2011年浙江省高中数学竞赛试题及参考答案-(2).doc

2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知，则可化简为（ D ）
A． B. C. D.
解答：因为，所以=
。正确答案为D。
2．如果复数的模为4，则实数a的值为（ C ）
A. 2 B. C. D.
解答：由题意得。正确答案为C。
3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则p是q的（ B ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。
4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ C ）
A. B. C. D.
解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得
。正确答案为C。
5. 函数，则该函数为（ A ）
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
2
2
3
1
2
2
1
2
2

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+
解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。
7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依
次记为：若程序运行中
输出的一个数组是 则数组中的（ B ）
A．64 B．32 C．16 D．8
答案 经计算。正确答案为 B。
8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有

由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。
9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ C ）
A. B C. D.
解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。
10. 已知，则的解为（ C ）
A. 或 B. 或 C. 或 D.
解答：不等式的左端看成的一次函数，
由或。
正确答案为C。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数的最小正周期为______4____。
解答：最小正周期为4。
12. 已知等差数列前15项的和=30，则=____6_______.
解答：由，而。
13. 向量，，，则的取值范围为 [1，3] 。
解答：
= ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为__。
解答：因为平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以
AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为。
15．设为实数，则_____4________。
解答：

16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示）
解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。
17. 设为整数，且，则_3或57_。
解答：将代入 得到
，因为都是整数，所以
前两个方程组无解；后两个方程组解得。所以3或57。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）
18. 设，求在上的最大值和最小值。
解答：当 当 ---- 5分
由此可知 。 ---------------------------------- 10分
当；当；
当。 ---------------------------------- 17分
19. 给定两个数列，满足，， 。证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得 。
解答：由已知得到：
为等比数列，首项为2，公比为2，
所以。 ----------------- 5分
又由已知，
由，
所以取即可。 ------------------- 17分
20. 已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 ，求 a的值。
解答：。
设，由 得----10分
设。由M、A、D共线。
又，得=整理得 。--------------17分