吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学-213函数的单调性学案-新人教B版必修1.doc

2.1.3函数的单调性
一．学习要点：函数的单调性的概念及其简单应用
二．学习过程：
引例：考察函数，，的图象。
问题：当自变量在实数集内由小变大时，函数的值怎样变化？
一 函数单调性的定义：
在函数的图象上任取两点、，记，．
——自变量的改变量，——因变量的改变量。
一般地，设函数的定义域为，区间．
1. 增函数：对任意两个值，当改变量时，有，那么就称函数在区间上是增函数；
2. 减函数：对任意两个值，当改变量时，有，那么就称函数在区间上是减函数。
3. 单调性：如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间）。

注意：
1. 定义中的，应满足三个条件：同属于一个单调区间；具有任意性；规定大小；
2. 函数的单调性是对某个区间而言的，函数的单调区间为函数定义域的子区间；
3. 对于单独的一个点由于它的函数值是唯一的常数，因而没有增减变化，不存在单调性问题。在书写单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间；
4. 如果函数在某几个区间上具有相同的单调性，在这几个区间的并集上则不一定具有单调性。
5. 当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数；越大，函数值在上增长或减少得就越快。

二 求函数的单调区间：
例1 如图是定义在闭区间上的函数的
图象，根据图象说出的单调区间，以及在
x
y
O
每一单调区间上，是增函数还是减函数。

三 函数单调性的证明：
例2 证明函数在上是增函数。

例3 证明函数在区间和上分别是减函数。

四 函数单调性的应用：
例4 已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围。

课堂练习：
1．设函数是上的减函数，则有（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上为增函数，则实数的取值范围是________________

5．函数的单调减区间是________________

6．函数的单调减区间是________________

x
y
O
7．函数的图象如图，则函数的单调减区间是________________

8．函数在上递增，则的范围为______________

9．求证在为增函数。

10．对于给定区间上任意两个值，，，，
① 当时，函数在区间上为增函数
② 当时，函数在区间上为减函数
③ 当时，函数在区间上的单调性不确定
④ 当时，函数在区间上的单调性不确定
上述判断正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的单调增区间是_______________
12．函数的单调减区间是_______________
13．函数的单调减区间是_______________
14．函数的单调区间是________________
15．函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是_____________
16．求证函数在上是减函数。

17．证明：函数在上是减函数。

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