陕西省师大附中2013届高三数学第四次模拟考试试题-理(含解析).doc

陕师大附中高2013届第四次模拟考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U＝{，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁UA)∪B为（ ）
A．{1，2，4} B．{2，3，4}
C．{，2，4} D．{，2，3，4}
【答案】C
【解析】因为集合A＝{1，2，3}，所以∁UA={-1,4}，所以(∁UA)∪B={，2，4}。
2．如果复数z＝，则（ ）
A．|z|＝2 B．z的实部为1 C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
【答案】C
【解析】z＝ ，所以，z的实部为-1，z的虚部为－1，z的共轭复数为-1＋i，因此选C。
3．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，所以c=1，又因为双曲线的离心率等于，所以，所以a= ,所以，所以该双曲线的方程为。
4．已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（　　）
A．5 B．40 C．20 D．10
【答案】D
【解析】令x=1，得，所以，，由，所以展开式中的系数为。
5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为
A．7 B． 9 C． 10 D．15
【答案】A
【解析】设n抽到的号码为，则，由：，所以n 的取值为26、27、28、29、30、31、32，共七个，因此做问卷C的人数为7.
6．把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是

【答案】A
【解析】，把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图像；然后向左平移1个单位长度，得到函数；再向下平移 1个单位长度，得到函数的图象，因此选A。
7．在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在区间内随机取两个数分别记为，表示边长为的正方形。要使函数有零点，需，表示以原点为圆心，为半径的圆的外部，且在正方形的内部，所以其面积为，所以有零点的概率为。

8. 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】第一次循环：，满足条件，；
第二次循环：，满足条件，；
第三次循环：，满足条件，；
第四次循环：，满足条件，；
第五次循环：，满足条件，；
第六次循环：，满足条件，；
第七次循环：，满足条件，；
……
易知：S的值以6为周期进行循环，所以最后输出的S的值为-1.
9．已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由，又，所以，所以。
10．定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于原点成中心对称，若，满足不等式．则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知函数是奇函数，又函数是在上的减函数，所以，所以，因为，所以，所以，做出不等式所表示的平面区域，如图的阴影部分的，C（4，-2），而表示在可行域内任一点与原点（0,0）的连线的斜率，结合图像可知OB直线的斜率最大，直线OC的斜率最小，因为。

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.
11．已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以，所以。

12．已知函数满足：当x≥4时，＝；当x＜4时＝，则＝______.
【答案】
【解析】因为，所以。
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
【答案】
【解析】由三视图知：原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体，圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为；三棱锥的的底面是等腰直角三角形，两直角边为，高为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为。
14．已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】若与的夹角为锐角，则，所以的取值范围是。
15. （考生注意：请在下列三个小题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题评分.）
A．（不等式选做题）若不存在实数使成立，则实数的取值集合是__________．
【答案】
【解析】的几何意义为x轴上到点3和1的距离和，所以的最小值为2，因此实数的取值集合是。
B． (几何证明选做题) )如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．
【答案】
【解析】如图，连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A
，又∠B=∠B，∽，,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得,解得CD=.

C. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线：（t为参数）与圆C2：（为参数）的位置关系不可能是________.
【答案】相离
【解析】把直线的方程：（t为参数）化为直角坐标方程为，把圆C2的方程：（为参数）化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为：
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分12分)
已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ)若，求周长的最大值．
17．(本题满分12分)
已知函数．
（Ⅰ）设函数的图像的顶点的纵坐标构成数列，求证：为等差数列；
（Ⅱ）设函数的图像的顶点到轴的距离构成数列，求的前项和．
18．(本题满分12分)
如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点．
(Ⅰ)求证：//平面；
(Ⅱ)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
19. (本题满分12分)
某品牌汽车4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：
付款方式
分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
40
20

10

已知分3期付款的频率为0.2，4s店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润。
(Ⅰ)求上表中的值;
(Ⅱ)若以频率作为概率，求事件：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用3期付款”的概率;
（Ⅲ）求Y的分布列及数学期望EY．
20. (本题满分13分)
如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
数学四模（理科）参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
D
A
A
B
D
C
D
二、填空题:
11． 12. 13. 14.
15. A. B. C. 相离.
三、解答题：
16．解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cosA=，∴A=，
∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC
=sin(B+C)
=sinA=……………6分
(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得
b+c=sinB+sinC
=sinB+sin(-B)
=2sinB+2cosB=4sin(B+)，
可知周长的最大值为6 ． ……………12分

17．解：（Ⅰ）∵，
∴， ---------2分
∴，
∴数列为等差数列． ---------4分
（Ⅱ）由题意知，， ---------6分
∴当时，，
----8分
当时，，

．---------10分
∴．　 ---------12分
18. 设，建立空间坐标系，使得
，,
，.…………2分
(Ⅰ)，，
所以，
平面，平面. ………5分
(Ⅱ)平面，，即
，，即.
平面和平面中，，
所以平面的一个法向量为；平面的一个法向量为；
，所以平面与平面夹角的余弦值为． ……12分

19.解：(Ⅰ) ……………………4分
(Ⅱ)记分期付款的期数为，则：，，
，故所求概率…………8分
（Ⅲ）Y可能取值为1，1.5，2（万元）
，
Y的分布列为：
Y
1
1.5
2
P
0.4
0.4
0.2
O
B
A
x
y
x＝－
2
1
(第20题图)
M
F1
F2
Y的数学期望（万元）………………………12分
20.【解析】(Ⅰ) 设F2(c，0)，则
＝，
所以c＝1．
因为离心率e＝，所以a＝．
所以椭圆C的方程为． ………5分
(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)
．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由 得
(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0，
则
－1＋4mk＝0，
故
k＝．
此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为
．
即 ．
联立 消去y，整理得
．
所以
，．
于是
(x1－1)(x2－1)＋y1y2

．
令t＝1＋32m2，1＜t＜29，则
．
又1＜t＜29，所以
．
综上，的取值范围为[，）．……13分
21．解：. ---------2分
（Ⅰ），解得. ---------3分
（Ⅱ）. ---------5分
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，
单调递减区间是. ---------6分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，
单调递减区间是. --------7分
③当时，， 故的单调递增区间是. ---------8分
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ---------9分
（Ⅲ）由已知，在上有.---------10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，
故. ---------11分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，， ---------13分
综上所述，. ---------14分

12