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浅谈机械能及其守恒定律
高二（2）班 时智娴
众所周知，能量守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律等守恒定律，是高中物理学习阶段内的十分重要的基本定律。
守恒定律的重要性在于物理量守恒具有广泛的适用性，这种思想有利于我们正确认识关于时空的对称性；运用守恒定律求解实际问题时直观简捷，这是因为守恒定律与物理过程的细节无关。因此，正确理解守恒的思想，掌握进而能灵活运用守恒定律求解问题的思路和方法，在中学尤其是高中阶段就显得格外重要了。
一、机械能守恒的由来
物理学中存在着许多守恒定律，其中，有一些在中学阶段就要熟悉，如能量守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律等。也有一些在中学并未涉及，如动量矩守恒定律等。还有一些人们不大熟悉　　　的而在微观世界里却经常遇到的守恒定律，如重子数守恒、奇异书守恒、同位旋守恒．．．．．．
这么多的守恒定律的存在，决不是偶然的，更不是人们所杜撰的，它们是物理规律具有多种对称性的自然结果。
人们认识守恒定律，最初都是作为大量实验事实的推广，通过实验途径确立起来的。后来，人们才逐渐认识到守恒定律是跟时间、空间的对称性相联系的。例如，从时间的均匀性可合乎逻辑地导出能量守恒定律；从空间的均匀性可导出动量守恒定律。动量矩守恒定律则跟空间的各向同性相联系。可以说，守恒定律缘于时空的对称性。甚于这种认识，人们才理解了守恒定律有别于其他物理规律的特有的普遍性--正是这种普遍性使守恒定律在物理研究中具有重要意义。
某些物理量守恒的想法渊源于西方的哲学思想。千百年来，人们通过对天体的观测，发现了宇宙天体的运动并没有减少的迹象。所以，在１６－１７世纪，许多哲学家都认为，宇宙间运动的总量是不变的。笛卡儿和莱布尼茨都是这种思想的宣传者，而且都致力于寻求一个合适的物理量来量度运动，以表达宇宙运动的守恒。笛卡儿提出，质量和速度的乘积，并把这个量叫做“运动量”。现在通常把这个量叫做动量，并且已经确立了动量守恒定律。可以说，笛卡儿社动量守恒定律的先导。莱布尼茨也相信某种与运动有关的量是守恒的，这就是他所说的“力”。他认为，应该用ＭＶ来量度力，并称之为“活力”。他还认为，物体静止了“活力”并没有损失掉，而是以某种形式储存起来。他把这种与静止状态相联系而储存起来的“力”称为“死力”。 莱布尼茨的观点是机械能守恒定律的萌芽。此后近２００年的历史中，物理学界始终存在着ＭＶ和ＭＶ哪一个是真正的量度运动的量的争论。直到１９世纪，恩格斯科学地论述了两者的区别和运用范围，并结束了这场争论。
今天重温这段历史，既有利于我们了解科学概念和规律的建立是通过这么漫长曲折的道路，同时又有利我们借鉴前人的成功之道，正确地掌握物理规律。

二、机械能守恒的表述
在机械运动范围内，物体所具有的动能和势能，统称为机械能。物体的动能和势能之间是可以相互转换的。如果一个系统内只有重力和弹力做功，其他内力和一切外力都不做工，那么，系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但机械能的总量保持不变。着称为机械能守横恒定律。
如果物体除受重力和弹力等保守力的作用外，不受其他外力的作用，当用EK1和EK2分别表示物体的初动能和末动能，W表示保守力做的功时，那么，根据动能定理有
W=EK2--EK1
根据重力所做的功等于重力势能增量的负值，可以类推倒各种保守力做功的情况，即保守力所做的功等于相应的势能增量的负值，即
W=-(EP2--EP1)=EK2--EK1
由此可得到
EP1+EK1=EP2+EK2=恒量
这正是机械能守恒的数学表达示。

三、机械能守恒的条件
实际上，物质运动的形式不仅是机械运动，另外，热运动、电磁运动、化学运动、核运动等也是物质的不同运动形式。不同的运动形式对应着不同形式的能量。物质各种形式的运动是可以相互转化的，所以不同形式的能也是可以相互转化的，且在能量转化的过程中，总的能量守恒。机械能守恒定律是能的转化和守恒定律在机械运动范围内的表现。正式由于受机械能守恒定律的适应范围的限制，所以必须考虑机械守恒定律的成立条件。
严格的讲，物体系内只有重力、弹力做功，而其他一切力都不做功时，机械能才能守恒。这就是机械能守恒的条件。
四、机械能守恒的应用
力学中的许多问题，用机械能守恒定律去解决要比用牛顿运动定律去解决简捷得多。当然在应用时必须注意是否满足机械能守恒的条件。
通常情况下，解题的方法和步骤如下 。
明确研究对象，并对物体进行受力分析。分析的目的在于明确各个力是否做功，只有保守力做功时才能使用机械能守恒来解决问题。
明确物体的始末状态，找出相关的状态参量，这就要选择同一参照系，并明确零势能的位置。在此基础上确定物体在始末状态的机械能。
根据机械能守恒的过程，始末状态的机械能相等列方程，结合有关运动学、动力学方程联立求解。
以下，我们举些实例说明一下。
1、如图1所示，质量为M的小球用绳长为L的轻绳栓住拉直，自A点自由释放，A绳与水平方向的夹角为30度，当球到最低点时求绳的张力为多大？
解题策略 本题若全程分析，则从最高点A至最低点B的过程中，小球的机械能不守恒。在绳张紧时有能量损失，故本题应采用分段法来处理 。
解 mgl=1/2mvc2
解得
vc= 2gl.
在C点绳张紧：
v1=vccos30。 = 6gl/2.
从C至B小球做圆周运动，由机械能守恒
mgl(1--cos60 )= mvB2/2--mv12/2.
代入v1,解得 vB= 5mgl/2 图 1
在最低点B，由牛顿第二定律
得 T--mg=mvB/l.
解得 T=7mg/2
如图2所示，一根原长为L的轻质弹簧，下端固定在水平桌面上，上端固定一个质量为M的物体A，A静止时弹簧的压缩量为L1，在A上再放一个质量也为M的物体B，待A、B静止后，在B上施加一个竖直向下的力F，力F使弹簧又缩短了L2，这时弹簧的弹性势能为E。现突然撤去力F，则B脱离A向上飞出的瞬间弹簧的长度为多少？这时B的速度为多少？

图 2

解题策略 B脱离A向上飞出的瞬间，A、B间的弹力为零，而即时速度、加速度相等。根据机械能守恒定律 求解此时B的速度。
解 B脱离A之前，A、B始终一起运动，他们一直具有相同的速度、加速度；当B脱离A向上飞出瞬间，B随后将作竖直上抛运动，可见脱离瞬间B的加速度为g，方向竖直向下。由于B刚脱离瞬间，A、B仍具有相同的加速度，即A此时的加速度也为g，方向竖直向下，由此可知此时弹簧对A的弹力一定为零，所以B脱离A向上飞出的瞬间弹簧的长度应为L 。
设B脱离A瞬间A、B速度均为V，由机械能守恒定律，有
E=1/2 2MV2 +2Mg（2L1+L2）。
可解得 V= E/M --2（2L1+L2）g。
3、如图3所示，光滑轻杆长为L，一端用铰链固定在光滑的水平面上，另一端固定一个质量m的小球。杆下面夹一边长是A的立方体，质量为M。现将小球由静止释放，随着轻杆的转动，杆与水平面的夹角由α开始减小，当夹角减小到β时，立方体滑动速度是多少？
分析 取小球、轻杆、立方体和地面组成的系统为研究对象。对此系统而言，除重力做功外，没有摩擦力，也就没有耗散力做功，但杆与立方体之间的相互作用力是做功的。作用力F推动立方体水平运动了P”P，若F与P”P间的夹角为 ，则F对立方体所做的功为
W=F P”P COSθ
同样，力F的反作用力F”，对轻杆做功。F”作用点的位移也是P”P，且 F”跟P”P之间的夹角为（180--θ ），所以F”所做的功为
W”=F” P”P COS（180--θ ）
就系统而言，所做的功为
W=0 图 3
也就是说，就系统而言，除重力做功外，其他力对系统做的功为零，故系统的机械能守恒。
解 由于系统的机械能守恒，以地面为零势能面，并取杆跟地面成角和角的两位置为系统的始末状态，则
mglSin α=mglSin β+mv2/2+mV2/2 ⑴
式中，和V分别为重球和立方体在末状态时的速度，为建立与V间的联系，先将接触点P的末速度分别解为垂直于杆和平行于杆的分量V∥和V┷，则
V┷=V Sinβ ⑵
由于杆的转动，杆上各点的角速度相同，则重球的速度v与V┷之间的关系为
w=v/l=V┷Sinβ/a ⑶
式中，a为立方体的边长。由⑵、⑶式可得
v=lSin2βV/a ⑷
将⑷代入⑴式得
V=a 2mgl(Sinα—Sinβ)/(ml2Sin4β+a2M)
3、、实际上，机械能守恒在日常生活和工业生产中广泛的应用。城市中各游乐场都有大型的“过山车”，如右图所示。列车原来静止在平台上，由静起加速到A点后停止加速，然后车进入轨道内到达B点，接着又沿圆轨道内侧运动一周，再冲上斜轨道到D点时速度减为零，随后列车又沿原路返回到达平台上。列车与轨道间摩擦很小，所以列车从A点开始的运动过程可以认为是机械能守恒的。
了解、以上，只不过是几个很普通的范例，机械能及其守恒定律在实际学习生活等方面还有许许多多的作用，其重要性不仅仅是他的广泛适用性，还由于运用守恒定律解题的简洁直观，致使许多物理学家在求解未知问题时，首选的方法是运用有关的守恒定律，就是因为他与物理过程的细节无关。所以，我相信，掌握和运用机械能及其守恒定律将是我们学习好物理的关键所在。
2001．7．5．