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,*,*,3.1,3.3,3.2,3.4,3.5,3.6,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,3.3,3.2,3.4,3.5,3.6,*,单击此处编辑母版标题样式,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,小 知 识,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,微 积 分,章学诚 刘西垣 编著,普通高等教育“十一五”家级规划教材,(经济管理类),第三章,第1页,1,第三章,导数和微分,3.3,3.5,3.2,导数概念,求导法则,基本求导公式,高阶导数,函数微分,导数和微分在经济学中简单应用,3.4,3.6,3.1,第2页,2,第三章,导数和微分,他以几乎神普通思维力，最先说明了行星运动和图像，彗星轨道和大海潮汐,牛顿墓志铭,（微积分）是由牛顿和莱布尼茨大致上完成，但不是由他们创造,恩格斯,3.1,3.2,3.3,3.4,3.5,3.6,第3页,3,微积分学大致产生于 17 世纪下半叶，在整个数学发展史上是自欧几里得几何学(约建立于公元前 3 世纪)之后一个最大创造即使它思想萌芽可追溯到古希腊时期，但它创建，首先是为了处理 17 世纪所面临许多科学问题,一元函数微积分可分成一元函数微分学和一元函数积分学两部分微分学是积分学基础,导数（或微商）和微分是一元函数微分学中两个亲密相关基本概念,第4页,4,引发导数概念问题主要有：,1)已知直线运动旅程函数,s,(,t,)，求物体运动速度,v,；,2)求曲线切线；,3)求函数最大、最小值,这些问题最终可归结为求一个函数因变量相对于自变量改变快慢，即“,改变率,”，这就是函数导数概念从局部来看,微分是函数线性近似,它在一元函数积分学中起主要作用导数能够看成是函数微分与自变量微分之比,故又称,微商,本章主要阐述函数导数和微分概念以及它们之间关系，并给出它们运算法则和计算方法，最终介绍导数和微分概念在经济学中简单应用,第5页,5,3,.,1,导 数 概 念,3.1.1,3.1,.2,3.1,.3,3.1,.4,两个经典问题,导数概念和导函数,单侧导数,函数可导与连续关系,第6页,6,3.1.1 两个经典问题,在阐述函数导数概念之前,先介绍两个古典例子,例 1,曲线切线.,在 17 世纪,为了设计光学透镜和了解行星运动方向,必须知道曲线切线,大家知道,圆切线是与圆只有一个交点直线但这么认识曲线切线没有普遍意义.,给定曲线,C,：,y,=,f,(,x,)(,x,D,),假设,U,(,x,0,)是点,x,0,一个邻域，,U,(,x,0,),D,则,P,0,(,x,0,f,(,x,0,),C,.现在问题是：什么是曲线,C,在点,P,0,处切线？这切线斜率怎样计算？,第7页,7,给定曲线,C,：,y,=,f,(,x,)(,x,D,)，假设,U,(,x,0,)是点,x,0,一个邻域,U,(,x,0,),D,则,P,0,(,x,0,f,(,x,0,),C,.现在问题是:什么是曲线,C,在点,P,0,处切线？这切线斜率怎样计算？,设,x,U,(,x,0,),x,x,0,且点,P,(,x,f,(,x,),C,则直线,P,0,P,称为,C,割线,.,当点,P,沿曲线,C,趋于,P,0,时,假如,P,0,P,绕点,P,0,旋转而趋于一个极限位置,P,0,T,则直线,P,0,T,就称为曲,线,C,在点,P,0,处,切线,(如图,3-1),即:,当点 时,直线,P,0,P,切线,P,0,T,.,为确定切线,P,0,T,关键是要求出它,斜率,k,=,tan,a,其中,a,是,P,0,T,倾角,图 3-1,第8页,8,为此,设割线,P,0,P,倾角为,j,记,x,=,x,-,x,0,，,y,=,f,(,x,),-,f,(,x,0,),=,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,)，,则 而点,P,P,0,等价于,x,x,0,，即,x,0故若切线,P,0,T,存在，则有,即切线,P,0,T,斜率,(3.1),求出了切线,P,0,T,斜率,切线,P,0,T,也就确定了,图 3-1,第9页,9,例 2,直线运动瞬时速度.,设一物体做直线运动,其运动方程为,s,=,s,(,t,)(0,t,t,1,),其中,s,(0)=0，它表示物体行走旅程,s,与所经历时间,t,之间关系（如图 3-2）,设,t,0,t,0,+,t,0,t,1,则在时间段,t,0,t,0,+,t,(设,t,0)内物体行走旅程,s,=,s,(,t,0,+,t,),-,s,(,t,0,).在这时间段内物体平均速度,假如物体做匀速直线运动，则其平均速度,v,是一个常数，与,t,0,和,t,无关，这是最简单直线运动,图 3-2,在自然界和日常生活中人们所碰到直线运动大多是非匀速运动，比如自由落体，下落时间越久，在单位时间内下落距离越大，即它是一个变速运动.在这种情况下，平均速度不能准确地刻画物体运动情况随之就提出了瞬时速度概念,第10页,10,例 2,直线运动瞬时速度.,假如极限,存在，就称此极限值为物体在时刻,t,0,瞬时速度,，简称,速度,，记为,v,(,t,0,).所以,(3.2),对于曲线运动,其速度不但有大小,还有方向,速度方向就是曲线切线方向.人类在研究天体运动时,必须知道天体运动速度.速度概念对于了解物体运动含有极其主要意义.,第11页,11,3.1.2 导数概念和导函数,上面例 1 中切线问题是一个几何问题,而例 2 中速度则是一个力学概念,在计算切线斜率和运动速度时都要碰到函数值增量与自变量增量之比极限,它们抽象就造成函数导数概念,定义,1,设函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,某一邻域,U,(,x,0,)上有定义.假如对于自变量,x,在点,x,0,增量,x,(,x,0,+,x,U,(,x,0,)）和对应,函数值增量,y,=,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,),比值 当,x,0 时有极,限,则称,函数,f,(,x,),在点,x,0,可导,并称此极限为,函数,f,(,x,)在点,x,0,导数,（或,微商,）,记为,f,(,x,0,),即,(3.3),第12页,12,这个定义能够用另一个形式表示：,若记,x,=,x,0,+,x,则,x,0 即为,x,x,0,所以,(3.3),函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,导数也可用,或 或,表示,所以,导数,f,(,x,0,)表示曲线,C,:,y,=,f,(,x,)在点,P,0,(,x,0,f,(,x,0,),切线,P,0,T,斜率,从而按直线点斜式方程知,曲线,C,:,y,=,f,(,x,)在点,P,0,(,x,0,f,(,x,0,)处切线,P,0,T,方程为,y,-,f,(,x,0,)=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,).,(3.4),第13页,13,在力学中,导数,s,(,t,0,)表示直线运动,s,=,s,(,t,)在时刻,t,0,瞬时速度,即,v,(,t,0,)=,s,(,t,0,).(3.2),在实际应用中,通常把导数 称为变量,y,对变量,x,在点,x,0,改变率,它表示函数值改变相对于自变量改变快慢.这么,曲线切线斜率能够说成是曲线上点纵坐标对该点横坐标改变率,速度能够说成是行走旅程对于时间改变率.改变率有广泛实际意义,比如:加速度就是速度对于时间改变率,角速度就是旋转角度对于时间改变率,线密度就是物质线段质量对线段长度改变率,功率就是所做功对于时间改变率,等等,第14页,14,小 知 识,牛顿,(I.Newton,16421727),伟大英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家.他给出了求一个变量对另一个变量改变率普遍方法,而且证实了求面积问题能够作为求改变率反问题而得到处理,这就是现在所称微积分基本定理.即使他先驱者在特殊例子中观察到了这一点,但并未认识到它普遍意义.能够说正是牛顿在先前许多出色数学家作出贡献基础上,以他敏锐和洞察力,完成最终最高一步,成就了微积分学创建工作在他著述中,用是无穷小量方法,他所说“瞬”,就是无穷小量,或者微元,或者不可分量.,他将现在所说导数称为“流数”,牛顿关于微积分工作有鲜明力学和几何色彩,第15页,15,小 知 识,牛顿生于英格兰一个小村庄,出生前即丧父,在地方学校接收初等教育,除对机械设计有兴趣外未显示出有特殊才华.1661年他进入剑桥大学三一学院,受教于数学家 I.巴罗,并做试验,研究笛卡儿“几何”以及哥白尼、开普勒、伽利略、沃利斯等人科学著作,1665 年获文学士学位 今后二年因躲避伦敦鼠疫回到故乡,开始他在机械、数学和光学方面伟大工作,其中包含处理微积分问题普通方法,但他没有及时发表所取得结果,1667年回到剑桥,当选为三一学院研究员,第二年获硕士学位.1669 年被委任接替巴罗任教授直至 1701 年,因为需处理一些技术问题,以及严重神经衰弱和经济方面原因,于1696 年受命任皇家造币厂监督,1703 年任英国皇家学会会长,1705年受女王封爵,晚年潜心于自然哲学和神学,第16页,16,小 知 识,他因为 1672 年和 1675 年发表两篇光学论文曾遭到了不一样观点学者严厉批评,所以直到 1687 年才在天文学家 E.哈雷勉励和资助下发表了他巨著自然哲学数学原理（三卷）,其中包含它在微积分学方面工作.他分别于 1669 年、1671 年和 1676 年完成三本关于微积分著作直到18世纪才正式出版.从现在观点来看,牛顿关于微积分基本概念阐述和运算方法证论是不很清楚和严密18 世纪达朗贝尔(J.L.R.D,Alembert,17171783）指出微积分基础可建立在极限基础上,导数这个定义是波尔察诺于 1817 年和柯西于 1823 年给出.,第17页,17,假如函数,y,=,f,(,x,)在开区间,I,中每一点都可导,则称,函数,f,(,x,)在区间,I,上可导,这时,对每一个,x,I,f,(,x,)(,x,I,)能够看成是定义在,I,上一个新函数,称它为原来函数,f,(,x,),导函数,（或简称,导数,）,也能够说成,y,对,x,导数,并记为,y,或 或 也可记为 或,注意,在这里 或 是一个整体,“,”表示对,x,求导,表示,y,作为,x,函数对,x,求导,由此可见,f,(,x,)在点,x,0,导数,f,(,x,0,)就是导函数,f,(,x,)在点,x,0,值,即 或,第18页,18,例 3,求函数,f,(,x,)=,C,（常数）导数.,解,在任意一点,x,因为,y,=,f,(,x,+,x,),-,f,(,x,),=,C,-,C,=0,故,f,(,x,)=0.所以常数导数恒等于零,即,(,C,),=0.,第19页,19,例 4,求幂函数,f,(,x,)=,x,n,(,n,N,)导数.,解,对任意一点,x,和它增量,h,因为,n,是正整数,由二项式定理,有,所以,即(,x,n,),=,n,x,n,-,1,.,第20页,20,例 5,求函数 导数.,解,对任意,x,x,0,第21页,21,例 6,求指数函数,y,=,a,x,导数,解,由 2.6.3 小节,故,即(,a,x,),=,a,x,ln,a,.,尤其,(e,x,),=e,x,.,第22页,22,例 7,求正弦函数,y,=sin,x,导数,解,即(sin,x,),=cos,x,.,同理可证,(cos,x,),=,-,sin,x,.,第23页,23,例 8,设函数,f,(,x,)在,x,=,a,点可导,且,求,f,(,a,).,解,设,x,=,-,2,h,则,h,0 即,x,0,所以,第24页,24,例 9,求双曲线 平行于直线,L,:,x,+4,y,+5=0 切线方程,解,问题关键是要求出双曲线上一点,在该点曲线切线与,L,平行.,设点 是双曲线上这么点.因为,故双曲线在点,P,0,切线,P,0,T,斜率为,因为,P,0,T,L,而,L,斜率为 故 即,从而,x,0,2,=4,即,x,0,=2.,第25页,25,例 9,求双曲线 平行于直线,L,:,x,+4,y,+5=0 切线方程,续解,由上可知双曲线在点 和 切线均与,给定直线,L,平行双曲线在这两点切线方程分别为,和,即,x,+4,y,-,4=0 和,x,+4,y,+4=0.,第26页,26,3.1.3 单侧导数,函数导数实际上是一个特殊形式函数极限函数有左、右极限概念,所以也能够定义函数在一点左、右导数对于分段函数,怎样判断它在分段点处可导性,就要用到在分段点处左、右导数,定义,2,设函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,点及其一个左(右)邻域(,x,0,-,x,0,)(,x,0,x,0,+,)有定义.假如极限,存在,则称此极限为函数,f,(,x,),在,x,0,左(右)导数,记为,f,-,(,x,0,)(,f,+,(,x,0,).,第27页,27,所以,左、右导数统称为,单侧导数,由函数极限与其左、右极限之间关系,可知,函数,f,(,x,0,)在点,x,0,可导,f,(,x,)在点,x,0,左、右导数存在且相等,第28页,28,例 10,求绝对值函数,y,=,f,(,x,)=|,x,|导数,解,当,x,0 时,f,(,x,)=,x,.故,f,(,x,)=1.,当,x,0 时直线,y,=,x,斜率,y,=1,当,x,0 时直线,y,=,-,x,斜率,y,=,-,1,当,x,=0 时图形上原点,O,是一个尖点,没有切线,第29页,29,例 11,设,求,g,(,x,).,解,当,x,1 时,g,(,x,)=,x,2,+1.设,x,+,x,1 时,g,(,x,)=2,x,.设,x,+,x,1,则,第30页,30,例 11,设,求,g,(,x,).,续解,当,x,=1 时,g,(1)=2,所以,g,-,(1)=,g,+,(1)=2,从而,g,(1)=2.,总而言之,有 或,从例,11,可见,对分段函数求在分段点处导数比较麻烦,下面定理给出了较为快捷方法（参见习题四第,8,题）,第31页,31,定理,3.1,设,0.,1)假如函数,f,(,x,)在,x,0,x,0,+,)上连续,在(,x,0,x,0,+,)上可导,且当,x,x,0,+,时,f,(,x,),A,则,f,+,(,x,0,)=,A,.,2)假如函数,f,(,x,)在(,x,0,-,x,0,上连续,在(,x,0,-,x,0,)上可导,且当,x,x,0,-,时,f,(,x,),B,则,f,-,(,x,0,)=,B,.,依此定理,在例11中,g,(,x,)在(,-,+),上连续,在(1,+)和(,-,1)上可导,且 故,g,+,(1)=2,g,-,(1),=2,从而,g,(1)=2.,例,11,设,求,g,(,x,).,第32页,32,3.1.4 函数可导与连续关系,由导数,f,(,x,0,)定义可知,假如导数,f,(,x,0,)存在,则当,x,0 时必有,y,=,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,)0（见习题二第 13 题）,即函数,f,(,x,)在点,x,0,连续.,所以,可导与连续关系是：,函数,f,(,x,),在点,x,0,连续是,f,(,x,)在点,x,0,可导必要条件,但不是充分条件.,从例 10 可见,即使函数,f,(,x,)=|,x,|,在点,x,=0 连续,但在点,x,=0 不可导,例,10,求绝对值函数,y,=,f,(,x,)=|,x,|,导数.,答案:,f,(,x,)=|,x,|在点,x,=0 不可导,第33页,33,例 12,判断分段函数,在点,x,=0 是否可导,解,因为,j,(0,+,)=,j,(0)=0,j,(0,-,)=1,故,j,(,x,)在点,x,=0 不连续,从而在点,x,=0 必不可导,第34页,34,3.2 求 导 法 则,3.2.1,3.2,.2,3.2,.3,函数和、差、积、商求导法则,反函数求导法则,复合函数求导法则,第35页,35,3.2.1,函数和、差、积、商求导法则,定理,3.2,设函数,u,(,x,)和,v,(,x,)均在,x,点可导,则它们和、差、积、商(分母不等于 0)也均在,x,点可导,且,(,u,(,x,),v,(,x,),=,u,(,x,),v,(,x,),(3.5),(,u,(,x,),v,(,x,),=,u,(,x,),v,(,x,)+,u,(,x,),v,(,x,),(3.6),(3.7),证,只证实(3.7)式,(3.5)和(3.6)可一样证实,第36页,36,(3.7),证,由导数定义,设 则,记,u,=,u,(,x,+,x,),-,u,(,x,),v,=,v,(,x,+,x,),-,v,(,x,),则,这就得到(3.7).,第37页,37,(,u,(,x,),v,(,x,),=,u,(,x,),v,(,x,),(3.5),(,u,(,x,),v,(,x,),=,u,(,x,),v,(,x,)+,u,(,x,),v,(,x,),(3.6),公式(3.5)和(3.6)可推广到多个函数情况,如,(,uvw,),=,u,vw,+,uv,w,+,uvw,.,因为(,C,),=0,从(3.6)可得,(,Cu,(,x,),=,Cu,(,x,).,第38页,38,例 1,设,f,(,x,)=3,x,4,+5,x,2,x,+8.求,f,(,x,).,解,由 3.1 节例 3 和例 4,f,(,x,)=(3,x,4,+5,x,2,x,+8),=(3,x,4,),+(5,x,2,),-,(,x,),+(8),=3(,x,4,),+5(,x,2,),-,1+0,=34,x,3,+52,x,-,1,=12,x,3,+10,x,-,1.,例 3,求函数,f,(,x,)=,C,(常数)导数.,例 4,求幂函数,f,(,x,)=,x,n,(,n,N,),导数.,答案:(,C,),=0;(,x,n,),=,n,x,n,-,1,.,第39页,39,例 2,设,g,(,x,)=,x,2,3,x,.求,g,(,x,)和,g,(2).,解,由 3.1 节例 4 和例 6,g,(,x,)=(,x,2,),3,x,+,x,2,(3,x,),=2,x,3,x,+,x,2,3,x,ln 3.,所以,g,(2)=(2,x,3,x,+,x,2,3,x,ln 3)|,x,=2,=43,2,+43,2,ln 3,=36(1+ln 3).,例 4,求幂函数,f,(,x,)=,x,n,(,n,N,),导数.,例,6,求指数函数,y,=,a,x,导数.,答案:(,x,n,),=,n,x,n,-,1,;(,a,x,),=,a,x,ln,a,.,第40页,40,例 3,设,y,=tan,x,求,y,.,解,由 3.1 节例 7,所以(tan,x,),=sec,2,x,.,同理可证,(cot,x,),=,-,csc,2,x,.,例 7,求正弦函数,y,=sin,x,导数.,答案:(sin,x,),=cos,x,.,第41页,41,例 4,设,y,=sec,x,求,y,.,解,即,(sec,x,),=tan,x,sec,x,.,同理,(csc,x,),=,-,cot,x,csc,x,.,第42页,42,3.2.2 反函数求导法则,定理,3.3,（反函数求导法则）,设函数,x,=,f,(,y,)在区间,I,1,上单调,可导,且,f,(,y,)0,则它反函数,y,=,f,-,1,(,x,)在区间,I,2,=,R,(,f,)=,x,=,f,(,y,)|,y,I,1,上也可导,且,(3.8),即,(3.8),下面给出证实大意.,第43页,43,(,3.8),证,因为函数,x,=,f,(,y,)在,I,1,上单调,可导,从而连续,所以它反函数,y,=,f,-,1,(,x,)在,I,2,上单调,连续,对于任意,x,I,2,和它增量,x,0(,x,+,x,I,2,),对应地有,y,=,f,-,1,(,x,+,x,),-,f,-,1,(,x,)0,且,x,0 等价于,y,0,故,反函数求导法则说明：,反函数导数等于直接函数导数倒数,第44页,44,例 5,求(log,a,x,),.,解,设,y,=log,a,x,即,x,=,a,y,所以,即,尤其,第45页,45,例 6,求(arcsin,x,),.,解,y,=arcsin,x,(|,x,|,0,y,=,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,),0,则,P,0,Q,=,x,PQ,=,y,RQ,=,f,(,x,0,),x,=,d,y,|,x,=,x,0,PR,=,y,-,d,y,|,x,=,x,0,=,o,(,x,)(,x,0).,近似计算公式(3.13),说明：当,x,很小时,PQ,RQ,其差,PR,是,P,0,Q,高阶无穷小.所以在点,P,0,邻近,为了计算,PQ,可由切线,P,0,T,代替曲线,C,此即通常所说“以直代曲”.,P,0,Q R,在一元微分学中占有主要地位,称为,微分三角形,或,特征三角形,它两条直角边分别表示自变量微分和函数微分.,图 3-4,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,)+,f,(,x,0,),x,.(3.13),第88页,88,在任意一点,x,函数,y,=,f,(,x,)微分,d,y,=,y,d,x,或 d,f,(,x,)=,f,(,x,)d,x,.(3.14),由(3.14),导数 能够看成是函数微分 d,y,与自变量,微分 d,x,之比,所以导数也称为“,微商,”（即微分商）,例 1,求函数,y,=sin,x,在点,x,=0 和 微分.,解,d,y,=(sin,x,),d,x,=cos,x,d,x,.所以,d,y,|,x,=0,=(cos 0)d,x,=d,x,第89页,89,例 2,求函数 在点,x,=1 微分当,x,=0.003 时值.,解,所以,例 3,求以下函数微分:,1)e,cos,x,;2)ln|,x,|(,x,0).,解,1)因为(e,cos,x,),=,-,e,cos,x,sin,x,故,d e,cos,x,=,-,e,cos,x,sin,x,d,x,.,第90页,90,例 3,求以下函数微分:,1)e cos,x,;2)ln|,x,|(,x,0).,解,2)因为 故当,x,0 时,当,x,MC(100),故,ML(100)=MR(100),-,MC(100)0.,所以企业在,q,=100 时增加产量能够取得更大利润,图 3-5,第109页,109,3.6.2 弹性分析,设,y,=,f,(,x,)是一个经济函数,x,在,x,0,点改变量为,x.,对应,y,在,y,0,=,f,(,x,0,)处改变量为,y,=,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,),导数,y,|,x,=,x,0,=,f,(,x,0,),考虑是,y,与,x,之比极限,但在经济学中,经常需要知道是当,x,在,x,0,改变 1 个百分数,时,y,在,y,0,处要改变多少个百分数,即要求考虑 与 之比.,第110页,110,定义,2,设,y,=,f,(,x,)是一个经济函数,当经济变量,x,在点,x,0,改变,x,时,经济变量,y,对应地在,y,0,=,f,(,x,0,)处改变,y,=,f,(,x,0,+,x,),-,f,(,x,0,).假如极限,存在,则称此极限值为,y,=,f,(,x,)在,x,0,点弹性,记为 其中比值,称为,y,=,f,(,x,),在点,x,0,与点,x,0,+,x,之间弧弹性,.,第111页,111,在任意一点,x,弹性,记为 它作为,x,函数称为,y,=,f,(,x,),弹性函数,所以,由此可见,只要函数,y,=,f,(,x,)在,x,0,点可导,在,x,0,点弹性,就存在,从弹性定义可知：,当 时,这说明当自变量,x,在点,x,0,增加 1%时,因变量,y,在,y,0,=,f,(,x,0,),近似地改变 确个百分数,或简单地直接说成改变,个百分数,这就是“弹性”概念实际含义,第112页,112,因为 与 都是相对改变量（,x,y,是,x,和,y,绝对改,变量）,而 是这种相对改变量之比极限,故它是一个,相对,改变率,按百分数来衡量（百分数是一个相正确指标,与变量,x,和,y,所用计量单位无关）,y,对于由,x,改变所产生反应灵敏度量化指标,第113页,113,例 3,设,S,=,S,(,p,)是市场对某一个商品供给函数,其中,p,是商品价格,S,是市场供给量,则,称为,供给价格弹性,.,因为,S,普通随,p,上升而增加,S,(,p,)是单调增加函数,当,p,0 时,S,0,故 其意义是：,当价格从,p,上升 1%,时,市场供给量从,S,(,p,)增加 个百分数,第114页,114,例 4,设,D,=,D,(,p,)是市场对某一商品需求函数,其中,p,是商品价格,D,是市场需求量,则,称为,需求价格弹性,可简单地记为,E,p,.,因为需求函数,D,(,p,)普通是,p,单调降低函数,当,p,0 时,D,0,故,D,(,p,)0.所以 普通为负数,其意义是：,当价,格从,p,上升 1%时,需求量从,D,(,p,)降低 个百分数；反之,当价格下降 1%时,需求量增加 个百分数.,第115页,115,假如,R,=,R,(,p,)是收益函数,则,R,=,pD,(,p,).所以,可见,当 时,商品需求量变动百分数高于价格变动,百分数（就绝对值而言,下同）,故称为,高弹性,此时,R,(,p,)0,从而伴随价格上升收益会增加;,当 时,商品需求量变动百分数等于价格变动百分数,故称为,单位弹性,此时,R,(,p,)=0,收益相对于价格处于临界状态.,第116页,116,例 5,伴随人们收入增加,对某种商品需求量也将发生改变.设人均收入为,M,对该种商品需求量为,Q,则,Q,=,Q,(,M,)为单调增加函数,其弹性,称为,需求收入弹性,第117页,117,例 6,设某商品市场需求函数为 (,p,:,百元,D,:,台),求,1)需求价格弹性函数,2)并说明其实际意义;,解,1)于是,第118页,118,例 6,设某商品市场需求函数为 (,p,:,百元,D,:,台),求,1)需求价格弹性函数,2)并说明其实际意义;,解,2),所以当价格,p,从 9(百元/台)上涨 1%时,该商品需求量在,D,(9)=12 台基础上下降 0.25%(或价格下降 1%时需求量增加,0.25%).因为 所以当价格上涨时收益能够增加,第119页,119,例 6,设某商品市场需求函数为 (,p,:,百元,D,:,台),求,3)时价格,并说明这时收益情况,解,3)若 则 于是 (百,元).这时,R,(,p,)=0.因为,故当 时,(百元)为最大收益,第,三,章,完,第120页,120,Thank you!,第121页,121,