广东省附城中学2013届高三数学一轮复习第五章三角函数第一节-角的概念的推广与弧度制-理.doc

广东省附城中学2013届高三数学（理）一轮复习第五章三角函数第一节 角的概念的推广与弧度制

A组
1．点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．
解析：由于点P从(－1,0)出发，顺时针方向运动弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(cos，sin)，即Q(－，)．答案：(－，)
2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tan　②sin　③cos　④cos2α
解析：α为第四象限角，则为第二、四象限角，因此tan<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①
3．若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角．
答案：三
4．函数y＝＋＋的值域为________．
解析：当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；
当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；
当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；
当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}
5．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为________．
解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝，易得tanα＝或，则a＝－4或－.答案：－4或－
6．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－，y)(y≠0)，且sinα＝y，求cosα，tanα的值．
解：因为sinα＝y＝，所以y2＝5，
当y＝时，cosα＝－，tanα＝－；
当y＝－时，cosα＝－，tanα＝.
B组
1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．
解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝；
当a<0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝.答案：
2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．
解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，则
，解得α＝1或α＝4.答案：1或4
3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________．
解析：S＝|α|r2＝×π×100＝π(cm2)．答案：π cm2
4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°}
5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．
解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．
答案：一或三
6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．
解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝＝10|a|，
∴sinα－cosα＝－＝＝＝±.答案：±
7．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．
解析：＝tan300°＝－tan60°＝－.答案：－
8．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
解析：由sin>0，cos<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝.答案：
9．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝，且cosα<0，则k的值为________．
解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，
∴r＝＝|x|.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，
∴r＝－x，且k<0.∴sinα＝＝＝－，又sinα＝.
∴－＝，∴k＝－2.答案：－2
10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．
解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝·π·10－·102sin60°＝50(－)(cm2)．
11．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝.∴S扇＝αr2＝α·＝≤4，
当且仅当α＝，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r＝＝2 (cm)，
∴|AB|＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．
12．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角β的终边在直线y＝x上，用三角函数定义求sinβ的值．
解：(1)根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝＝5|t|，
①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－，cosα＝，所以2sinα＋cosα＝－＋＝－.
②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝＝，cosα＝＝－，
所以2sinα＋cosα＝－＝.
(2)设P(a，a)(a≠0)是角β终边y＝x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝＝－；若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，
此时sinβ＝＝.

第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组
1．若cosα＝－，α∈(，π)，则tanα＝________.
解析：cosα＝－，α∈(，π)，所以sinα＝，∴tanα＝＝－.
答案：－
2．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由sinθ＝－<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－.
答案：－
3．若sin(＋α)＝，则cos(－α)＝________.
解析：cos(－α)＝cos[－(＋α)]＝sin(＋α)＝.答案：
4．已知sinx＝2cosx，则＝______.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴＝＝.
答案：
5．(原创题)若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.
解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝时，有sinθ＝±.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或或－.答案：0或或－
6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，求cosα，sinα的值．
解：由题意，得2sinαcosα＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得：(sinα＋cosα)2＝，②－①得：(sinα－cosα)2＝.
又∵α∈(，)，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝.③sinα－cosα＝，④
③＋④得：sinα＝.③－④得：cosα＝.
B组
1．已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.
解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝＝＝.答案：
2． cos＝________.
解析：cos＝cos＝－cos＝－.答案：－
3．已知sinα＝，且α∈(，π)，那么的值等于________．
解析：cosα＝－＝－， ＝＝＝＝－.
答案：－
4．若tanα＝2，则＋cos2α＝_________________.
解析：＋cos2α＝＋＝＋＝.答案：
5．已知tanx＝sin(x＋)，则sinx＝___________________.
解析：∵tanx＝sin(x＋)＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝.答案：
6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.
解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或.答案：0或
7．已知sin(α＋)＝，则cos(α＋)的值等于________．
解析：由已知，得cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]＝－sin(α＋)＝－.
答案：－
8．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.
解析：由
将①代入②得(sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝2.
答案：2
9．已知f(α)＝，则f(－)的值为________．
解析：∵f(α)＝＝－cosα，∴f(－π)＝－cos＝－.答案：－
10．求sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)(n∈Z)的值．
解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)＝sin·cos[(n＋1)π＋]
＝sin(π－)·cos＝sin·cos＝×＝.
(2)当n为偶数时，sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)＝sin·cos＝sin(π－)·cos(π＋)＝sin·(－cos)＝×(－)＝－.
11．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三内角．
解：由已知，得
①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±.
(1)当cosA＝时，cosB＝，又A、B是三角形内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.(2)当cosA＝－时，cosB＝－.又A、B是三角形内角，∴A＝π，B＝π，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝π.
12．已知向量a＝(，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．
(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，求的值．
解：(1)∵a∥b，∴cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－cosα＝2sin(α－)．
又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－)＝－1时，mmin＝－2.
此时α－＝π，即α＝π.
(2)∵a⊥b，且m＝0，∴sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－.
∴＝＝tanα·2sinα·cosα
＝tanα·＝tanα·＝.

第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组
1．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是．
①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，]上是增函数
③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数
解析：∵y＝sin(x－)＝－cosx，y＝－cosx为偶函数，
∴T＝2π，在[0，]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：④
2．函数y＝2cos2(x－)－1是________．
①最小正周期为π的奇函数　②最小正周期为π的偶函数　③最小正周期为的奇函数　④最小正周期为的偶函数
解析：y＝2cos2(x－)－1＝cos(2x－)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数．
答案：①
3．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)＝(1＋·)·cosx＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取得最大值2.答案：2
4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为________．
解析：∵x＝是对称轴，∴f(0)＝f()，即cos0＝asin＋cos，∴a＝.
答案：
5．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期是π，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．
解析：∵T＝＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x＝对称，所以有sin(2×＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－)＝0得2x＋k1π－＝k2π(k2∈Z)，∴x＝＋(k2－k1)，当k1＝k2时，x＝，∴f(x)图象的一个对称中心为(，0)．答案：(，0)
6．设函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx－.
(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和．
解：(1)f(x)＝(cos2x＋1)＋sin2x－＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)，
故T＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－π≤x≤kπ＋，
所以单调递增区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．
(2)令f(x)＝1，即sin(2x＋)＝1，则2x＋＝2kπ＋(k∈Z)．于是x＝kπ＋(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0,1,2，则＋(π＋)＋(2π＋)＝.
∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为π.
B组
1．函数f(x)＝sin(x＋)＋sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
解析：f(x)＝cos＋sin＝sin(＋)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝＝3π，∴＝.答案：
2．给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________．
①y＝sin(＋)　　　　②y＝sin(2x＋) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－)
解析：④中，∵T＝＝π，∴ω＝2.又2×－＝，所以x＝为对称轴．
答案：④
3．若<x<，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为__．
解析：<x<，tanx>1，令tan2x－1＝t>0，则y＝tan2xtan3x＝＝＝－2(t＋＋2)≤－8，故填－8.答案：－8
4．(函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．
解析：因为f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在区间[－，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－. 答案：－
5．若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的最大值为________．
解析：由题意，得≥，∴0<ω≤，则ω的最大值为.答案：
6．设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－，0]，则x0＝________.
解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x0＋)＝0，x0∈[－，0]，得x0＝－.答案：－
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．
①y＝4sin(4x＋)②y＝2sin(2x＋)＋2③y＝2sin(4x＋)＋2 ④y＝2sin(4x＋)＋2
解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以，解得A＝m＝2，又最小正周期为＝，所以ω＝4，又直线x＝是其图象的一条对称轴，将x＝代入得sin(4×＋φ)＝±1，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，φ＝.答案：④
8．有一种波，其波形为函数y＝sinx的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
解析：函数y＝sinx的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥T＝5.答案：5
9．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵y＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，且由函数y＝f(x)与直线y＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋)．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．答案：[kπ－，kπ＋](k∈Z)
10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,2)，其中ω>0，函数f(x)＝a·b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意实数x∈[，]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2)＝sin2ωx＋(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋)＋.∵相邻两对称轴的距离为π，∴＝2π，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin(x＋)＋.
(2)∵x∈[，]，∴x＋∈[，]，∴2≤f(x)≤2＋.又∵|f(x)－m|<2，
∴－2＋m<f(x)<2＋m.,若对任意x∈[，]，恒有|f(x)－m|<2成立，则有
解得≤m≤2＋2.
11．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求m的值．
解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]．
(2)当x∈[0，]时，∵f(x)单调递增，∴当x＝时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1.
12．已知函数f(x)＝sinωx－2sin2＋m(ω>0)的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数 f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．
解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋)－1＋m.
依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，即＝3π，解得ω＝.
∴f(x)＝2sin(＋)－1＋m.
当x∈[0，π]时，≤＋≤，≤sin(＋)≤1，
∴f(x)的最小值为m.依题意，m＝0.∴f(x)＝2sin(＋)－1.
(2)由题意，得f(C)＝2sin(＋)－1＝1，∴sin(＋)＝1.
而≤＋≤，∴＋＝，解得C＝.∴A＋B＝.
在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝.∵0<sinA<1，∴sinA＝.

第四节 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像
A组
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．

解析：函数的最小正周期为T＝，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④
2．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于________．
解析：y＝sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin(x＋)．答案：
3．将函数f(x)＝sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．
解析：因为f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为.
答案：
4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．
①函数f(x)的最小正周期为；
②函数f(x)的振幅为2；
③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π；
④函数f(x)的单调递增区间为[，π]；
⑤函数的解析式为f(x)＝sin(2x－π)．
解析：据图象可得：A＝，＝－⇒T＝π，故ω＝2，又由f()＝⇒sin(2×＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－，故f(x)＝sin(2x－)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[，]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤
5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．
解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，则2010≥⇒ω≥.答案：
6．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为. (1)求ω；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋，
令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，
经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)＋，
当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．
B组
1．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图可知，＝2π－π，
∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，
∴y＝sin(x＋φ)．
又∵sin(×π＋φ)＝－1，
∴sin(π＋φ)＝－1，
∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.
∵－π≤φ<π，∴φ＝π. 答案：π
2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图象知T＝2(－)＝π.
∴ω＝＝2，把点(，1)代入，可得2×＋φ＝，φ＝.答案：
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
∴＝π，故ω＝2.
又f(x)＝sin(2x＋)∴g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x.
答案：向左平移个单位长度
4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.
解析：＝π－π＝，∴ω＝＝3.
又(π，0)是函数的一个上升段的零点，
∴3×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
代入f()＝－，得A＝，∴f(0)＝. 答案：
5．将函数y＝sin(2x＋)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－，0)中心对称．
解析：由y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)可知其函数图象关于点(－，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－，0)对称，只需向右平移即可．答案：右　
6．定义行列式运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．
解析：由题意，知f(x)＝sinx－cosx＝2(sinx－cosx)＝2sin(x－)，
其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－＋m)，平移后其对称轴为x－＋m＝kπ＋，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋(k∈Z)，故m的最小值为.答案：
7．若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：y＝tan(ωx＋)向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－)＋]，即y＝tan(ωx＋－)，显然当－＝＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为.答案：
8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是；②函数y＝sin(x－)在区间[π，]上单调递增；③x＝是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．
解析：由于函数y＝sin(2x＋)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是，①正确；y＝sin(x－)＝cosx，该函数在[π，)上单调递增， ②正确；当x＝时，y＝sin(2x＋)＝sin(＋)＝sin(＋)＝cos＝－，不等于函数的最值，故x＝不是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2
9．当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．
当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．
故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.答案：k≤1
10．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin(2ωx＋)＋2，依题意，得＝，故ω＝.
(2)依题意，得g(x)＝sin[3(x－)＋]＋2＝sin(3x－)＋2.
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．
解：(1)由最低点为M(，－2)得 A＝2.由T＝π得ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上得2sin(＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈(0，)，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，
即cos(＋φ)＝0.又|φ|<，∴φ＝.
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝，又T＝，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋]，g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝＋(k∈Z)．从而，最小正实数m＝.
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝.又T＝，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋)＝sin(3x＋3m＋)对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos(3m＋)＋cos(－3x)·sin(3m＋)
＝sin3xcos(3m＋)＋cos3xsin(3m＋)，
即2sin3xcos(3m＋)＝0对x∈R恒成立．∴cos(3m＋)＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.

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用心 爱心 专心