．(2012·南京名校4月阶段性考试)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
解析：由题意得＝3.所以tan α＝2.
又tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.
所以(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝.
答案：
2.－sin 10°(tan－15°－tan 5°)＝________.
解析：原式＝－sin 10°
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝cos 30°＝.
答案：
3．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．
解析：设A＝θ，则B＝2θ.由正弦定理得＝，
∴＝1⇒＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°，
又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒<cos θ<，
∴AC＝2cos θ∈(，)．
答案：2　(，)
4．(2012·西安名校三检)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(，S)，满足p∥q，则∠C＝________.
解析：由p∥q⇒4S－(a2＋b2－c2)＝0，又4S＝4×absin∠C＝(a2＋b2－c2)，可得sin∠C＝×＝cos ∠C，即tan ∠C＝，故∠C＝.
答案：
5．在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A＋C)＝－，sin B＝，则cos 2(B＋C)＝________.
解析：∵A为最小角，
∴2A＋C＝A＋A＋C<A＋B＋C＝180°.
∵cos(2A＋C)＝－，∴sin(2A＋C)＝.
∵C为最大角，∴B为锐角．
又sin B＝，故cos B＝.
即sin(A＋C)＝，cos(A＋C)＝－.
∵cos(B＋C)＝－cos A＝－cos[(2A＋C)－(A＋C)]＝－，∴cos 2(B＋C)＝2cos2(B＋C)－1＝.
答案：

已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.
(1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin 2α，cos 2α的值．
[解]　(1)2α＝(α－β)＋(α＋β)．
(2)因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又因为cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝，cos(α＋β)＝－＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－，
cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)
＝×－×＝－.

三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解．

已知sin＝，则sin＋sin2的值为________．
解析：sin＋sin2＝sin ＋sin2＝sin＋sin2＝.
答案：

(2012·南通第一次调研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若2sin Acos C＝sin B，求的值；
(2)若sin(2A＋B)＝3sin B，求的值．
[解]　(1)由正弦定理得＝.
从而2sin Acos C＝sin B可化为2acos C＝b.
由余弦定理得2a×＝b.
整理得a＝c，即＝1.
(2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin(2A＋B)＝3sin B可化为sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]，
即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)．
故－sin Acos C＋cos Asin C＝3(sin Acos C＋cos Asin C)．
整理得4sin Acos C＝－2cos Asin C，
因为△ABC是斜三角形，所以cos Acos C≠0，
所以＝－.

解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用．解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考查，要注意三角形中角的限制条件．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1＋＝，则角A的大小为________．
解析：由1＋＝，得＝，
即cos A＝，故A＝.
答案：

(2012·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是________．
①若ab>c2，则C<；
②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<；
④若(a＋b)c<2ab，则C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
[解析]　①ab>c2⇒cos C＝>＝⇒C<；
②a＋b>2c⇒cos C＝>≥⇒C<；
③当C≥时，c2≥a2＋b2⇒c3≥a2c＋b2c>a3＋b3与a3＋b3＝c3矛盾；
④取a＝b＝2，c＝1满足(a＋b)c<2ab得C<；
⑤取a＝b＝2，c＝1满足(a2＋b2)c2<2a2b2得C<.
[答案]　①②③

利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：①化边为角结合内角和定理求解；②化角为边结合勾股定理、三边关系求解．

在△ABC中，sin A＝，判断这个三角形的形状．
解：应用正弦定理、余弦定理，可得a＝，所以b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．
所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)．
所以a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以a2＝b2＋c2.
所以△ABC是直角三角形．

(1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解．如角的变形：
15°＝45°－30°＝60°－45°＝，α＝(α＋β)－β＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝－.
特别地，＋α与－α为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高．
(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．

1．(2012·连云港调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝b2＋bc，sin C＝2sin B，则A＝________.
解析：由sin C＝2sin B，得c＝2b.又a2＝b2＋bc，所以cos A＝＝＝＝，所以A＝.
答案：
2．设α∈，β∈，cos＝，sin＝，则sin(α＋β)＝________.
解析：α∈，α－∈，
又cos＝，
∴sin＝.∵β∈，∴＋β∈，sin＝，∴cos＝－.
∴sin(α＋β)＝sin
＝－cos
＝－cos·cos＋sin·sin＝－×＋×＝.
即sin(α＋β)＝.
答案：
3．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝________.
解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－.
则tan α＝－.由tan(π－β)＝，可得tan β＝－，
tan 2β＝＝＝－.
tan(α－2β)＝＝＝.
答案：
4.如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是________．
解析：因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A作l2的垂线，交l2、l3分别于点D、E，如图，则∠BAD＝∠BAC＋∠CAE，即∠BAD＝60°＋∠CAE，记正三角形ABC的边长为a，两边取余弦得＝cos 60°·cos ∠CAE－sin 60°sin ∠CAE，即＝×－×整理得，＝1，解之得，a＝.
答案：
5．已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值是________．
解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝，tan(2α－β)＝＝1.
∵tan β＝－，∴β∈，
∴2α－β∈.
∴2α－β＝－.
答案：－
6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝________.
解析：∵2b＝a＋c，∴a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝4b2－2ac.在△ABC中，B＝30°，△ABC的面积，所以acsin B＝，即ac＝6，于是a2＋c2＝4b2－12，由余弦定理得cos B＝＝，即＝，解得b2＝4＋2，于是b＝1＋.
答案：1＋
7．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝，sin(B－A)＝cos C．则B＝________.
解析：因为tan C＝，即＝，
所以sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin B，
即sin Ccos A－cos Csin A＝cos Csin B－sin Ccos B，
得sin(C－A)＝sin(B－C)，
所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)．
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因为sin(B－A)＝cos C＝，
则B－A＝或B－A＝(舍去)，
得A＝，B＝.
答案：
8．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则四边形ABCD的面积为________．
解析：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积
S＝S△ABD＋S△CDB＝·AB·ADsin A＋·BC·CD·sin C.
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.
故S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)·sin A＝16sin A.
由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝20－16cos A，
在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝52－48cos C，
∴20－16cos A＝52－48cos C．∵cos C＝－cos A，
∴64cos A＝－32，cos A＝－.
又0°<A<180°，∴A＝120°，故S＝16sin 120°＝8.
答案：8
9．在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，则AD∶AB＝________.
解析：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP＝θ，
∴∠DPA＝θ，∠BDP＝2θ，
再设AB＝a，AD＝x，∴DP＝x.在△ABC中，
∠APB＝180°－∠ABP－∠BAP＝120°－θ，
由正弦定理知：＝.
∴BP＝.
在△PBD中，＝，
所以BP＝，从而＝，
∴x＝＝.
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°＋2θ≤180°.
∴当60°＋2θ＝90°，即θ＝15°时，sin(60°＋2θ)＝1，
此时x取得最小值＝(2－3)a，即AD最小，
∴AD∶DB＝2－3.
答案：2－3
10．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝×＝.
答案：
11．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＋C＝2B.
＋＝－，求cos的值．
解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°
设α＝，则A－C＝2α，可得A＝60°＋α，C＝60°－α，
所以＋＝＋
＝＋
＝＝，
依题设条件有＝，
又cos B＝，∴＝－2.
整理得4cos2α＋2cosα－3＝0，
即(2cos α－)(2cos α＋3)＝0.
∵2cos α＋3≠0，
∴2cos α－＝0.从而得cos＝.
12.(2012·苏锡调研)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50.
(1)求cos ∠BAC的值；
(2)求sin ∠CAD的值；
(3)求△BAD的面积．
解：(1)因为·＝| || |cos ∠BAC，
所以cos ∠BAC＝＝＝.
(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝，
由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝.
因为∠CAD∈(0，π)，
所以sin ∠CAD＝ ＝ ＝.
(3)由(1)知，cos ∠BAC＝＝.
因为∠BAC∈(0，π)，
所以sin ∠BAC＝
＝ ＝.
从而sin ∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)
＝sin ∠BAC·cos ∠CAD＋cos ∠BACsin ∠CAD
＝×＋×＝.
所以S△BAD＝AB·AD·sin ∠BAD＝×13×5×＝28.