三角形中位线定理.doc

《中位线定理》

【教案背景】
1、面向学生：初三
2、课时：1
3、学科：数学
4、学生准备：提前预习本节课的内容，若干张三角形纸板，彩色油性笔，剪刀.
【教材分析】
1、教材的地位和作用：
本节课是初三数学下册第八章第四节第一课时的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习梯形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。
2、教学目标：
知识目标：
（1）理解三角形中位线的概念
（2）会证明三角形的中位线定理
（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题；
过程与方法目标：
进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。
情感目标
通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。
3、教学重难点：
重点：理解并应用三角形中位线定理。
难点：三角形中位线定理的证明和运用。
【教学方法】
学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、
比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。

【教学过程】
本节课分为六个环节：复习提问，巩固旧知 设景激趣，引入新课 概念学习，感悟新知 拼图活动，探索定理 巩固练习，强化新知 小结归纳，作业布置
㈠复习提问，巩固旧知
问：
1、平行线等分线段定理的内容
2、叙述定理的两个推论（画图示意）
练习：
AD是中BC边上的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F，若AF=2，求AC的长。

过D点作BF的平行线交AC于M，因为BD=DC，AE=ED，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC，所以AC=6。
如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？
已知：D、E是中AB、AC边的中点，则DE//BC。这就是我们今天将要研究的课题。
（二）设景激趣，导入新课
如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
设计意图：问题是一切学习探究的先父，教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破。这里创设了一个现实情景，在这里教师不急予让学生找出答案，而是让学生带着问题去学习。为了让学生主动的获得新知，先让学生动手做以下一个环节的动手操作活动。

（三）概念学习（引导探究，获得新知）
1、 动手实践探索
请您做一做（让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板）：
（1）找出三边的中点
（2）连接6点中的任意两点
（3）找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的
A
C
B
F
E
D

设计意图：在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。最终给出三角形中位线的定义。也引出了本节课的课题：三角形的中位线。这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线

C
B
A
F
E
D
2、三角形中位线的定义：
连接三角形两边中点的线段,叫做 三角形的中位线
如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。

跟踪训练：
C
B
E
D
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的 ；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 。

设计意图：学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。

（四）拼图活动、探索定理（用时大概5分钟）
A
B
C
D
E
F
整个的拼图游戏设计了以下两个问题：
问题一：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
问题二：猜想得出平行四边形后，简述证明过程。

设计意图：这个时候学生会拿出自己已经准备好的三角形纸板进行反复剪拼，并交流。这样处理教材是为了分散难点，中位线定理证明对于学生来说有一定的难度，主要是为后面猜想三角形中位线定理并证明定理而作下铺垫的，这里体现了新的知识是建立在学生已有认识的基础上。也更大的激发学生动手实践探索的主动性。
A
C
D
B
F
E
2. 简述证明过程
已知：如图，DE是△ABC的中位线，
求证：四边形DBCF是平行四边形
证明：如图,∵ △ADE≌△CFE
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
∴BD∥CF
∵AD＝BD
∴BD＝CF
∴四边形BCFD是平行四边形
充分交流之后让小组同学上来展示自己的剪拼法，并简述自己的理由
2、 乘胜追击，猜想得出定理
DE是△ABC的中位线，请想一想：
①DE与BC有怎样的位置关系?
② DE与BC有怎样的数量关系？
为什么？

设计意图：（让学生去猜测，去说，去发现，主要还是让学生独立思考，说出自己的猜想）这个时候也许有些学生会通过用尺子量，观察的直观办法得出定理，有些学生可能会通过全等三角形的性质，平行四边形的性质去理性得出定理的办法。这个时候教师要给予学生一个充分的交流和探索时间。学生通过合作学习，彼此互相启发，共同研究，能够自己解决这一问题。从而猜想得出三角形的中位线定理，并为定理的证明打下基础。引导得出定理如下：
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边(位置关系），
并且等于第三边的一半（数量关系）。

活动效果：引导学生去欣赏数学的简洁美，引导学生用简单的符号、图形语言去表达深刻的定理。
4、验证、明确结论
B C
A
D
E
F
证法：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
∴BD∥CF
∵AD＝BD
∴BD＝CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
∴DE∥BC，DE＝BC
活动效果：
有了前面的交流活动，学生要证明三角形的中位线定理思路就清晰多了，只是这时候后怎样做辅助线又是学生学习的一个难点。这时候，不要生硬的将辅助线直接做出来让学生接受，而是采取启发的办法：要证明一条线段长度等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等。有了前面开拓思路的交流，这个时候，让学生独立写出证明过程。温馨提示：这个时候学生可能有多种证明的方法，教师要对他们的证明方法给以充分的肯定和点拨，增加他们学习数学的信心

（五）巩固练习，强化新知
1、（练习意图：学生能解答开头提出的疑问，
弥合学习的心理“缺口”。在这里
让学生体会数学来应用于生活的价值。）

2、指导应用，鼓励创新随堂练习
(1)已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是_______；如果△ABC的三边的长分别为a、b、c呢? _______
变式训练：
三角形的三条中位线围成的三角形的周长为10cm，则原三角形的周长是_____________cm。

(亮点：基于初学者的学习水平，第一题简单而扣紧定理应用；第二题能进一步拓展学生应用能力，提醒学生中位线作为辅助线的作用)

3、课本做一做：
已知：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形

设计意图：这道题目主要是利用平行四边形有关定理，三角形的中位线定理来解，既再现了前面的知识，又巩固了新学的知识，让学生感受到知识的连贯性和共性，同时这道题至少有4种证明办法，提高学生的思维能力，达到思维拓展创新的效果。

变式训练：
1、四边形ABCD是平行四边形时, 、四边形EFGH是什么特殊图形?
2、四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是什么特殊图形?

（六）小结归纳
1、本节课你学到了哪些概念定理？
2、你学会了这样做辅助线的办法？
3、你在和同学的交流学习过程中，有什么感受？

教学反思：
本节课采用“问题—探究—发现—应用”的启发性教学模式，把大部分时间交给了学生，让学生充分动脑、动手、动口进行探究性的学习。而教师不是一位旁观者，而是一位引导者、合作者，组织者。整节课教师注意提高学生的逻辑证明能力，强调直观与抽象结合，让学生又一次经历了数学的快乐之旅。

板书：
三角形中位线定理
探究定理 情境 复习
摆出定理
记忆方法
例题
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