计及随机传感器时滞的不确定半Markov跳变系统鲁棒滑模控制.pdf

在实际系统中,系统参数与结构随机变化、未知外界干扰、传感器时滞等现象时有发生并严重影响了系统的稳定运行.为了解决这一问题,本文提出计及随机传感器时滞的一类不确定半Markov 跳变系统鲁棒滑模控制方法,其中系统的传感器时滞通过使用Bernoulli随机分布进行描述.考虑系统状态信息不可测量条件下,文章设计模态依赖Luenberger观测器去估计半Markov 跳变系统的运行状态.然后,本文构造一个积分滑模面并借助随机Lyapunov理论,提出两种半Markov跳变系统的随机稳定性分析方法.进而,文章提出基于观测器的滑模控制方法使得系统状态能够在有限时间内到达滑模面上以及滑模动态在H性能指标下是随机稳定的.最后,通过一种基于他励直流电动机模型的数值仿真例子验证所设计的滑模控制方法的有效性与正确性.关键词:半Markov跳变系统;滑模控制;鲁棒控制;模态依赖Luenberger观测器;随机传感器时滞引用格式:张林闯,孙永辉,王建喜,等.计及随机传感器时滞的不确定半Markov 跳变系统鲁棒滑模控制.控制理论与应用,2023,40(7):1172 1180DOI:10.7641/CTA.2023.20459Robust sliding mode control foruncertain semi-Markov jump systems with random sensor time delayZHANG Lin-chuang,SUN Yong-hui,WANG Jian-xi,ZHANG Yu-hang,HOU Dong-chen,WANG Sen(College of Energy and Electrical Engineering,Hohai University,Nanjing Jiangsu 210098,China)Abstract:In practical systems,random changes of system parameters and structures,unknown external disturbance,sensor time delay and other phenomena occur from time to time,which seriously affect the stable operation of the system.In order to solve this problem,this paper proposes a robust sliding mode control method for a class of uncertain semi-Markov jump systems with stochastic sensor time delay,in which the sensor time delay is described by Bernoulli stochasticdistribution.Considering that the system state information cannot be measured,the mode-dependent Luenberger observeris designed to estimate the operating state of the semi-Markov jump system.Then,an integral sliding mode surface isconstructed and two stochastic stability analysis methods for semi-Markov jump systems are proposed based on stochasticLyapunov theory.Furthermore,the observer-based sliding mode control method is proposed to make the system statesreach the sliding mode surface in finite time and the sliding mode dynamic is stochastically stable with Hperformanceindex.Finally,the effectiveness and correctness of the proposed sliding mode control method are verified by a numericalsimulation example based on the separately excited DC motor model.Key words:semi-Markov jump systems;sliding mode control;robust control;mode-dependent Luenberger observer;random sensor time delayCitation:ZHANG Linchuang,SUN Yonghui,WANG Jianxi,et al.Robust sliding mode control for uncertain semi-Markov jump systems with random sensor time delay.Control Theory&Applications,2023,40(7):1172 1180收稿日期:20220529;录用日期:20230421.通信作者.E-mail:;Tel.:[phone].本文责任编委:李世华.国家自然科学基金项目(62073121),中央高校基本科研业务费专项资金项目(B210203050),江苏省研究生科研与实践创新计划项目(KYCX210472)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(62073121),the Fundamental Research Funds for the Central Universities(B210203050)and the Postgraduate Research&Practice Innovation Program of Jiangsu Province(KYCX21 0472).第 7 期张林闯等:计及随机传感器时滞的不确定半Markov跳变系统鲁棒滑模控制11731引引引言言言近年来,作为混合系统的一个重要分支,半Mark-ov跳变系统因其能够准确刻画不同工况下系统的状态以及各个工况之间的关联而得到了广泛的关注与研究,并且成功地应用到诸多领域中,如电力系统1、认知无线电网络2、医疗系统3.在连续型半Markov跳变系统中,模态转移速率的驻留时间分布函数克服了传统Markov跳变系统转移速率驻留时间只服从指数分布的局限性45,更加适用于实际系统.随后,文献6提出了一个浴盆曲线来描述随驻留时间变化的转移速率(连续两次跳跃之间的持续时间),并给出了确保半Markov跳变系统鲁棒稳定性的充分条件.进一步,针对系统转移概率部分未知、系统与控制器/滤波器模态异步、系统非线性特征等情况,半Markov跳变系统分析、控制和滤波设计等方面已取得了丰硕的研究成果712.另一方面,滑模控制方法,作为有效的鲁棒控制方法之一,能够对模型参数的不确定性与外界干扰起到很好地调节作用.综合半Markov跳变系统与滑模控制方法的优势,文献13提出了非线性奇异摄动半Mar-kov跳变系统的滑模控制方法.文献14利用Takagi-Sugeno模糊方法构造了非线性半Markov跳变系统模型,并基于平均驻留时间方法提出了非线性半Markov跳变系统的滑模控制策略.文献15借助补充变量技术和系统转化方法提出了半Markov 跳变系统的状态估计与滑模控制框架.文献16提出了一种连续型不确定半Markov跳变系统的输出反馈滑模控制框架.上述研究成果均是在系统状态完全可测量的情况下进行的,而在实际系统中,由于系统的复杂性、测量技术的限制,实际系统的状态往往是不易于测量的.随后,基于观测器的半Markov跳变系统滑模控制方法相继提出1719.此外,系统的输出信号通常基于传感器进行传输,考虑当前技术的限制,系统的测量输出可能会产生随机传感器时滞现象.为了解决这一问题,大量考虑传感器时滞现象的成果应运而生2021.同时,外部干扰与参数不确定性也是对控制器性能产生影响的重要因素.基于上述内容与现有滑模控制研究成果,考虑系统的参数不确定性、外部干扰、随机传感器时滞、系统状态不可测等情况,如何为连续型不确定半Mar-kov跳变系统设计一个有效的滑模面与滑模控制律目前仍没有彻底解决,这推动了本文的研究.本文研究了计及随机传感器时滞与状态不可测条件下连续型不确定半Markov跳变系统的鲁棒滑模控制问题.与现有研究成果相比,本文主要创新如下:1)针对连续型不确定半Markov跳变系统,提出基于模态依赖Luenberger观测器的滑模控制方案避免随机传感器时滞、不确定参数以及状态不可测等情况对系统的影响.与文献20相比,本文考虑的系统模型更一般且更可用于实际系统.2)通过构造积分滑模面与Luenberger观测器,提出两种系统滑模动态随机稳定的充分条件,确保系统的状态能够在有限时间内被吸引到预先设定的滑模面上.2系系系统统统描描描述述述与与与基基基本本本知知知识识识在实际系统运行过程中,经常伴随着多种工况随机切换、传感器时滞、外部干扰等现象.因此,本文考虑一类定义在概率空间(,Pr()上的不确定半Markov跳变系统模型去模拟上述现象,具体形式表示如下:z(t)=(A(t)+A(t)z(t)+B(u(t)+d(t),y1(t)=E(t)z(t)+D(t)d(t),y2(t)=(t)(C(t)z(t)D(t)z(t (t)+D(t)z(t (t),(1)式中:z(t)表示系统的状态向量且属于Rnz,u(t)表示系统的控制输入且属于Rnu,d(t)Rnu表示外部的干扰输入且属于20,),y1(t)表示系统的控制输出且属于Rny1,y2(t)表示系统的测量输出且属于Rny2.,和Pr()分别表示样本空间、样本空间子集的代数和事件概率.(t)(t0)表示有限状态的半Mar-kov过程且取值在集合N=1,2,3,N内.对于(t)=m,Am,B,Em,Dm,Cm以及Dm表示具有适当维数的系统参数矩阵且依赖于随机过程(t).A(t)是系统的不确定参数矩阵且满足A(t)=EA(t)(t)FA(t).EA(t)和FA(t)表示具有适当维数的已知常数矩阵.未知时变矩阵(t)满足T(t)(t)6I.基于上述描述,系统模态的转移速率能够表示为=(mn()NN(m,n=1,2,3,N).同时,模态转移速率与转移概率之间的关系能够表示为下列形式:Prt+=n|t=m=mn()+o(),m=n,1+mm()+o(),m=n,式中:mn()(m=n)表示系统从模态m到模态n的转移速率且满足mm()=Nm=1,m=nmn(),表示系统两次相邻跳跃的驻留时间,o()(0)表示无穷小转移区间且被定义为lim0o()=0.针对系统模型的测量输出y2(t),本文引入伯努利随机变量(t)刻画系统传感器时滞的发生,即当(t)=0时,系统存在传感器时滞;当(t)=1时,系统不存在传感器时滞.1174控 制 理 论 与 应 用第 40 卷然后,能够推出相关事件的概率为Pr(t)=1=E(t)=,Pr(t)=0=1E(t)=1 ,0,1.此外,(t)表示时变时滞且满足条件0 0,则能够找到下列不等式成立:sym(pTq)6pTQp+qTQ1q.引引引理理理 28如果存在具有适当维数的实矩阵W,G和H,时变矩阵(t),当且仅当存在标量 0,使得M+symG(t)H 0,则有M+GTG+1HTH 0成立,式中(t)满足T(t)(t)6I,M=MT.引引引理理理 37如果同时满足下列条件,可称误差系统(3)和滑动模态系统(6)组成的扩维系统是随机稳定的且满足H性能指标.1)针对系统状态与模态的任意初始条件且干扰信号d(t)为零时,如果(t)22=w0E(t)2|(0),0)dt 0,所有非零的干扰信号d(t)20,),以及零初始条件下,如下条件成立:w0yT1(t)y1(t)dt62w0dT(t)d(t)dt,则系统满足H性能指标.4主主主要要要结结结果果果4.1稳稳稳定定定性性性分分分析析析本节给出误差系统(3)和滑动模态系统(6)所组成扩维系统的随机稳定性的充分条件.定定定理理理 1针对已知的时变时滞上界、标量1和,如果存在正定矩阵Pm,M1m,M2m,R1,R2,常数 0和 0,以及矩阵Ym,使得下列线性矩阵不等第 7 期张林闯等:计及随机传感器时滞的不确定半Markov跳变系统鲁棒滑模控制1175式成立:11m12m0015m16m17m22m23m24m25m26m27m33m0036m044m046m055m0066m077m 0,(7)Nn=1mnM1n R160,(8)Nn=1mnM2n R260,(9)式中:11m=symPm(Am+BKm)+Nn=1mnPn+M1m+R1+ETmEm,12m=ETmEm,1=11 ,22m=Nn=1mnPn+M2m+symPmAm YmCm+R2+ETmEm,23m=24m=(1)YmDm,33m=(1 1)M1m,44m=(1 1)M2m,15m=ETmDm,25m=ETmDm+PmB,16m=PmF 0 0 0,26m=0 CTmYTm0 0,36m=0 0 DTmYTm0,46m=0 0 0 DTmYTm,55m=DTmDm 2I,77m=diag I,I,66m=diag12 Pm,1 Pm,1Pm,1Pm,17m=0 FTAm,27m=PmEAmFTAm,则误差系统(3)和滑动模态系统(6)所组成的扩维系统是随机稳定的且满足H性能指标.然后,状态观测器增益能够确定为Hm=P1mYm.(10)证选取依赖于半Markov随机过程的Lyapunov-Krasovskii泛函V(zl(t),r(t),(t),t)=5i=1Vi(zl(t),r(t),(t),t),式中:Vi(t)=Vi(zl(t),r(t),(t),t),V1(t)=zTl(t)P(t)zl(t)+rT(t)P(t)r(t),V2(t)=wtt(t)zTl(t)M1(t)zl(t)dt,V3(t)=wtt(t)rT(t)M2(t)r(t)dt,V4(t)=wtt(t)wtzTl(s)R1zl(s)dsd,V5(t)=wtt(t)wtrT(s)R2r(s)dsd.根据文献7,22,能够得出Vi(zl(t),r(t),(t),t)的无穷小算子为ELV1(zl(t),r(t),(t),t)=symzTl(t)Pm zl(t)+symrT(t)Pm r(t)+zTl(t)Nn=1mnPnzl(t)+rT(t)Nn=1mnPnr(t),EV2(zl(t),r(t),(t),t)=zTl(t)M1mzl(t)+wtt(t)zTl(t)Nn=1mnM1nzl(t)dt(1 (t)zTl(t (t)M1mzl(t (t),ELV3(zl(t),r(t),(t),t)=rT(t)M2mr(t)+wtt(t)rT(t)Nn=1mnM2nr(t)dt(1 (t)rT(t (t)M2mr(t (t),ELV4(zl(t),r(t),(t),t)=(t)zTl(t)R1zl(t)wtt(t)zTl()R1zl()d,ELV5(zl(t),r(t),(t),t)=(t)rT(t)R2r(t)wtt(t)rT()R2r()d,式中:mn表示系统模态转移速率mn()的期望且满足mn=Emn()=w0mn()fm()d,fm()表示系统在模态m上的概率密度函数.然后,对误差系统(3)和滑动模态系统(6)进行等价变换,得到 r(t)=Amr(t)+Amz(t)+Bd(t)HmCmr(t)(t)HmCmr(t)(1 )HmDmz(t (t)(t)HmDmz(t (t)+(t)HmCmzl(t),(11)zl(t)=(Am+BKm)zl(t)+(I B(FB)1F)HmCmr(t)+(t)(I B(FB)1F)HmCmr(t)+(1 )(I B(FB)1F)HmDmz(t(t)(t)(I B(FB)1F)HmDmz(t (t)+(t)1176控 制 理 论 与 应 用第 40 卷(I B(FB)1F)HmCmzl(t),(12)式中,与伯努利随机变量(t)相关的表达式的期望值为E(t)=0和E(t)2=(1 ).根据引理1,对于F=I B(FB)1F,能够得出下列不等式:sym(zTl(t)PmFHmCmr(t)6zTl(t)PmFP1mFTPmzl(t)+rT(t)CTmHTmPmHmCmr(t),(13)sym(zTl(t)PmFHmDmr(t (t)6zTl(t)PmFP1mFTPmzl(t)+rT(t (t)DTmHTmPmHmDmr(t (t).(14)定义Nn=1mnM1n R160,(15)Nn=1mnM2n R260.(16)当d(t)=0时,结合无穷小算子LVi(zl(t),r(t),(t),t)与条件式(11)(16),能够得到下列不等式:ELV(zl(t),r(t),(t),t)6 ET(t)m(t),式中:T(t)=zTl(t)rT(t)zTl(t(t)rT(t(t),m=11m12m0022m23m24m33m044m,11m=symPm(Am+BKm)+(2 )PmFP1mFTPm+Nn=1mnPn+M1m+R1,12m=ATmPm,22m=CTmHTmPmHmCm+Nn=1mnPn+M2m+symPmAm aPmHmCm+ATmPm+R2,23m=24m=(1)PmHmDm,33m=(1 )DTmHTmPmHmDm(1 1)M1m,44m=(1 )DTmHTmPmHmDm(1 1)M2m.结合条件式(7)(10),引理2以及Schur补引理,可得ET(t)m(t)0,能够满足条件ET(t)m(t)0,能够得到ET(T)m(T)ET(0)m(0)wT0a(t)2dt.也 就 是 说,wT0(t)2dt E1aT(0)m(0).然后,可以说由误差系统(3)和滑动模态系统(6)组成的扩维系统在d(t)=0时是随机稳定的.当d(t)=0时,随机Lyapunov泛函的无穷小算子能被重写为ELV(zl(t),r(t),(t),t)6ET(t)m(t)+symrT(t)PmBd(t).根据引理3,系统在零初始条件下,其H性能指标能够转换为Ew0yT1(t)y1(t)2dT(t)d(t)dt6Ew0yT1(t)y1(t)2dT(t)d(t)+T(t)m(t)dt=Ew0T1(t)1m1(t)dt,式中:T1(t)=T(t)dT(t),1m=111m121m221m,111m=111m112m00122m23m24m33m044m,111m=symPm(Am+BKm)+(2)PmFP1mFTPm+Nn=1mnPn+M1m+R1+ETmEm,112m=ATmPm+ETmEm,122m=CTmHTmPmHmCm+Nn=1mnPn+M2m+symPmAm aPmHmCm+ATmPm+R2+ETmEm,121m=(ETmDm)T(PmB)T+(ETmDm)T0 0 T,221m=DTmDm 2I.根据条件式(7)(10),引理23以及Schur补,可得T1(t)1m1(t)0和0,以及矩阵Ym,使得下列线性矩阵不等式成立:m 0,(17)m 0,(18)Nn=1mnM1n R160,(19)Nn=1mnM1n R160,(20)Nn=1mnM2n R260,(21)Nn=1mnM2n R260,(22)式中:m=11m12m0015m16m17m22m23m24m25m26m27m33m0036m044m046m055m0066m077m,m=11m12m0015m16m17m22m23m24m25m26m27m33m0036m044m046m055m0066m077m,11m=symPm(Am+BKm)+Nn=1mnPn+M1m+R1+ETmEm,22m=Nn=1mnPn+M2m+symPmAm YmCm+R2+ETmEm,11m=symPm(Am+BKm)+Nn=1mnPn+M1m+R1+ETmEm,22m=Nn=1mnPn+M2m+symPmAm YmCm+R2+ETmEm,则误差系统(3)和滑动模态系统(6)所组成的扩维系统是随机稳定的且满足H性能指标.然后,状态观测器增益能够确定为Hm=P1mYm.证根据定理1,可得m 0,(23)Nn=1mn()M1n R160,(24)Nn=1mn()M2n R260,(25)式中:m=11m12m0015m16m17m22m23m24m25m26m27m33m0036m044m046m055m0066m077m,11m=symPm(Am+BKm)+Nn=1mn()Pn+M1m+R1+ETmEm,22m=Nn=1mn()Pn+symPmAm YmCm+M2m+R2+ETmEm.假设系统的模态转移速率mn()满足mn()mn,mn(mnmn 0,20,1+2=1.通过调节1和2的值,所有可能的mn()mn,mn能够被实现.对不等式(17)的两边分别乘以1和式(18)的两边分别乘以2,并对其结果进行加和.显然,不等式(23)成立.同理,不等式(19)(22)能够与条件(24)(25)实现等价变换.因此,此方法也能够保障误差系统(3)和滑动模态系统(6)所组成的扩维系统是随机稳定的且能够维持H性能指标.证毕.5滑滑滑模模模控控控制制制器器器设设设计计计本节旨在设计一个能够确保系统状态在有限时间内到达预先设定滑模面上的滑模控制率.定定定理理理 3对于半Markov跳变系统(1)、观测器(2)与滑模面(4),通过构造滑模控制律u(t)=cm(t)+Kmzl(t)c2sgn(t),(26)式中:cm 0,c2 0,然后状态能够在有限时间内被吸引到滑模面上.证首先,本文选取Lyapunov函数:S(t)=T(t)(2FB)1(t).然后,能够得出S(t)的无穷小算子如下:ELS(t)=ET(t)(FB)1FBu(t)+FHm(t)Cmr(t)+(1 (t)Dmz(t(t)+(t)Cmzl(t)FBKmzl(t).1178控 制 理 论 与 应 用第 40 卷结 合T(t)sgn(t)6(t)1,标 量c3 0与 控制律(26),可得ELS(t)=T(t)(FB)1FHm Cmr(t)+(1 )Dmz(t (t)cmT(t)(t)c2T(t)sgn(t)6 cm(t)2(t)(c2(FB)1FHm Cm r(t)c3(1 )(FB)1FHmDm(zl(t (t)+r(t (t)c3(t).定义m=c2(FB)1FHm Cmr(t)c3(1)(FB)1FHmDm(zl(t(t)+r(t(t)0,于是有ELS(t)6 cm(t)2c3(t)6c3(t)62c23S(t)/max(FB)1(此时状态轨迹达到区域m),式中:cm表示正常数,2c23/max(FB)1)0.于是可得:系统在T=2S12(0)/2c23/max(FB)1)时,函数S(t)=0.同时,当t2S12(0)/2c23/max(FB)1)时,则(t)=0.由此可知,系统的状态轨迹能够在有限时间内到达所设计的滑模面上.证毕.6仿仿仿真真真验验验证证证与与与分分分析析析在本节中,旨在给出数值仿真例子验证所提滑模控制方法的有效性与正确性.根据文献23,考虑一种他励直流电动机模型,其动态制动的动态等效电路如图1所示.然后,该电路模型能够被描述为Ramia+Ladiadt+Cew=0,Jdwdt+fw CMia=0,(27)式中:Ram表示制动电阻,ia表示制动电流,La表示电枢电感,Ce表示反电动势系数,w表示轴角速度,J表示电机惯量,f表示粘滞摩擦系数,CM表示电磁转矩系数,m的值为1或2.假设m=(t)是遵循半Markov过程随机变化的.因此,能够选择系统的转移速率矩阵为mn()22=223232.根据文献11,考虑模态驻留时间遵循Weibull分布并通过选取适当的形状参数与尺度参数,能够得出上述转移速率矩阵的期望为Emn()22=1.77251.77252.7082 2.7082.定义下列变量:z1(t)=w,z2(t)=ia,y1(t)=w,z(t)=zT1(t)zT2(t)T,可得 z(t)=Amz(t),y2(t)=Cmz(t),式中:Am=fJCMJCeLaRamLa,Cm=10T,f=0.015Nms/rad,J=0.003kgm2,CM=300Nm/A,Ce=6V/KRPM,Ra1=2,La=5H,Ra2=1.?=1?=2?a1?a2M?a?a?a?图 1 他励直流电动机动态等效电路Fig.1 Dynamic equivalent circuit of separately excited DCmotor考虑半Markov跳变系统模型(1)以及上述他励直流电动机模型,系统中其他参数选择如下:D1=0.1 0.3,E1=0.5 0.1,EA1=0.01 0.01T,FA1=0.01 0.01,D1=0.05,D2=0.02,B=1 2T,D2=0.2 0.01,E2=0.2 0.5,EA2=0.20.1,FA2=0.20.1T,1=0.5,F=0.3 0.1,=0.6,1=0.8.考虑Am+BKm是Hurwitz矩阵,依据上述参数值可求得K1=1.9514 0.4876,K2=1.9228 0.5583.系统干扰信号,时变时滞,以及控制律中的相关参数选择如下:d(t)=e(x21(t)+x22(t)t2,(t)=0.25+0.25sint,c1=0.005,c2=0.003,c2=0.001和sgn(t)=(t)0.001+(t).求解定理1中的不等式可得:min=1.1971,H1=0.0151 0.0575和H2=0.1533 0.5923.考虑系统与观测器的初始状态z0=zl0=1 1T,得出仿真结果如图27所示.图2表示半Markov跳变系统的模态变化情况.图4表示闭环半Markov跳变系统的状态变化.图3和图5分别表示系统状态的估计误差以及观测器的状态变化.图6表示系统的测量输出.图7表示系统的控制输入信号.由图4 可知,在所设计的滑模控制律下,闭环半Markov跳变系统的运行状态第 7 期张林闯等:计及随机传感器时滞的不确定半Markov跳变系统鲁棒滑模控制1179能够保持稳定.换句话说,本文所提的滑模控制方法是有效的.02468101214161820 2.52.01.51.00.5?(?)?/s图 2 半Markov跳变系统的模态变化Fig.2 Mode changes of semi-Markov jump systems05101520253035404550?(?)?1(?)?2(?)2.01.51.00.50.0?0.5?/s图 3 系统状态的估计误差Fig.3 Estimation error of system states 05101520253035404550?1(?)?2(?)?/s3.02.52.01.51.00.50.0?(?)图 4 闭环半Markov跳变系统的状态轨迹Fig.4 State trajectories of closed-loop semi-Markov jumpsystems7结结结论论论考虑随机传感器时滞、参数不确定性以及状态不可测等条件,本文提出了一类不确定半Markov跳变系统的鲁棒滑模控制方法.首先,文章设计了模态依赖Luenberger观测器去估计半Markov跳变系统的运行状态.然后,构造了一个积分滑模面并借助随机Lyapunov理论,给出了两种半Markov跳变系统随机稳定的充分条件.同时,设计了相应滑模控制律,确保所提滑模控制方案能够使得系统的状态在有限时间内吸引到预先设定的积分滑模面上.最后,考虑了一种他励直流电动机模型并通过数值仿真例子验证了所提滑模控制方法的有效性与正确性.在将来的研究工作中,希望将本文提出的控制方案扩展到更多的系统,例如,电力系统24、微电网2526、奇异系统2729、多智能体系统3031等.05101520253035404550?1(?)?2(?)?/s1.41.21.00.80.60.40.20.0?1(?)图 5 观测器的状态变化Fig.5 State changes of observer 05101520253035404550?/s1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0?2(?)图 6 半Markov跳变系统的测量输出Fig.6 Measurement output of semi-Markov jump systems 05101520253035404550?/s1.61.41.21.00.80.60.40.20.0?0.2?(?)图 7 系统的控制输入信号Fig.7 Control input signal of systems参参参考考考文文文献献献:1 BARNES A K,BALDA J C,ESCOBAR-MEJIA A.A semi-Markovmodel for control of energy storage in utility grids and microgridswith PV generation.IEEE Transactions on Sustainable Energy,2015,6(2):546 556.2 LI F,SHI P,WU L,et al.Quantized control design for cognitive radionetworks modeled as nonlinear 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