陕西省西安市西工大附中2013年中考数学三模试卷(解析版)-新人教版.doc

2013年陕西省西安市西工大附中中考数学三模试卷

一、选择题（共10小题、每题3分，计30分）
1．（3分）（2011•本溪）﹣2的相反数是（　　）

A．
﹣
B．

C．
2
D．
±2

考点：
相反数．
专题：
存在型．
分析：
根据相反数的定义进行解答即可．
解答：
解：∵﹣2＜0，
∴﹣2相反数是2．
故选C．
点评：
本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

2．（3分）（2010•铁岭）如图所示，下列选项中，正六棱柱的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．
分析：
找到从左面看所得到的图形即可．
解答：
解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形，故选B．
点评：
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；本题需注意左视图中只能看到正六棱柱的两个面．

3．（3分）若分式的值为0，则x的值为（　　）

A．
﹣1
B．
3
C．
﹣1或3
D．
﹣3或1

考点：
分式的值为零的条件．
专题：
存在型．
分析：
根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式，求出x的值即可．
解答：
解：∵分式的值为0，
∴，解得x=3．
故选B．
点评：
本题考查的是分式的值为0的条件，即分式的分子等于0，分母不等于0．

4．（3分）某班50名学生的年龄统计结果如下表所示，这个班学生年龄的众数、中位数是（　　）
年龄
13
14
15
16
人数
4
22
23
1

A．
23，15
B．
23，22
C．
1，22
D．
15，14

考点：
众数；中位数．
分析：
根据众数和中位数的定义分别进行计算，即可求出答案．
解答：
解：这组数据中15出现的次数最多，出现了23次，
则这个班学生年龄的众数是15；
∵共有50名学生，
∴中位数是第25和26个数的平均数，即（14+14）÷2=14；
故选D．
点评：
此题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的概念是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．

5．（3分）把直线y=﹣3x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m、n），且3m+n=10，则直线AB的解析式（　　）

A．
y=﹣3x﹣5
B．
y=﹣3x﹣10
C．
y=﹣3x+5
D．
y=﹣3x+10

考点：
一次函数图象与几何变换．
专题：
计算题．
分析：
根据一次函数图象与几何变换可设直线AB的解析式为y=﹣3x+k，再把点（m，n）代入得n=﹣3m+k，然后利用3m+n=10可得到k的值．
解答：
解：设直线y=﹣3x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y=﹣3x+k，
把点（m，n）代入得n=﹣3m+k，解得k=3m+n，
∵3m+n=10，
∴k=10，
∴直线AB的解析式可设为y=﹣3x+10．
故选D．
点评：
本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．

6．（3分）（2012•湖州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（　　）

A．
45°
B．
85°
C．
90°
D．
95°

考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题：
压轴题．
分析：
根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠BAC和∠CAD的度数，进而求出∠BAD的度数．
解答：
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=40°，
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠CAD=∠DBC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，
故选B．
点评：
本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．

7．（3分）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲乙两个工程队同时进行挖掘，如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间的关系的部分图象．如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加7千米/时，结果两队同时完成了任务，则该河渠的长度为（　　）

A．
90米
B．
100米
C．
110米
D．
120米

考点：
函数的图象．
专题：
工程问题．
分析：
横坐标为施工时间，纵坐标为施工长度，拆线的斜率即为施工速度．在六小时后，解题思路与追赶问题类似．
解答：
解：设y1，y2分别为甲，乙施工长度．v1，v2分别为甲，乙施工速度．
设以0h开始记时，施工时间为x小时．
当2＜x＜6时，=10米/时，=5米/时．
当x＞6时，v1=10米/时．v2=5+7=12米/时．
y1=10（x﹣6）+60=10x
y2=12（x﹣6）+50=12x﹣22
当甲乙两队同时完成时，y1=y2
即：10x=12x﹣22．
解得：x=11．
所以河渠长度为：10×11=110米．
故选：C．
点评：
此题为函数图象的应用，解题时根据题设条件找出横纵坐标对应的量的关系，列出解析式再进一步求解．

8．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．
m＜
B．
m＞且m≠2
C．
m≤
D．
m≥且m≠2

考点：
根的判别式；一元二次方程的定义．
专题：
计算题．
分析：
本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
解答：
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣2）2，
∴m≠2，
故M得取值范围是m＞且m≠2．
故选B．
点评：
1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．

9．（3分）（2012•潍坊）若直线y=﹣2x﹣4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是（　　）

A．
﹣4＜b＜8
B．
﹣4＜b＜0
C．
b＜﹣4或b＞8
D．
﹣4≤b≤8

考点：
两条直线相交或平行问题．
专题：
压轴题．
分析：
首先把y=﹣2x﹣4和y=4x+b，组成方程组，求解，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围．
解答：
解：，
解得：，
∵交点在第三象限，
∴﹣＜0，
＜0，
解得：b＞﹣4，b＜8，
∴﹣4＜b＜8．
故选：A．
点评：
本题主要考查两直线相交的问题，关键在于解方程组用含b的式子表示x、y，根据在第三象限的点坐标性质解不等式即可．

10．（3分）（2012•湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

A．

B．

C．
3
D．
4

考点：
二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
解答：
解：
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=2，
由勾股定理得：DE=，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴=，=，
∵AM=PM=（OA﹣OP）=（4﹣2x）=2﹣x，
即=，=，
解得：BF=x，CM=﹣x，
∴BF+CM=．
故选A．
点评：
本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．

二、填空题（共6小题、每题3分、共计18分）
11．（3分）|﹣4|﹣=　﹣1　．

考点：
负整数指数幂；绝对值；零指数幂．
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用负数的绝对值等于它的相反数计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
解答：
解：原式=4﹣9+4=﹣1．
故答案为：﹣1
点评：
此题考查了负指数幂，零指数幂，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（3分）如图，点O是△ABC的外心，且∠BOC=110°，则∠A=　55°　．

考点：
三角形的外接圆与外心．
分析：
根据题意画出图形，直接根据圆周角定理进行解答即可．
解答：
解：如图所示：
∵∠BOC=110°，
∴∠A=∠BOC=×110°=55°．
故答案为：55°．

点评：
本题考查的是三角形的外接圆与外心及圆周角定理，根据题意画出图形，直接根据圆周角定理进行解答是解答此题的关键．

13．（3分）（2011•宁夏）在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为　40人　．

考点：
一元一次不等式的应用．
专题：
探究型．
分析：
设参加这次活动的学生人数为x人，则x人所需的费用为15x，再列出关于x的不等式，求出x的最大值即可．
解答：
解：设参加这次活动的学生人数为x人，
则15x≤900﹣300，
解得x≤40．
故参加这次活动的学生人数最多为40人．
故答案为：40人．
点评：
本题考查的是一元一次不等式的应用，能根据题意列出关于x的一元一次不等式是解答此题的关键．

14．（3分）（2012•沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为　16　cm2．

考点：
菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
专题：
压轴题．
分析：
连接BD，可得△ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答：
解：如图，连接BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），
∴△ABD是等边三角形，
∴DE=AD=×8=4cm，
根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，
×8×4=16cm2．
故答案为：16．

点评：
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键．

15．（3分）（2012•扬州）如图，双曲线y=经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　12　．

考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（a，b），由点A与点B都在y=图象上，
根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（a，b），由OA=2AN，△OAB的面积为5，△NAB的面积为，则△ONB的面积=5+=，根据三角形面积公式得NB•OM=，即×（b﹣b）×a=，化简得ab=12，即可得到k的值．
解答：
解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，
∴OM=a，NM=b，
∴N点坐标为（a，b），
∴点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y=图象上，
∴k=ab=a•y，
∴y=b，即B点坐标为（a，b），
∵OA=2AN，△OAB的面积为5，
∴△NAB的面积为，
∴△ONB的面积=5+=，
∴NB•OM=，即×（b﹣b）×a=，
∴ab=12，
∴k=12．
故答案为12．

点评：
本题考查了反比例函数综合题：反比例函数y=图象上的点的横纵坐标的积都等于k；利用相似三角形的判定与性质求线段之间的关系，从而确定某些点的坐标．

16．（3分）（2012•扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　1　．

考点：
二次函数的最值；等腰直角三角形．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设AC=x，则BC=2﹣x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式，利用函数的知识进行解答即可．
解答：
解：如图，连接DE．
设AC=x，则BC=2﹣x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=，CE=（2﹣x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2=x2+（2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．
故答案为：1．

点评：
此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．

三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出过程）
17．（5分）先化简，再求值：，其中．

考点：
分式的化简求值；二次根式的化简求值．
专题：
计算题．
分析：
先将括号内通分，合并；再将除法问题转化为乘法问题；约分化简后，在原式有意义的条件下，代入计算即可
解答：
解：
=
=
=，
当时，
原式===．
点评：
本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成乘法．

18．（6分）已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上的一点，求证：EB=ED．

考点：
全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
先判定△ADC≌△ABC，得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，从而可判断△DCE≌△BCE，这样即可得出结论．
解答：
解：在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∵，
∴△ADC≌△ABC（HL），
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，
在△DCE和△BCE中，
∵，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴EB=ED．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题需要两次三角形全等的判定，要求同学们熟练掌握全等三角形的判定定理．

19．（7分）（2012•巴中）我市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共500株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广．通过实验得知：丙种树苗的成活率为89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图（部分信息未给出）．
（1）实验所用的乙种树苗的数量是　100　株．
（2）求出丙种树苗的成活数，并把图2补充完整．
（3）你认为应选哪种树苗进行推广？请通过计算说明理由．

考点：
条形统计图；扇形统计图．
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据扇形统计图可得乙种树苗所占的百分比，再用总数×乙种树苗所占的百分比，即可计算其株数；
（2）根据扇形统计图求得丙种树苗的株数，再根据其成活率是89.6%，进行计算其成活数，再进一步补全条形统计图；
（3）通过计算每一种的成活率，进行比较其大小．
解答：
解：（1）500×（1﹣25%﹣25%﹣30%）=100（株）；（2）500×25%×89.6%=112（株），
补全统计图如图；（3）甲种树苗成活率为：×100%=90%，
乙种果树苗成活率为：×100%=85%，
丁种果树苗成活率为：×100%=93.6%，
∵93.6%＞90%＞89.6%＞85%，
∴应选择丁种品种进行推广，它的成活率最高，为93.6%．

点评：
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．（8分）（2006•哈尔滨）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
解答：
解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，
∴CH=AH•tan∠CAH=，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），
∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==（4+）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．

点评：
命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

21．（8分）（2012•临夏州）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到　10　元购物券，至多可得到　50　元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．

考点：
列表法与树状图法．
专题：
压轴题．
分析：
（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；
（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
解答：
解：（1）10，50；（2）解法一（树状图）：

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，
因此P（不低于30元）=；
解法二（列表法）：
第二次
第一次
0
10
20
30
0
﹣﹣
10
20
30
10
10
﹣﹣
30
40
20
20
30
﹣﹣
50
30
30
40
50
﹣﹣
（以下过程同“解法一”）
点评：
本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（8分）泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．
（1）填表：
月份
九月
十月
清仓
销售单价（元）
100

50
销售量（件）
200

（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？

考点：
一元二次方程的应用．
专题：
销售问题．
分析：
（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9200元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
解答：
解：（1）填表如下：
时间
九月
十月
清仓时
销售单价（元）
100
100﹣x
50
销售量（件）
200
200+2x
800﹣200﹣（200+2x）
（2）根据题意，得
100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200
解这个方程，得x1=20 x2=﹣70
当x=20时，100﹣x=80＞50．
答：第二个月的单价应是80元．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价﹣进价．

23．（8分）（2012•巴中）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

考点：
切线的判定；平行四边形的性质；圆周角定理．
专题：
压轴题．
分析：
（1）首先连接OD，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可证得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可证得CD与⊙O相切；
（2）首先过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=6cm，∠AOF=∠AOE，又由圆周角定理可得∠ADE=∠AOE，继而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案．
解答：
解：（1）CD与⊙O相切．
理由：连接OD，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
即OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥CD，
∵AB为直径的圆O经过点D，
∴CD与⊙O相切；（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，
则AF=AE=×10=5（cm），
∵OA=OE，
∴∠AOF=∠AOE，
∵∠ADE=∠AOE，
∴∠ADE=∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF==，
∴sin∠ADE=．

点评：
此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、平行四边形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用．

24．（10分）（2008•黄石）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；
（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；
（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
解答：
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）．
把C（0，8）代入，得a=﹣1．
∴y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，
顶点D（1，9）；（2分）（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8，
它与x轴的夹角为45°．
设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．
则PH=|10﹣t|，点P到CD的距离为．
又．（4分）
∴．
平方并整理得：t2+20t﹣92=0，解之得t=﹣10±8．
∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8）．（6分）（3）由上求得E（﹣8，0），F（4，12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=﹣x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=﹣8时，y=﹣72+m．
当x=4时，y=m．
∴﹣72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．（8分）
②若抛物线向下平移，可设解析式为y=﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．
由，
有﹣x2+x﹣m=0．
∴△=1+4m≥0，
∴m≥﹣．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．（10分）

点评：
此题考查待定系数求抛物线解析式，第二问考查垂直平分线性质，利用距离相等解题，最后一问考抛物线的平移，要注意已知条件和技巧．

25．（12分）（2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．

考点：
一次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|=；
（2）①设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标；
②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（﹣，）．解答思路同上．
解答：
解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，
∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴﹣x0=x0+2，
此时，x0=﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，
此时C（﹣，）；
②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则
，
解得，，
故E（﹣，）．
﹣﹣x0=x0+3﹣，
解得，x0=﹣，
则点C的坐标为（﹣，），
最小值为1．
点评：
本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．

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