2022年江苏省无锡市西漳中学数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，的实数根是3或6，的实数根是1或2，，则一元二次方程与为相似方程.下列各组方程不是相似方程的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数为（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
5．如图，正方形的四个顶点在半径为 的大圆圆周上，四条边都与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
7．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
8．如图，函数与函数在同一坐标系中的图象如图所示，则当时（ ）．

A．-1 < x < 1 B．-1 < x < 0 或 x > 1 C．-1 < x < 1 且 x ¹ 0 D．0 < x < 1或 x < -1
9．如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
10．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3） D．图象与x轴有两个交点
11．如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为（ ）

A． B． C． D．
12．若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.则小圆形场地的半径是______米.

14．x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕____亩．
15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，则tan∠BDE＝______.

16．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点之间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，若等边三角形的边长为2，则“勒洛三角形”的面积为_________．

17．若函数y＝(k－2)是反比例函数，则k＝______.
18．如图，已知一次函数y＝kx－4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，且A为BC的中点，则k＝________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）综合与实践
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，，，点为边上的任意一点．将沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处．问是否存在是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时的长度．

探究展示：勤奋小组很快找到了点、的位置．
如图2，作的角平分线交于点，此时沿所在的直线折叠，点恰好在上，且，所以是直角三角形．
问题解决:
（1）按勤奋小组的这种折叠方式，的长度为 ．
（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来．
（3）在（2）的条件下，求出的长．
20．（8分）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．

（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．
21．（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB．
(1)求证：AB2=AE·AD；
(2)若AE=2，ED=4，求图中阴影的面积．

22．（10分）如图，直线与轴交于点，与反比例函数第一象限内的图象交于点，连接，若．
（1）求直线的表达式和反比例函数的表达式；
（2）若直线与轴的交点为，求的面积．

23．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在斜边AB上取一点D，使CD=CB，圆心在AC上的⊙O过A、D两点，交AC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，且AE=2，求CE的长．

25．（12分）（1）如图1，在中，点在边上，且，，求的度数；

（2）如图2，在菱形中，，请设计三种不同的分法（只要有一条分割线段不同就视为不同分法），将菱形分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（不要求写画法，要求画出分割线段，标出所得三角形内角的度数）.

26．如图，已知，直线垂直平分交于，与边交于，连接，过点作平行于交于点，连.
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，求菱形的面积.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据“相似方程”的定义逐项分析即可.
【详解】A. ∵，
∴.
∴x1=4，x2=-4，
∵，
∴x1=5，x2=-5.
∵4：(-4)=5:(5)，
∴与是相似方程，故不符合题意；
B. ∵，
∴x1=x2=6.
∵，
∴(x+2)2=0，
∴x1=x2=-2.
∵6：6=(-2)：(-2)，
∴与是相似方程，故不符合题意；
C. ∵，
∴，
∴x1=0，x2=7.
∵，
∴，
∴(x-2)(x+3)=0，
∴x1=2，x2=-3.
∵0：7≠2：(-3)，
∴与不是相似方程，符合题意；
D. ∵，
∴x1=-2，x2=-8.
∵，
∴(x-1)(x-4)=0，
∴x1=1，x2=4.
∵(-2)：(-8)=1：4，
∴与是相似方程，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查了新定义运算，以及一元二次方程的解法，正确理解“相似方程”的定义是解答本题的关键.
2、B
【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，可判断a、b、c的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，
∵0＜-＜1，∴b＞0，且b＜-2a，∴abc＜0，2a+b＜0，故①不正确，②正确；
∵当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③正确；
∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，又c＞0，∴a+b+2c＞0，故④正确；
综上可知正确的有②③④，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
3、A
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜，
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4、A
【分析】先写出的值，计算的值进行判断.
【详解】

方程有两个不相等的实数根
故选A
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记公式并灵活应用公式是解题关键.
5、C
【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解．
【详解】解：由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一．
故阴影部分的面积=．
故选：C．
【点睛】
本题利用了圆是中心对称图形，圆面积公式及概率的计算公式求解，熟练掌握公式是本题的解题关键．
6、C
【解析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞1，＜1．∴＜1，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限．故选C．
7、B
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
8、B
【分析】根据题目中的函数解析式和图象可以得到当时的x的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】根据图象可知，当函数图象在函数图象上方即为，
∴当时，-1 < x < 0 或 x > 1.
故选B.
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于利用函数图象解决问题.
9、C
【解析】根据简单几何体的三视图即可求解.
【详解】三视图的俯视图，应从上面看，故选C
【点睛】
此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义.
10、B
【分析】根据二次函数的性质对进行判断；通过解方程﹣（x﹣2）2﹣3＝0对D进行判断即可.
【详解】∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确；
图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2﹣3，即,无解，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程问题可求得交点横坐标，牢记其的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．
11、B
【分析】连接CA与x轴交于点D，根据勾股定理求出OD的长，求出，再根据圆心角定理得，即可求出的值．
【详解】设与x轴的另一个交点为D，连接CD

∵
∴CD是的直径
∴
在中，，
根据勾股定理可得

∴
根据圆心角定理得
∴
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了三角函数的问题，掌握圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
12、A
【分析】根据反比例函数的定义，得，分别判断各点的乘积是否等于，即可得到答案.
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴；
∵，故A符合题意；
∵，，，故B、C、D不符合题意；
故选：A.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义，熟练掌握.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程．
【详解】设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，
根据题意得：π（x+5）2=2πx2，
解得，x=5+5或x=5-5（不合题意，舍去）．
故答案为5+5．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出．
14、
【分析】先求出一台拖拉机1小时的工作效率，然后求y台拖拉机在y天，每天工作y小时的工作量．
【详解】一台拖拉机1小时的工作效率为：
∴y台拖拉机，y天，每天y小时的工作量=
故答案为：
【点睛】
本题考查工程问题，解题关键是求解出一台拖拉机1小时的工作效率．
15、
【分析】设AD＝DC＝a，根据勾股定理求出AC，易证△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质，可得：＝2，进而求得CF，OF的长，由锐角的正切三角函数定义，即可求解.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AC⊥BD，
设AD＝DC＝a，
∴AC＝a，
∴OA＝OC＝OD=a，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BC＝a，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△CFE，
∴＝2，
∴CF＝AC＝a，
∴OF＝OC﹣CF＝a，
∴tan∠BDE＝＝＝，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及正切三角函数的定义，根据题意，设AD＝DC＝a，表示出OF，OD的长度，是解题的关键.
16、
【分析】图中勒洛三角形是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】解：过作于，

∵是等边三角形，
，，
，
，，
的面积为，
，
勒洛三角形的面积，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出勒洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
17、-1
【解析】根据反比例函数的定义列出方程，解出k的值即可．
【详解】解：若函数y＝(k－1)是反比例函数，
则
解得k＝﹣1，
故答案为﹣1．
18、4
【详解】把x＝0代入y＝kx－4，得y＝－4，则B的坐标为(0，－4)，
∵A为BC的中点，
∴C点的纵坐标为4，
把y＝4代入，得x＝2，
∴C点的坐标为(2，4)，
把C(2，4)的坐标代入y＝kx－4，得2k－4＝4，解得k＝4，
故答案为4.

三、解答题（共78分）
19、（1）3；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，由勾股定理可求解；
（2）如图所示，当DE∥AC，∠EDB=∠ACB=90°，即可得到答案；
（3）由折叠的性质可得CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，可得DE=CD=CF=EF，通过证明△DEB∽△CAB，可得 ，即可求解．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴，
由折叠的性质可得：△ACD≌△AED，
∴AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，
∴BE=10-6=4，
∵BD2=DE2+BE2，
∴（8-CD）2=CD2+16，
∴CD=3，
故答案为：3；
（2）如图3，当DE∥AC，△BDE是直角三角形，

（3）∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠BDE=90°，
由折叠的性质可得：△CDF≌△EDF，
∴CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，
∴EF=DE，
∴DE=CD=CF=EF，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，
∴
【点睛】
此题考查几何变换综合题，全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
20、（1）点P的坐标（1，﹣4）；（2）△OPQ的面积与△OAQ的面积之比为1．
【分析】（1）过Q作QC⊥x轴于C，先求得AC＝QC＝2、AQ＝2、AP＝4，然后再由AB∥CQ，运营平行线等分线段定理求得OA的长，最后结合AP=4即可解答；
（2）先说明△OAB∽△OCQ，再根据相似三角形的性质求得AB和PB的长，然后再求出△OPQ和△OAQ的面积，最后作比即可．
【详解】解：（1）过Q作QC⊥x轴于C，

∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠PAQ＝∠CAQ＝41°，
∴AC＝QC＝2，AQ＝2，AP＝4，
∵AB∥CQ，
∴，
∴OA＝AC＝1，
∴点P的坐标（1，﹣4）；
（2）∵AB∥CQ，
∴△OAB∽△OCQ，
∴，
∴AB＝CQ＝，
∴PB＝，
∴S△OAQ＝OA•CQ＝×1×2＝1，S△OPQ＝PB•OA+PB•AC＝1，
∴△OPQ的面积与△OAQ的面积之比＝1．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像、相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理以及三角形的面积，掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
21、 (1)见解析;(2) 2π-3.
【解析】（1）点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=AE•AD.
(2) 连结OA，由S阴影=S扇形AOB-S△AOB求出即可.
【详解】(1)证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴=
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．
∴ ．
∴AB2=AE•AD．
(2)解：连结OA

∵AE=2，ED=4，
由(1)可知
∴AB2=AE•AD，
∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=1．
∴AB=(舍负)．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
在Rt△ABD中，BD=
∴OB=．
∴OA=OB=AB=
∴△AOB为等边三角形
∴∠AOB=60°．
S阴影=S扇形AOB-S△AOB=
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质, 圆周角定理, 切线的性质, 解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质, 圆周角定理, 切线的性质, 解直角三角形.
22、（1），；（1）1
【分析】（1）先由S△AOB=4，求得点B的坐标是（1，4），把点B（1，4）代入反比例函数的解析式为，可得反比例函数的解析式为：；再把A（-1，0）、B（1，4）代入直线AB的解析式为y=ax+b可得直线AB的解析式为y=x+1．
（1）把x=0代入直线AB的解析式y=x+1得y=1，即OC=1，可得S△OCB=OC×1=×1×1=1．
【详解】解：（1）由A（-1，0），得OA=1；
∵点B（1，m）在第一象限内，S△AOB=4，
∴OA•m=4；
∴m=4；
∴点B的坐标是（1，4）；
设该反比例函数的解析式为（k≠0），
将点B的坐标代入，得，
∴k=8；
∴反比例函数的解析式为：；
设直线AB的解析式为y=ax+b（k≠0），
将点A，B的坐标分别代入，得
，
解得：；
∴直线的表达式是；
（1）在y=x+1中，令x=0，得y=1．
∴点C的坐标是（0，1），
∴OC=1；
∴S△OCB=OC×1=×1×1=1．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．
23、（1）见解析；（2）见解析，点C2的坐标为（1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）
【解析】(1)作出A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可得到;
(2)把A、B、C绕原点按逆时针旋转90度得到对应点，然后顺次连接即可得到，根据图可写出C2的坐标;
(3)成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标.
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，3）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）．
【点睛】
本题综合考查了轴对称图形和图形的旋转的作图，图形变换的性质，不管是哪一种变化，找对应点是关键.
24、（1）详见解析；（2）CE=．
【分析】（1）连接OD，由CD=CB， OA=OD，可以推出∠B=∠CDB，∠A=∠ODA，再根据∠ACB=90°，推出∠A+∠B=90°，证明∠ODC=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接DE，证明△CDE∽△CAD，得到，结合已知条件，设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，列出方程，求出x，即可求出CE的长度．
【详解】解：（1）连接OD．

∵CD=CB， OA=OD，
∴∠B=∠CDB，∠A=∠ODA．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODC=180°-（∠ODA+∠CDB）=90°，
即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接DE．

∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=90°，
又∵∠ODC=∠CDE+∠ODE =90°，
∴∠ADO=∠CDE．
又∵∠DCE=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD，
∴
∵，AE=2，
∴可设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，
即
解得，
∴CE=3x-2=
【点睛】
本题主要考查了圆的切线证明以及圆与相似综合问题，能够合理的作出辅助线以及找出相似三角形，列出比例式是解决本题的关键．
25、（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）设，利用等边对等角，可得，，根据三角形外角的性质可得，再根据等边对等角和三角形的内角和公式即可求出x，从而求出∠B.
（2）根据等腰三角形的定义和判定定理画图即可.
【详解】证明：（1）设
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
解出：
∴

（2）根据等腰三角形的定义和判定定理，画出如下图所示，（任选其三即可）.

【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质及判定，掌握等边对等角、等角对等边和方程思想是解决此题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）先判定AECF是平行四边形，根据对角线垂直，即可得出答案；
（3）根据勾股定理求出DE的值，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”计算即可得出答案.
【详解】（1）证明：由图可知，
又∵，
∴，
∴；
解：（2）由（1）知：
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴是菱形；
（3）在中，
∴
；
【点睛】
本题考查的是菱形，难度适中，需要熟练掌握菱形的判定以及菱形面积的公式.