2023届海南省洋浦中学九年级数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把△ABC放大得到△A1B1C1，使它们的相似比为1：2，若点A的坐标为（2，2），则它的对应点A1的坐标一定是（　　）
A．（﹣2，﹣2） B．（1，1）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
2．一组数据由五个正整数组成，中位数是3，且惟一众数是7，则这五个正整数的平均数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是（ ）

A．20 B．16 C．34 D．25
4．若扇形的半径为2，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天我市下雨
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数
D．一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球
6．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1
7．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数与坐标轴交点个数（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（ ）

A． B． C．10 D．8
10．若反比例函数的图像经过点，则下列各点在该函数图像上的为（ ）
A． B． C． D．
11．对于二次函数y=－x2+2x－3,下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0，y随x的增大而减少 B．当x=2时，y有最大值－1
C．图像的顶点坐标为（2，－5） D．图像与x轴有两个交点
12．下列事件是必然事件的是( )
A．3个人分成两组，并且每组必有人，一定有2个人分在一组
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6
D．打开电视，正在播放动画片
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　 　m才能停下来．
14．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是_____．
15．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________.
16．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____．

17．将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为_______________________．
18．如图，在平面直角坐标系中，CO、CB是⊙D的弦，⊙D分别与轴、轴交于B、A两点，∠OCB＝60º，点A的坐标为（0，1），则⊙D的弦OB的长为____________。

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，直线经过点，与轴交于点，且，.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出关于的不等式的解集.
20．（8分）如图，正方形的对角线、相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，它们相交于点．求证：四边形是正方形．

21．（8分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝﹣1和x＝3时，y值相等．直线y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．
①求t的取值范围．
②若使△BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值；
③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．

22．（10分）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，⊙经过坐标原点，并与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，点在⊙上，且，求⊙的半径.

图1 图2
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.
解：如图2，连接
,
是⊙的直径. （依据是 ）
且
（依据是 ）

．即⊙的半径为 ．
23．（10分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为　 　千克，涨价后每千克利润为　 　元（用含x的代数式表示．）
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？
24．（10分）定义：已知点是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点叫做该三角形的等距点．
（1）如图1：中，，，，在斜边上，且点是的等距点，试求的长；
（2）如图2，中，，点在边上，，为中点，且．
①求证：的外接圆圆心是的等距点；②求的值．

25．（12分）如图1，过原点的抛物线与轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为，其对称轴交轴于点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使面积最大时点的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点满足以点、、、为顶点的四边形为菱形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
26．如图，已知点在反比例函数的图像上．
（1）求a的值；
（2）如果直线y=x+b也经过点A，且与x轴交于点C，连接AO，求的面积．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答．
【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为：1：2，
把△ABC放大得到△A1B1C1，点A的坐标为（2，2），
则它的对应点A1的坐标一定为：（4，4）或（-4，-4），
故选D．
【点睛】
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
2、A
【分析】根据题意，五个正整数中3是中位数，唯一众数是7，可以得知比3大的有2个数，比3小的有2个数，且7有2个，然后求出这五个数的平均数即可．
【详解】由五个正整数知，中位数是3说明比3大的有2个数，比3小的有2个数，唯一众数是7，则7有2个，所以这五个正整数分别是1、2、3、7、7，计算平均数是（1+2+3+7+7）÷5=4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了数据的收集与处理，中位数，众数，平均数的概念以及应用，掌握数据的收集与处理是解题的关键．
3、C
【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【详解】解：作轴于．

四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，

，
，，
，，
，，
，
，
正方形的面积，
故选：．
【点睛】
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4、B
【分析】直接利用扇形的面积公式计算．
【详解】这个扇形的面积：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中为扇形的弧长）．
5、D
【分析】根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可．
【详解】解：明天我市下雨、抛一枚硬币，正面朝上、走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数都是随机事件，
一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
6、C
【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.
由题意得，解得
故选C.
考点：一元二次方程的根的判别式
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7、D
【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A．∵△=b2-4ac=1-4×1×1=-3＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项错误；
B．变形为
∴此方程有没有实数根，故本选项错误；
C．∵△=b2-4ac=22-4×1×1=0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D．∵△=b2-4ac=42-4×1×1=12，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
8、B
【分析】首先根据根的判别式判定与轴的交点，然后令，判定与轴的交点，即可得解.
【详解】由题意，得
∴该函数与轴有一个交点
当时，
∴该函数与轴有一个交点
∴该函数与坐标轴有两个交点
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查利用根的判别式判定二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握，即可解题.
9、A
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图，连结AE，

设AC交EF于O，
依题意，有AO＝OC，∠AOF＝∠COE，∠OAF＝∠OCE，
所以，△OAF≌△OCE（ASA），
所以，EC＝AF＝5，
因为EF为线段AC的中垂线，
所以，EA＝EC＝5，
又BE＝3，由勾股定理，得：AB＝4，
所以，AC＝
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键.
10、C
【分析】将点代入求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可．
【详解】将点代入得

解得
∴
只有点在该函数图象上
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键．
11、B
【分析】根据题目中函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各选项即可.
【详解】∵二次函数y=－x2+2x－3的图象开口向下，且以为对称轴的抛物线，
A. 当x＞2，y随x的增大而减少，该选项错误；
B. 当x=2时，y有最大值－1，该选项正确；
C. 图像的顶点坐标为（2，－1），该选项错误；
D. 图像与x轴没有交点，该选项错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值和顶点，关键是明确题意，利用二次函数的性质作答.
12、A
【分析】根据必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，对每一选项判断即可．
【详解】解：A、3个人分成两组，并且每组必有人，一定有2个人分在一组是必然事件，符合题意，故选A；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意，B选项错误；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6是随机事件，故不符合题意，C选项错误；
D、打开电视，正在播放动画片是随机事件，故不符合题意，D选项错误；
故答案选择D．
【点睛】
本题考查的是事件的分类，事件分为必然事件，随机事件和不可能事件，掌握概念是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【解析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值．
∴，即飞机着陆后滑行1米才能停止．
14、﹣1．
【解析】将x=1代入方程得关于a的方程, 解之可得.
【详解】解：将x=1代入方程得:2-1+a=0,
解得:a=-1,
故答案为: -1.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解.
15、
【分析】此题实际上求的值．设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t+1）=12，通过解方程求得t的值即可．
【详解】设t=a2+b2，则由原方程，得
t（t+1）=12，
整理，得
（t+4）（t-3）=0，
解得t=3或t=-4（舍去）．
则a2+b2=3，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为．
故答案是：．
【点睛】
此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键．
16、1
【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到，求得BC的长，从而使问题得解.
【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.．
17、y= -x2 +5
【分析】根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行求解．
【详解】由将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握二次函数的图像平移方法是解题的关键．
18、
【分析】首先连接AB，由∠AOB=90°，可得AB是直径，又由∠OAB=∠OCB=60°，然后根据含30°的直角三角形的性质，求得AB的长，然后根据勾股定理，求得OB的长．
【详解】解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∵∠OAB=∠OCB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵点A的坐标为（0，1），
∴OA=1，
∴AB=2OA=2，
∴OB=，
故选：C．

【点睛】
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）y=-．y=x-1．（1）x＜2．
【解析】分析：（1）根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.
详解：（1）∵， 点A（5，2），点B（2，3），
∴
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（2，-1），点D的坐标为（-1，3）．
∵点在反比例函数y=的图象上，
∴
∴反比例函数的表达式为

将A（5，2）、B（2，-1）代入y=kx+b，
，解得：
∴一次函数的表达式为．
（1）将代入，整理得：
∵
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式＞kx+b的解集为x＜2．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
20、见解析
【分析】根据已知条件先证明四边形OBEC是平行四边形，再证明∠BOC=90°，OC=OB即可判定四边形OBEC是正方形．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【点睛】
本题考查正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和判定．
21、（1）；（2）①，②t的值为或，③当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是．
【分析】（1）求出对称轴，再求出y=与抛物线的两个交点坐标，将其代入抛物线的顶点式即可；
（2）①先求出A、B、C的坐标，写出OB、OC的长度，再求出BC的长度，由运动速度即可求出t的取值范围；
②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°两种情况，分别证△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO，即可求出t的值；
③如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，证△BHQ∽△BOC，求出HQ的长，由公式S四边形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四边形ACQP的面积，通过二次函数的图象及性质可写出结论．
【详解】解：（1）∵在抛物线中，当x＝﹣1和x＝3时，y值相等，
∴对称轴为x＝1，
∵y＝与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M，
∴顶点M（1，），另一交点为（6，6），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，
将点（6，6）代入y＝a（x﹣1）2，
得6＝a（6﹣1）2，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为
（2）①在中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4；当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），
∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴，
∵＜4，
∴
②当△BPQ为直角三角形时，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°两种情况，
当∠BPQ＝90°时，∠BPQ＝∠BOC＝90°，
∴PQ∥OC，
∴△BPQ∽△BOC，
∴，即，
∴t＝；
当∠PQB＝90°时，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，
∴△BPQ∽△BCO，
∴，即，
∴t＝，
综上所述，t的值为或；
③如右图，过点Q作QH⊥x轴于点H，
则∠BHQ＝∠BOC＝90°，
∴HQ∥OC，
∴△BHQ∽△BOC，
∴，即，
∴HQ＝，
∴S四边形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ
＝×6×3﹣（4﹣t）×t
＝（t﹣2）2+，
∵＞0，
∴当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是．

【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的图象及性质等，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
22、的圆周角所对的弦是直径；同弧所对的圆周角相等，
【分析】连接BC，则BC为直径，根据圆周角定理，得到，再由30°所对直角边等于斜边的一半，即可得到答案.
【详解】解：如图1，连接，

，
是⊙的直径.（90°的圆周角所对的弦是直径）
且，
，（同弧所对的圆周角相等）
，
，
．
即⊙的半径为1．
故答案为：的圆周角所对的弦是直径；同弧所对的圆周角相等；.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题.
23、（1）（500﹣10x）；（10+x）；（2）销售单价为60元时，进货量为400千克．
【分析】（1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案；
（2）利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而求出答案．
【详解】（1）由题意可知：销售量为（500﹣10x）千克，
涨价后每千克利润为：50+x﹣40＝10+x（千克）
故答案是：（500﹣10x）；（10+x）；
（2）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
整理，得：x2﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30，
因为又要“薄利多销”
所以x＝30不符合题意，舍去．
故销售单价应涨价10元，则销售单价应定为60元；
这时应进货=500﹣10×10=400千克.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销量是解题关键．
24、（1）或 ； （2）①证明见解析, ②．
【分析】（1）根据三角形的等距点的定义得出OB=OE或OA=OF，利用相似三角形，表达出对应边，列出方程求解即可；
（2）①由△CPD为直角三角形，作出外接圆，通过平行线分线段成比例得出DP∥OB，进而证明△CBO≌△PBO，最后推出OP为点O到AB的距离，从而证明点O是△ABC的等距点；
（2）求相当于求，由①可得△APO为直角三角，通过勾股定理计算出BC的长度，从而求出．
【详解】解：（1）如图所示，作OF⊥BC于点F，作OE⊥AC于点E，
则△OBF∽△ABC，
∴
∵，，由勾股定理可得AB=5，
设OB=x，则
∴，
∵点是的等距点，
若OB=OE，
∴
解得：
若OA=OF，OA=5-x
∴，解得
故OB的值为或

（2） ①证明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中点O，作出△CDP的外接圆，连接OP，OB
设圆O的半径为r，则DC=2r，
∵D是AC中点，
∴OA=3r
∴，
又∵PA=2PB，
∴AB=3PB
∴
∴
∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB
又∵∠ODP=∠OPD，
∴∠COB=∠POB，
在△CBO与△PBO中， ，
∴△CBO≌△PBO（SAS）
∴∠OCB=∠OPB=90°，
∴OP⊥AB，
即OP为点O到AB的距离，
又∵OP=OC，
∴△CPD的外接圆圆心O是△ABC的等距点
②由①可知，△OPA为直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r
∵在Rt△OPA中，OA=3r,
∴，
∴
∴在Rt△ABC中，AC=4r，，
∴，
∴

【点睛】
本题考查了几何中的新定义问题，涉及了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质及三角函数的内容，范围较大，综合性较强，解题的关键是明确题中的新定义，并灵活根据几何知识作出解答．
25、（1）；（2）；（3）点的坐标为或
【分析】（1）设出抛物线的顶点式，将顶点C的坐标和原点坐标代入即可；
（2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式，过点作轴交于点，设，则，然后利用“铅垂高，水平宽”即可求出面积与m的关系式，利用二次函数求最值，即可求出此时点D的坐标；
（3）先证出为等边三角形，然后根据P点的位置和菱形的顶点顺序分类讨论：①当点与点重合时，易证：四边形是菱形，即可求出此时点P的坐标；②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，易证：四边形是菱形，先求出，再根据锐角三角函数即可求出BP，从而求出此时点P的坐标.
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵顶点
∴
又∵图象过原点
∴解出：
∴即
（2）令，即，解出：或
∴
设直线AC的解析式为y=kx＋b
将点，的坐标代入，可得

解得：
∴
过点作轴交于点，
设，则
∴
∴

∴当时，有最大值
当时，
∴
（3）∵，，
∴
∴
∴为等边三角形
①当点与点重合时，

∴四边形是菱形
∴
②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，

∴四边形是菱形
∴点是的角平分线与对称轴的交点，
∴，
∵，.
在Rt△OBP中，
∴
综上所述，点的坐标为或
【点睛】
此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、利用“铅垂高，水平宽”求面积的最值、菱形的判定定理和分类讨论是数学思想是解决此题的关键.
26、（1）2；（2）1
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出a的值；
（2）由（1）求出的a值，确定出A坐标，代入直线解析式中求出b的值，令直线解析式中y=0求出x的值，确定出OC的长，△AOC以OC为底，A纵坐标为高，利用三角形面积公式求出即可．
【详解】（1）将A(1，a)代入反比例解析式得：；
（2）由a=2，得到A(1，2)，代入直线解析式得：1+b=2，
解得：b=1，即直线解析式为y=x+1，
令y=0，解得：x=-1，
即C(-1，0)，OC=1，
则S△AOC=×1×2=1．
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．