要点梳理三种增长型函数模型的图象与质市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,关键点梳理,1.三种增加型函数模型图象与性质,2.8 函数模型及其应用,y,=,a,x,(,a,1),y,=log,a,x,(,a,1),y,=,x,n,(,n,0),在(0,+)上增减性,_,_,_,增加速度,_,_,相对平稳,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,函,数,性,质,第1页,2.三种增加型函数之间增加速度比较,(1)指数函数,y,=,a,x,(,a,1)与幂函数,y,=,x,n,(,n,0),在区间(0,+)，不论,n,比,a,大多少，尽管在,x,一定,范围内,a,x,会小于,x,n,，但因为,y,=,a,x,增加速度_,y,=,x,n,增加速度,因而总存在一个,x,0,当,x,x,0,时有_.,图象改变,随x增大逐步表现为与,_平行,随x增大逐步表现为与_平行,随n值改变而不一样,y,轴,x,轴,快于,a,x,x,n,第2页,（2）对数函数,y,=log,a,x,(,a,1)与幂函数,y,=,x,n,(,n,0),对数函数,y,=log,a,x,(,a,1)增加速度，不论,a,与,n,值,大小怎样总会_,y,=,x,n,增加速度,因而在定义域,内总存在一个实数,x,0,使,x,x,0,时有_.,由(1)(2)能够看出三种增加型函数尽管均为增函,数，但它们增加速度不一样，且不在同一个档次上,所以在（0,+)上，总会存在一个,x,0,，使,x,x,0,时有,_.,慢于,log,a,x,x,n,log,a,x,第3页,3.惯用几类函数模型,(1)一次函数模型,f,(,x,)=,kx,+,b,(,k,、,b,为常数，,k,0);,(2)反百分比函数模型,(,k,、,b,为常数,k,0);,(3)二次函数模型,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,、,b,、,c,为常数，,a,0)；,(4)指数函数模型,f,(,x,)=,a,b,x,+,c,（,a,、,b,、,c,为常数，,a,0,b,0,b,1）；,(5)对数函数模型,f,（,x,）=,m,log,a,x,+,n,（,m,、,n,、,a,为常,数，,m,0,a,0,a,1）;,(6)幂函数模型,f,(,x,)=,ax,n,+,b,(,a,、,b,、,n,为常数，,a,0,n,1).,第4页,1.求解函数应用题普通方法,“数学建模”是处理数学应用题主要方法,解应用,题普通程序是：,(1)审题:搞清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;,(2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建,立对应数学模型；,(3)求模:求解数学模型,得到数学结论；,(4)还原:将用数学方法得到结论还原为实际问题,意义.,方法与技巧,思想方法 感悟提升,第5页,4.求解函数应用问题思绪和方法，我们能够用示意,图表示为,5.实际问题中函数定义域要尤其注意,另外，结果,要回到实际问题中写答案.,第6页,基础自测,1.我国为了加强对烟酒生产宏观调控，除了应征税,外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，,不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100,元国家要征附加税为,x,元（税率,x,%）,则每年销售量,降低10,x,万瓶，为了要使每年在此项经营中收取附,加税额不少于112万元，则,x,最小值为 （）,A.2 B.6 C.8 D.10,解析,依题意,解得2,x,8,则,x,最小值为2.,A,第7页,2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利,息税税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人,6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，,到年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人本金介于 （）,A.3万4万元 B.4万5万元,C.5万6万元 D.2万3万元,解析 设存入本金为x，,则x2%20%=138.64，,A,第8页,3.在一定范围内，某种产品购置量,y,吨与单价,x,元之,间满足一次函数关系,假如购置1 000 吨,每吨为800,元；购置2 000 吨,每吨为700元;一客户购置400 吨,单价应该是 （）,A.820元 B.840元 C.860元 D.880元,解析,依题意，可设,y,与,x,函数关系式为,y,=,kx,+,b,由,x,=800,y,=1 000及,x,=700,y,=2 000,可得,k,=-10,b,=9 000,即,y,=-10,x,+9 000,将,y,=400代入得,x,=860.,C,第9页,4.某物体一天中温度,T,(单位:)是时间,t,(单位:,h,),函数:,T,(,t,)=,t,3,-3,t,+60,t,=0表示中午1200，其后,t,取正值,则下午3时温度为 （）,A.8 B.78 C.112 D.18,解析,由题意，下午3时，,t,=3，,T,(3)=78.,第10页,5.为了确保信息安全，传输必须使用加密方式,有一,种方式其加密、解密原理以下：,明文 密文 密文 明文,已知加密为,y,=,a,x,-2（,x,为明文,y,为密文）,假如明文,“3”经过加密后得到密文为“6”，再发送，接收,方经过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为,“14”，则原发明文是_.,解析,依题意,y,=,a,x,-2中，当,x,=3时，,y,=6,故6=,a,3,-2，,解得,a,=2.所以加密为,y,=2,x,-2，所以，当,y,=14时，由,14=2,x,-2,解得,x,=4.,加密,发送,解密,4,第11页,题型一 一次、二次函数模型,【,例1,】,如图所表示，在矩形,ABCD,中，已知,AB,=,a,，,BC,=,b,（,b,a,）,在,AB,，,AD,，,CD,，,CB,上分别截取,AE,，,AH,CG,CF,都等于,x,，当,x,为何值时，四边形,EFGH,面积最,大？并求出最大面积.,依据图形建立四边形,EFGH,面积,S,关于,自变量,x,目标函数，然后利用处理二次函数最值,问题求出,S,最大值.,思维启迪,题型分类 深度剖析,第12页,解,设四边形,EFGH,面积为,S,，,则,S,AEH,=,S,CFG,=,x,2,S,BEF,=,S,DGH,=(,a,-,x,)(,b,-,x,)，,由图形知函数定义域为,x,|0,x,b,.,又0,b,a,0,b,3,b,时,S,(,x,)在（0,b,上是增函数，,此时当,x,=,b,时，,S,有最大值为,综上可知，当,a,3,b,时，时，,四边形面积,S,max,=,当,a,3,b,时，,x,=,b,时，四边形面积,S,max,=,ab,-,b,2,.,第14页,探究提升,二次函数是我们比较熟悉基本函数,建,立二次函数模型能够求出函数最值,处理实际中,最优化问题，值得注意是：一定要注意自变量取,值范围，依据图象对称轴与定义域在数轴上表示,区间之间位置关系讨论求解.,第15页,题型二 分段函数模型,【,例2,】,某企业研制出了一个新产品，试制了一批样,品分别在国内和国外上市销售，而且价格依据销售,情况不停进行调整，结果40天内全部销完.企业对,销售及销售利润进行了调研,结果如图所表示，其中,图（一条折线）、图（一条抛物线段）分别是,国外和国内市场日销售量与上市时间关系，图,是每件样品销售利润与上市时间关系.,第16页,(1)分别写出国外市场日销售量,f,（,t,）与上市时间,t,关系及国内市场日销售量,g,（,t,）与上市时间,t,关,系；,(2)国外和国内日销售利润之和有没有可能恰好等,于6 300万元？若有，请说明是上市后第几天；若,没有，请说明理由.,第17页,(2)每件样品销售利润,h,（,t,）与上市时间,t,关系为,故国外和国内日销售利润之和,F,(,t,)与上市时间,t,关系为,第18页,当0,t,20时，,F,（,t,）在0，20上是增函数，,F,（,t,）在此区间上最大值为,F,（20）=6 0006 300.,当20,t,30时，,由,F,（,t,）=6 300，得3,t,2,-160,t,+2 100=0,解得,t,=(舍去)或,t,=30.,第19页,当30,t,40时，,由,F,（,t,）在（30，40上是减函数，,得,F,(,t,)400时，,f,(,x,)=60 000-100,x,是减函数，,f,(,x,)60 000-10040025 000.,所以，当,x,=300时，有最大值25 000.,所以，当月产量为300台时，企业所赢利润最大，最,大利润是25 000元.,第22页,题型三 指数函数模型与幂函数模型,【例3】某城市现有些人口总数为100万人,假如年自然,增加率为1.2%，试解答以下问题：,(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年),函数关系式；,(2)计算以后该城市人口总数(准确到0.1万人);,(3)计算大约多少年以后，该城市人口将到达120万,人（准确到1年）.,(4)假如后该城市人口总数不超出120万人，年,自然增加率应该控制在多少？,第23页,（参考数据:1.012,9,1.113，1.012,10,1.127，,lg 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005,lg 1.0090.003 9）,增加率问题是指数函数问题，利用指数,函数模型，结构函数.,思维启迪,第24页,解,（1）1年后该城市人口总数为,y,=100+1001.2%=100(1+1.2%),2年后该城市人口总数为,y,=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%,=100(1+1.2%),2,.,3年后该城市人口总数为,y,=100(1+1.2%),2,+100(1+1.2%),2,1.2%,=100(1+1.2%),3,.,x,年后该城市人口总数为,y,=100(1+1.2%),x,.,第25页,(2)后，人口总数为,100(1+1.2%)10112.7（万人).,(3)设x年后该城市人口将到达120万人，,即100(1+1.2%)x=120,(4)由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2,两边取对数得20lg(1+x%)lg 1.2=0.079,所以,所以1+x%1.009,得x0.9,即年自然增加率应该控制在0.9%.,第26页,探究提升,这类增加率问题，在实际问题中常能够,用指数函数模型,y,=,N,(1+,p,),x,(其中,N,是基础数，,p,为增加,率，,x,为时间)和幂函数模型,y,=,a,(1+,x,),n,(其中,a,为基础,数，,x,为增加率，,n,为时间)形式.解题时，往往用到,对数运算，要注意与已知表格中给定值对应求解.,第27页,知能迁移3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，,提出了“人类对生育选择将决定世界未来”主,题,控制人口急剧增加紧迫任务摆在我们面前.,（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口,平均增加率是多少？,（2）我国人口在1998年底到达12.48亿，若将人口平,均增加率控制在1%以内，我国人口在底至多,有多少亿？,第28页,以下数据供计算时使用：,数,N,1.010,1.015,1.017,1.310,2.000,对数lg,N,0.004 3,0.006 5,0.007 3,0.117 3,0.301 0,数,N,3.000,5.000,12.48,13.11,13.78,对数lg,N,0.477 1,0.699 0,1.096 2,1.117 6,1.139 2,第29页,解 （1）设每年人口平均增加率为x，n年前人口,数为y，,则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，,即30(1+x)40=60，(1+x)40=2，,两边取对数，则40lg（1+x）=lg 2，,则lg（1+x）=0.007 525，,1+x1.017，得x=1.7%.,（2）依题意，y12.48(1+1%)10，,得lg ylg 12.48+10lg 1.01=1.139 2,y13.78，故人口至多有13.78亿.,答 每年人口平均增加率为1.7%，人口至多有,13.78亿.,第30页,题型四 函数综合应用,【,例4,】,(12分)有一个受到污染湖泊，其湖水体,积为,V,立方米,天天流出湖泊水量等于流入湖泊,水量，都为,r,立方米.现假设下雨和蒸发恰好平衡，,且污染物质与湖水能很好混合.用,g,（,t,）表示任一,时刻,t,每立方米湖水所含污染物质克数，我们称其,为在时刻,t,时湖水污染质量分数.已知当前污染源,以天天,p,克污染物质污染湖水,湖水污染质量分数,满足关系式 (,p,0)，其中,g,(0)是湖水污染初始质量分数.,第31页,（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染,初始质量分数；,（2）求证：当,g,(0)时,湖泊污染程度将越来越,严重；,（3）假如政府加大治污力度，使得湖泊全部污染,停顿，那么需要经过多少天才能使湖水污染水平,下降到开始时(即污染源停顿时)污染水平5%？,第32页,（1）水污染质量分数为常数，即,g,(,t,),为常数函数；,(2)污染程度越来越严重，即证实,g,(,t,)为增函数；,(3)转化为方程即可处理.,(1),解,设0,t,1,t,2,g,(,t,)为常数，,g,（,t,1,）=,g,(,t,2,),2分,4分,思维启迪,第33页,(2),证实,设0,t,1,t,2,g,(0)-0,t,1,t,2,g,(,t,1,)-,g,(,t,2,)0,g,(,t,1,),g,(,t,2,).,故湖泊污染质量分数随时间改变而增加，污染越来,越严重.8分,第34页,(3),解,污染源停顿，即,p,=0，此时,设要经过,t,天能使湖水污染水平下降到开始时污染,水平5%.,即,g,(,t,)=5%,g,(0)，即有5%,g,（0）=,10分,由实际意义知,g,(0)0，,即需要 天时间.12分,第35页,探究提升,(1)对这类问题处理关键是认真审题，,理顺数量关系.,(2)应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析,式.,(3)用函数、方程、不等式解答.,第36页,知能迁移4,经市场调查，某城市一个小商品在过,去近20天内销售量(件)与价格（元）均为时间,t,(天)函数,且销售量近似满足,g,(,t,)=80-2,t,(件),价,格近似满足,(1)试写出该种商品日销售额,y,与时间,t,(0,t,20),函数表示式；,(2)求该种商品日销售额,y,最大值与最小值.,第37页,解,（1）,y,=,g,（,t,）,f,（,t,）,=（40-,t,）（40-|,t,-10|）,=,（2）当0,t,0,b,1)；,(5)对数型函数模型:,f,(,x,)=,m,log,a,x,+,n,(,m,n,a,为常数，,m,0,a,0,a,1);,(6)分段函数模型.,第39页,1.函数模型应用不妥，是常见解题错误.所以，正,确了解题意，选择适当函数模型.,2.要尤其关注实际问题自变量取值范围,合理确,定函数定义域.,3.注意问题反馈.在处理函数模型后，必须验证这个,数学解对实际问题合理性.,失误与防范,第40页,一、选择题,1.某电信企业推出两种手机收费,方式:,A,种方式是月租20元,B,种,方式是月租0元.一个月当地网,内打出电话时间,t,(分钟)与打出,电话费,s,（元）函数关系如图，,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差,（）,A.10元 B.20元 C.30元 D.元,定时检测,第41页,解析,设,A,种方式对应函数解析式为,S,=,k,1,t,+20,B,种方式对应函数解析式为,S,=,k,2,t,当,t,=100时，100,k,1,+20=100,k,2,当,t,=150时，150,k,2,-150,k,1,-20=,故选A.,答案,A,第42页,2.由方程,x,|,x,|+,y,|,y,|=1确定函数,y,=,f,(,x,)在(-,+),上是 （）,A.增函数 B.减函数,C.先增后减 D.先减后增,解析,当,x,0且,y,0时，,x,2,+,y,2,=1,当,x,0且,y,0时，,x,2,-,y,2,=1,当,x,0时，,y,2,-,x,2,=1,当,x,0且,y,0），匀速,行驶,s,=,vt,减速行驶 (,a,0)结合函数图象可,知选A.,A,第46页,5.某产品总成本,y,(万元)与产量,x,(台)之间函数,关系是,y,=3 000+20,x,-0.1,x,2,(0,x,0且,a,1，,f,(,x,)=,x,2,-,a,x,当,x,(-1,1)时都有,f,(,x,)0时，方程,f,(,x,)=0只有一个实数根；,c,=0时，,y,=,f,(,x,)是奇函数；,方程,f,(,x,)=0至多有两个实根.,上述三个命题中全部正确命题序号为_.,解析,f,(,x,)=,x,|,x,|+,c,=,第51页,如图，曲线与,x,轴只有一个交点，,所以方程,f,(,x,)=0只有一个实数根，正确.,c,=0时，,f,(,x,)=,x,|,x,|+,bx,，显然是奇函数.,当,c,=0,b,0在2,+)上恒成立,且为增函数,-40，解得,x,2.3.,x,N,*,，,x,3，3,x,6，,x,N,*,，,当,x,6时，,y,=50-3（,x,-6）,x,-115.,令50-3（,x,-6）,x,-1150,有3,x,2,-68,x,+1150,上述不等式整数解为2,x,20(,x,N,*,）,6185，,当每辆自行车日租金定在11元时，才能使一日,净收入最多.,第56页,11.经过研究学生学习行为，教授发觉，学生注,意力伴随老师讲课时间改变而改变,讲课开始时,学生兴趣激增;中间有一段时间,学生兴趣保持,较理想状态,随即学生注意力开始分散,设,f,(,t,),表示学生注意力随时间,t,（分钟）改变规律(,f,(,t,),越大,表明学生注意力越集中),经过试验分析得知：,第57页,(1)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能,连续多少分钟？,(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时,学生注意力更集中？,(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，而且要求学生,注意力最少到达180，那么经过适当安排，教师能,否在学生到达所需状态下讲授完这道题目？,第58页,解,（1）当0,t,10时，,f,(,t,)=-,t,2,+24,t,+100,=-(,t,-12),2,+244是增函数，且,f,(10)=240；,当20,t,40时，,f,(,t,)=-7,t,+380是减函数，,且,f,(20)=240.,所以,讲课开始10分钟，学生注意力最集中，能持,续10分钟.,（2）,f,（5）=195，,f,（25）=205，,故讲课开始25分钟时，学生注意力比讲课开始后5,分钟更集中.,第59页,（3）当0,t,10时，,f,（,t,）=-,t,2,+24,t,+100=180，,则,t,=4；,当2024,所以，经过适当安排，老师能够在学生到达所需要,状态下讲授完这道题.,第60页,12.某化工厂引进一条先进生产线生产,某种化工产品,其生产总成本,y,(万元)与年产量,x,(吨)之间函数,关系式能够近似地表示为,y,=-48,x,+8 000,已知此,生产线年产量最大为210吨.,(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均成,本最低,并求最低成本;,(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量,为多少吨时,能够取得最大利润？最大利润是多少？,解,(1)每吨平均成本为 (万元).,第61页,当且仅当 即,x,=200时取等号.,年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.,(2)设年取得总利润为,R,(,x,)万元,则,R,(,x,)=40,x,-,y,=40,x,-+48,x,-8 000,=-+88,x,-8 000,=-(,x,-220),2,+1 680(0,x,210).,R,(,x,)在0,210上是增函数,x,=210时,R,(,x,)有最大值为,-(210-220),2,+1 680=1 660.,年产量为210吨时,可取得最大利润1 660万元.,返回,第62页,