2015高考数学二轮专题复习题2：函数的图象与性质(含解析).doc

高考专题训练(二)　函数的图象与性质
A级——基础巩固组
一、选择题
1．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)
A. B. 新-课-标-第-一-网
C．1 D．2
解析　f(－1)＝2，f[f(－1)]＝f(2)＝4a＝1，∴a＝.
答案　A
2．(2014·辽宁卷)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)w!w!w.!x!k!b!
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析　0<a＝2－<1，b＝log2<0，c＝log>log＝1，∴c>a>b.
答案　C
3．(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析　用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，因f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，可化简上式得：f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1.故选C.
答案　C
4．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,2]
解析　因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1，故选C.
答案　C
5．已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式应为(　　)

A．f(x)＝exlnx B．f(x)＝e－xln(|x|)
C．f(x)＝exln(|x|) D．f(x)＝e|x|ln(|x|)
解析　由定义域是{x|x∈R，且x≠0}，排除A；由函数图象知不是偶函数，排除D；当x→＋∞时，f(x)＝→0，排除B，选C.
答案　C
6．已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a<4，则(　　)
A．f(2a)<f(3)<f(log2a)
B．f(3)<f(log2a)<f(2a)
C．f(log2a)<f(3)<f(2a)
D．f(log2a)<f(2a)<f(3)
解析　由f(x)＝f(4－x)，可知函数关于x＝2对称．
由xf′(x)>2f′(x)，得(x－2)f′(x)>0，
所以当x>2时，f′(x)>0，函数递增，
同理当x<2时，函数递减．
当2<a<4,1<log2a<2,22<2a<24，即4<2a<16.
所以f(log2a)＝f(4－log2a)，
所以2<4－log2a<3，即2<4－log2a<3<2a，
所以f(4－log2a)<f(3)<f(2a)，
即f(log2a)<f(3)<f(2a)，选C.
答案　C
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________．
解析　log2(x－2)≥0，∴x－2≥1，即x≥3.
答案　[3，＋∞)
8．已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x，则满足f(2x)<f(x)的x的取值范围是________．
解析　f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(x)＝
f(2x)＝
如图可知不等式f(2x)<f(x)的解集为.

答案　
9．已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：
(1)f(5)＝0；
(2)f(x)在[1,2]上是减函数；x k b 1 . c o m
(3)函数y＝f(x)没有最小值；
(4)函数f(x)在x＝0处取得最大值；x k b 1
(5)f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是________．
解析　因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图形，结合图形可知(1)(2)(4)正确．故答案为(1)(2)(4)．

答案　(1)(2)(4)
三、解答题
10．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．
解　(1)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x. http://www. xkb1.c om
∴∴新 课 标 第 一 网
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)∵f(x)＝x2－x＋1＝2＋，
∴f(x)min＝f＝，
f(x)max＝f(－1)＝3.
11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解　(1)设f(x)的图象上任一点P(x，y)．
则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－，
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3.
故a的取值范围是[3，＋∞)．
B级——能力提高组
1．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 014)＋f(2 015)＝(　　)

A．3 B．2
C．1 D．0x k b 1 . c o m
解析　因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3.
答案　A
2．(2014·山东卷)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析　在正确理解新定义的基础上，根据函数的性质求解．
由已知得＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立．在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．

答案　(2，＋∞)
3．设f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0<a<b.
(1)求方程f(x)＝1的解；
(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f，求证：a·b＝1，>1；
(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f所得到的关于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
解　(1)由f(x)＝1，得lgx＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)，

从而－lga＝lgb，从而ab＝1.
又＝，
令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，x Kb 1.Com
任取1<b1<b2，
∵φ(b1)－φ(b2)＝(b1－b2)<0，
∴φ(b1)<φ(b2)，
∴φ(b)在(1，＋∞)上为增函数．
∴φ(b)>φ(1)＝2.
∴>1.
(3)证明：由已知可得b＝2，
得4b＝a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0，
g(b)＝＋b2＋2－4b，
因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
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