北京市东城区普通校2012届高三数学3月联考试题 理 新人教A版.doc

北京市东城区普通校2012届高三3月联考试题 数学（理）2012年3月
一、选择题： 1．复数的模为 （ ）A． B． C． D．
2．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A．B． C． D．
3．定义在R上的函数上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．设,是两个非零向量，则“向量,的夹角为锐角 ”是“函数的图像是一条开口向下的抛物线”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．设，则等于 （ ）A． B．C． D．
6．已知直线、与平面、，下列命题中正确的是（ ）
A. 且，则； B．且，则；
C．且，则 D．且，则.
7．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
8．设与是定义在同一区间 上的两个函数，若对任意，都有
成立，则称和在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.若与在上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ）
A. [1，4] B. [2，3] C. [2，4] D. [3，4]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．的值为 ；
10．函数的零点所在的区间是，则正整数 ；
11．数列满足，且，是数列的前项和，则 ；
12．在算式“”的中，分别填入一个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对应为 ；
13．若集合，，记为抛掷一枚骰子出现的点数，则的概率等于 ；
14．已知函数 ()，给出下列命题：
（1）对，等式恒成立；（2）函数的值域为；
（3）若，则一定有；（4）函数在上有三个零点．
其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）设函数．
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设为的三个内角，若，,且为锐角，求的值.
16. （本小题满分13分）如图，四边形为正方形，⊥平面，∥，==．
（I）证明：平面⊥平面；（II）求二面角的余弦值．
17．（本小题满分13分）某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．
（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；
（Ⅱ）求李明在一年内领到驾照的概率。
18．函数，过曲线上的点的切线方程为，且点P为切点；
（Ⅰ）若在时有极值，求的表达式；（Ⅱ）在（1）的条件下，求在上的最大值；
（Ⅲ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围。
19.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线和分别与直线交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
20. （本小题满分14分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数；

高三 （理科）数学评分标准
一、选择题: DACA,DBCB填空题：9. ； 10. ；11. ；12. ；13. ；14. （1）、（2）、（3）.
三、解答题：15.解：(本小题满分13分)

所以当，即时，取得最大值.
的最小正周期 …………6分
故函数的最大值为，最小正周期为. …………7分
(2) 由，即，解得.
又为锐角，所以. …………9分
由 求得.

…………13分
16. 解：（本小题满分13分）（I）如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.
依题意有（1，1，0），（0，0，1），（0，2，0）…2分
则.
所以.
即, 故⊥平面.
又平面，所以平面⊥平面. ……6分
（II）依题意有，,.
设是平面的法向量，则即
因此可取.
设是平面的法向量，则由 同理可取,
所以.
故二面角的余弦值为. ……………13分
17解. （本小题满分13分）
(1) 的取值为1,2,3,4. ………………2分
,

………………6分
∴的分布列为：

………………8分
所以，. ………10分
（2）李明在一年内领到驾照的概率为：
………………13分
18. （本小题满分14分）
解：（1）由得, ……1分
因为过点的切线方程为
所以 ，
①②
故 即 ………………3分
在时有极值，故=0 ③
由①②③式联立,解得， ………5分
（2） …………6分
令得，由，比较大小可知在 上最大值为。…………10分
（3）在区间 上单调递增，又，
由（1）知，
依题意在[-2，1]上恒有在[-2，1]上恒成立。
① 当时，，
② 当时，，
③当时，，∴0≤b≤6
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。 ………………14分
注：转化成在[-2，1]上恒成立，借助分离常数及均值不等式的可酌情给分。
19．（本小题满分13分）
（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点 .
设点的坐标为 由题意得
化简得 .
故动点的轨迹方程为 ………………6分
（II）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.…………8分
因为, 所以
所以
即 ，解得
因为，所以 ………………12分
故存在点S使得与的面积相等，且的坐标为.…13分
20. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设这二次函数,
则 ,
由于得
┄┄┄┄┄6分
因为点在函数的图像上，所以

当时，.
当时，适合上式，（┄┄8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的,
必须且仅须满足≤， 10，
所以满足要求的最小正整数为10. ┄┄14分

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