基于正交贴体网格的黏弹介质地震波模拟.pdf
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1、2023 年 8 月第 58 卷 第 4 期基于正交贴体网格的黏弹介质地震波模拟刘志强*1,黄磊1,李钢柱1,牛兴国2,张晓萌2(1.内蒙古农业大学水利与土木建筑工程学院,内蒙古呼和浩特 010018;2.内蒙古有色地质矿业(集团)物探勘查公司,内蒙古呼和浩特 010010)摘要:常规的有限差分地震波数值模拟采用笛卡尔坐标系的规则网格对计算区域进行网格剖分,在模拟起伏地表下的地震波场时,不仅不利于实现自由边界条件,而且由于阶梯状网格近似,在网格角点处容易产生虚假散射波,从而影响模拟精度。为此,将计算流体力学中的正交贴体网格生成技术引入起伏地表下黏弹介质的网格剖分中,采用优化的同位网格有限差分法
2、计算曲线坐标系的一阶速度应力方程,并通过选择性滤波法消除同位网格差分产生的格点振荡。正交贴体网格能够精确地描述起伏地表,网格的正交性也使得实施自由边界条件时无需做复杂的坐标转换和插值运算。数值算例表明:该方法得到的数值解与解析解完全吻合;与规则网格有限差分法模拟结果相比,在相同网格间距条件下,该方法能够有效消除阶梯状网格引起的虚假散射波,从而提高数值模拟精度。此外,起伏地表两层和三层黏弹介质模型模拟结果表明,该方法对复杂模型同样有较强的适用性。关键词:起伏地表,黏弹性波,虚假散射波,正交贴体网格,有限差分法中图分类号:P631 文献标志码:A doi:10.13810/ki.issn.1000
3、-7210.2023.04.009Numerical simulation of seismic waves in viscoelastic media based on orthogonal bodyfitted gridLIU Zhiqiang1,HUANG Lei1,LI Gangzhu1,NIU Xingguo2,ZHANG Xiaomeng2(1.Water Conservancy and Civil Engineering College,Inner Mongolia Agricultural University,Hohhot,Inner Mongolia 010018,Chin
4、a;2.Inner Mongolia Nonferrous Geology and Mining(Group)Geophysical Exploration Co.,Ltd,Hohhot,Inner Mongolia 010010,China)Abstract:Conventional finite difference numerical simulation of seismic waves employs regular grids in Cartesian coordinates to divide the calculated region.During simulating sei
5、smic wavefields under undulating surfaces,it is not only unfavorable to realize the free boundary conditions,but also prone to generate false scattered waves at the corners of the grid due to stepped grid approximation,thus affecting the simulation accuracy.To this end,the orthogonal bodyfitted grid
6、 generation technique in computational fluid dynamics is introduced into the grid generation of viscoelastic media under undulating surfaces.The firstorder velocitystress equation in curvilinear coordinates is calculated by the optimized homologous grid finite difference method,and the point oscilla
7、tion generated by the homologous grid difference is eliminated by the selective filtering method.The orthogonal bodyfitted grid can accurately describe the undulating surface,and due to the orthogonality of the grid,free boundary conditions can be implemented without complicated coordinate transform
8、ation and interpolation operations.Numerical examples show that the numerical solutions obtained by this method are in good agreement with the analytical ones.By comparing the simulation results of the proposed method with those of the regular grid finite difference method,the proposed method can ef
9、fectively eliminate the false scattered waves caused by the stepped grid in the condition of the same grid spacing,thus improving the numerical simulation accuracy.In addition,the simulation results of twolayers and threelayers vis 地震模拟 文章编号:1000-7210(2023)04-0839-08*内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区昭乌达路 306号内蒙古农业大学水利
10、与土木建筑工程学院,010018。Email: 本文于 2022年 9月 20日收到,最终修改稿于 2023年 5月 19日收到。本项研究受国家自然科学基金项目“露天采煤驱动下白垩系煤系地层结构变异与地下水系统时空演变机理”(51969023)、内蒙古自治区科技计划项目“采煤驱动下西部典型矿区地质环境治理与生态修复关键技术研究与示范”(2020GG0076)、内蒙古自治区自然科学基金项目“基于正交可变网格的三维复杂地质条件下地震波数值模拟研究”(2021BS04007)和“索伦山蛇绿混杂岩形成机制与构造环境”(2021MS04024)、内蒙古自治区高等学校科学技术研究项目“基于正交可变网格的复
11、杂地表条件下地震波数值模拟研究”(NJZZ19042)联合资助。石 油 地 球 物 理 勘 探2023 年coelastic medium models on undulating surfaces show that the proposed method is also applicable for complex models.Keywords:irregular surface,viscoelastic wave,false scattered wave,orthogonal bodyfitted grid,finite difference method刘志强,黄磊,李钢柱,等.基于
12、正交贴体网格的黏弹介质地震波模拟 J .石油地球物理勘探,2023,58(4):839846.LIU Zhiqiang,HUANG Lei,LI Gangzhu,et al.Numerical simulation of seismic waves in viscoelastic media based on orthogonal bodyfitted grid J.Oil Geophysical Prospecting,2023,58(4):839846.0引言受到地层黏滞性的影响,地震波在地下介质中传播时能量会衰减,这种衰减在地表附近尤为严重。若用完全弹性模型模拟地下真实介质,结果与实际差
13、别较大。研究表明,黏弹模型可以较精确地反映地层的吸收作用,近似代替实际地下介质更为合理。很多学者对黏弹介质中的地震波场进行了数值模拟。Robertsson等1 设计了二维速度应力交错网格模拟方法,并推广至三维黏弹模型2;Xu等34 实现了三维起伏地表黏弹模型的数值模拟,并通过定义新的复合记忆变量有效节省了计算机内存;tekl等5 在频率域用旋转有限差分算子对黏弹模型进行了精确的数值模拟。在中国,宋常瑜等6 利用有限差分法进行了井间数值黏弹模拟,并分析了地震波在井间的传播特征;唐启军等7 利用有限差分法模拟了黏弹单斜各向异性介质中的地震波场;陈玉玺等8 研究了三维黏弹介质地震波场数值模拟技术;陈
14、豪等9 利用交错网格有限差分法模拟了三维黏弹性介质中的地震波场,并分析了品质因子对波场特征的影响。常用的数值模拟方法包括有限差分法1012、伪谱法1314、有限元法1516、普元法1718 等。其中有限差分法因具有原理简单、易编程实现、计算效率高、对内存需求相对较小等特点,在地震波数值模拟中使用最广泛。常规有限差分法采用笛卡尔坐标系下的规则网格,在模拟起伏地表时必然会出现阶梯状的边界,从而引起虚假散射波。为减弱这种虚假散射波,需采用精细网格,这会导致存储量的增加和计算量的增大。因此,发展了可变网格和不规则网格地震波数值模拟方法。Hayashi等19 采用空间变网格法加密起伏地表附近的网格,从而
15、尽量消除阶梯状网格带来的误差,同时能减小计算量。董良国20 和Tarrass等21 利用纵向坐标变换思路,将起伏边界变换为水平边界,然后在变换后的矩形网格中采用有限差分法求解地震波方程。但是他们的方法只适用于地形起伏较缓的情况,在起伏较大时容易出现不稳定现象。Lan等22、Sun等23 在贴体网格下使用同位网格有限差分法求解波动方程,能够适应任意起伏地表,计算精度较高,但为了满足自由边界条件需要做繁杂的坐标旋转和插值运算。为此,蒋丽丽24、丘磊25、李庆洋等26 提出采用正交贴体网格对起伏地表模型进行网格剖分。在对现有各种起伏地表地震波数值模拟方法进行研究的基础上,本文将 Zhang等27 提
16、出的改进 RL(Ryskin&Leal)正交贴体网格生成技术28 引入起伏地表下黏弹介质的网格剖分,采用牵引力镜像法实现起伏地表处的自由边界条件。由于采用了正交贴体网格,可以直接实施笛卡尔坐标系下的自由边界条件,从而避免了繁杂的坐标旋转或插值运算。在曲线坐标系中,通常情况下变量并非严格定义在半网格点上29,因而必须进行复杂的插值运算求取没有定义在交错位置上的变量值,这不仅会降低计算效率,还极大地影响了差分算法的精度。因此,本文采用 Boegy等30 提出的选择性滤波同位网格有限差分法计算曲线坐标系下的一阶速度应力方程。最后通过数值算例验证本文方法的精度和适用性。1网格剖分方法正交贴体网格生成实
17、际上是一个数学变换过程,即由任意形状的物理域(x,z)变换到直角四边形的计算域(,)(图 1)。在这个变换中点与点之间存在一一对应关系,在数学上可以表示为 =()x,z=()x,z(1)图 1网格映射示意图840第 58 卷 第 4 期刘志强,等:基于正交贴体网格的黏弹介质地震波模拟RL 正交贴体网格可由(x,z)平面上的一对 Laplace方程生成28 ()fx,+()1fz,=0()fz,+()1fx,=0(2)式中:x,x/表示 x对 的一阶导数;f是畸变函数,由和方向的刻度因子给出,具体形式为 f=hh=(x,)2+(z,)2(x,)2+(z,)2(3)h=gh=g(4)式中:h和h分
18、别表示和方向的正交刻度因子;g和g是包含坐标系信息的度量张量分量,计算公式为 g=(x,)2+(z,)2g=(x,)2+(z,)2(5)如 果f=1,式(2)就 变 成 保 角 变 换,则f=1称为完全光滑条件。对于地表起伏不大的模型,通过式(2)基本可以确保内部网格具有较优秀的正交性和光滑性。但是,当地表起伏比较大时,为了保证边界上的正交性,往往会造成内部网格点的严重畸变(图 2)。为此,Zhang等27 引入、方向的光滑刻度因子(h)i和(h)j,并通过与正交刻度因子加权平均得到改进的畸变函数ffi,j=()hjr+()hi,j()1-r()hir+()hi,j()1-r(6)(h)i=1
19、N-2j=2N-1(h)i,j(7)(h)j=1N-2i=2N-1(h)i,j(8)式中:i和j分别为和方向的网格点序号;N和N是和方向的网格点总数;r和r是经验参数,可以取常数,也可以根据以下公式计算 ()ri,j=|()hi,j-()hi()hi,j+()hi(9)()ri,j=|()hi,j-()hj()hi,j+()hj(10)利用改进的RL算法兼顾了网格剖分的正交性和光滑性,避免了起伏地表附近网格点的畸变(图3)。2数值模拟方法2.1曲线坐标系下的黏弹介质波动方程利用链式法则和笛卡尔坐标系下的 Kelvin黏弹介质一阶速度应力方程,可以推导出曲线坐标系下的二维黏弹介质一阶速度应力波动
20、方程。矩阵形式的波动方程可表示为U=AU,+BU,+CU,+DU,(11)式中:U 为由速度和应力组成的列矩阵;U为 U 对时图 2内部网格点严重畸变的网格剖分示意图图 3改进后的 RL正交贴体网格剖分示意图841石 油 地 球 物 理 勘 探2023 年间的一阶微分;A、B、C、D是系数矩阵。具体有U=vx,vz,xx,zz,xzT(12)A=00,x/0,z/000,z/,x/()+2,x,z000,x()+2,z000,z,x000(1 3)B=00,x/0,z/000,z/,x/()+2,x,z000,x()+2,z000,z,x000(14)C=0000000000()+2,x,z0
21、00,x()+2,z000,z,x000(15)D=0000000000()+2,x,z000,x()+2,z000,z,x000(16)其中:vx、vz分别表示速度的水平分量和垂直分量;xx、zz、xz为应力分量;为密度;、和为拉梅系数,与纵、横波速度 vP、vS及纵、横波品质因子 QP、QS的关系为 +2=v2P=v2S+2=v2PQP=v2SQS(17)式中为圆频率。2.2空间离散算法对式(11)的空间导数,本文用优化的 7点同位网格中心差分格式31 求解。该格式中所有变量和模型介质参数都定义在同一个网格点上(图4)。对于一维问题的差分格式为u1j=-33aju()+j(18)式中:为空
22、间步长;aj为中心差分系数。中心差分格式只能用于内部网格点上变量偏导数的离散求解,对于模型边界附近的网格点,由于缺少模型外网格点上的变量值,因此必须使用非中心差分格式求解。本文釆用 Berland等32 提出的 7点非中心差分格式计算边界网格点上的偏导数u1j=-PQbju()+j(19)式中:P=1或2,Q=5或4;bj为非中心差分系数。图 4优化的 7点同位网格有限差分示意图842第 58 卷 第 4 期刘志强,等:基于正交贴体网格的黏弹介质地震波模拟同位网格差分格式在求解一阶速度应力波动方程时会产生高频的格点振荡现象。为了消除格点振荡带来的影响,对式(18)和式(19)的计算结果做选择性
23、滤波处理 ud()=u()-F()F()=j=-PQdju()+j(20)式中:ud为经过滤波后的波场;F为滤波衰减函数;0,1是滤波衰减因子;dj为滤波算法的权系数。当P=Q=3时,对中心差分格式计算结果进行滤波;P=2、Q=4和P=1、Q=5时,对非中心差分格式计算结果进行滤波。2.3边界条件的实施图 5是自由界面附近垂直方向导数的离散求解示意图。设j=n为自由界面。图中点A、B为内部网格点,采用7点中心差分格式求解。点C、D为边界网格点,分别采用非中心差分格式求解。在正交贴体网格下,由于地表处网格线上的法向量与地表正交,因此可以直接采用水平界面时的自由边界条件。根据自由边界条件,地表网格
24、点上的两个应力分量为零,即|zzj=n=0|xzj=n=0(21)自由地表以上虚拟网格点上的应力则可以根据应力镜像法求得,即|zzj=n-1=-|zzj=n+1|xzj=n-1=|-xzj=n+1(22)在自由地表处对式(11)中的应力水平分量进行求解时,需要用到速度分量在方向上的导数。将 式(21)代入式(11)并整理,可得速度自由边界条件 vx=1(),xxx,+,xxx,(),xvx,+,xvx,+()+2(),zvz,+,zvz,+(),xvx,+,xvx,=0(),zvx,+,zvx,+(),xvz,+,zvz,+(),zvx,+,zvx,=0(23)利用式(23)可求出vx在方向的
25、导数,vz在方向 的 导 数 可 以 用 相 同 的 方 法 求 取。因 此,利 用式(21)式(23)就可以完整的实施自由边界条件。其他边界采用基于辅助微分方程的完美匹配层(ADEPML)吸收边界条件33 消除人工边界反射。3数值算例分析3.1起伏地表均匀介质模型为了测试本文方法对起伏地表模型的有效性和精度,设计如图 6a所示的起伏地表均匀介质模型,参数为:vP=3.3 km/s,vS=2.2 km/s,=2.0 g/cm3,QP=25,QS=20。图 6b为利用本文方法得到的正交贴体网格,其计算域中两个方向的空间网格步长都为 5 m。可以看出,本文提出的网格剖分法不仅能够精确描述起伏地表,
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