关注教材的“学”“用”价值——以2019年人教B版数学教材解析几何部分为例.pdf

47总第 354 期学科教育与教学摘 要：好的教材除了“宜教”，也应“宜学”。基于对教材教与学双重价值的认识，教师应该主动、自觉地以核心素养为导向，和学生一起用心阅读教材、理解教材、用好教材。本文以2019年人教B版数学教材解析几何部分的内容为例，谈对解读、运用教材的理解与体会。关键词：人教B版数学教材 核心素养 学材 解析几何中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1672-6715（2023）18-0047-09*刘永江，北京景山学校远洋分校数学教师，北京市特级教师，正高级教师。在日常的教学交流中经常能看到一种现象：很多教师在教学过程中基本不使用教材，而是更多地使用“学案”。当然，课上不用教材并不代表教师没有看过教材或者没有在用教材教，但教师的这种无意识的“示范”容易导致学生也基本上不翻教材，这种现象的背后其实暴露了教师对教材教与学价值的认识不到位，对于教学中如何正确使用教材也还没有清晰的概念的问题。笔者认为，教材的教学价值主要体现在两个方面。一方面，它是教师“教”的素材。教材是由国家层面组织相关的教育理论与实践专家依据课程标准编写的，符合教育学、心理学的教学素材，是集体智慧的结关注教材的“学”“用”价值以2019年人教B版数学教材解析几何部分为例刘永江*数学482023.9（下）晶，具有极高的示范引领价值与启迪价值；同时，教材中的例题与习题是千挑万选的经典之作，可以说教材本身就是教学素材的精品库；再者，教材是学术知识课程化的历史智慧的积淀，是对以往教材优秀成果的传承与发展，因而它应该成为教师教学首选的素材与依据。另一方面，教材也是学材，即学生自主学习的素材。教学的一个重要目的就是要让学生学会学习，但不容忽视的是，以往有的教材过于追求内容上的极度简洁与严谨而造成内容过于学术形态化，导致学生阅读使用时容易产生畏难情绪，客观上限制了学生自主学习的动力。而近一阶段的很多教材开始尝试改变上述遗憾，越来越注重站在学习者的角度来进行内容的表述，比如，有的教材在叙述中会适时加入类似“为什么”这样的互动问题以促进学生反思性、批判性思考，有的教材在例题环节加入了留白的设计，并且在每节课的最后给出了参考答案，上述种种类似的改变都在传递着一个明确的信息，那就是编写者殷切地希望教材除了具备“宜教”的品质之外，更应该成为“宜学”的首选担当。基于对教材教与学的双重价值的认识，教师应该主动、自觉地以核心素养为导向，和学生一起用心阅读教材、理解教材、用好教材。笔者以2019年人教B版数学教材（以下简称“人教B版数学教材”）解析几何部分的内容为例，谈谈自己对解读、运用教材的一些理解与体会。一、充分利用“尝试与发现”中的问题，促进学生自主思考人教B版数学教材在导入新知方面设计了“尝试与发现”版块，以问题情境为切入点，鼓励学生独立思考、解决问题，这一设计改变了以往教材中平铺直叙的编写方式，把教材的阅读对象从教师更大程度地转向学生，把基于教师主导讲授的教学理念更大程度地转向基于学生自主探究的教学理念。这些转变意在让学生在思考中学会思考，在学习中学会学习，在实践中积累基本的数学思维的宝贵经验。例如：坐标法是用代数方法解决几何问题的基本方法，也是解析几何学习的核心方法。教材编者设计了如图1所示的问题，其目的是通图1 用多种方法解决几何问题49总第 354 期学科教育与教学图2 勾股定理法过一个开放性的问题，引导学生用几何或代数的多种方法来尝试解决问题。比如，学生可构造直角三角形，利用勾股定理进行计算（图2）；也可借助相邻角互补的关系，在不同的三角形内利用余弦定理表达平行四边形的对角线的长短（如图1中随题给出的提示）；还可在不同的三角形内利用相同基底表达两条对角线对应的向量，再利用|a|2=a2进行证明（图3）等等。在以上体验的基础上，教师再引入坐标法（图4），这样就可以让学生在对比中体会引入坐标系背景的优势所在，通过丰富的数学活动积累数学思维的基本经验，从而学会思考、学会学习。二、先特殊后一般，仔细品味特殊性（例子）中的一般性（方法）通过对具体数学知识的学习，最终习得数学的思考方法、学习方法，应该是数学教学需要坚持的一个基本理念，而让“教会思考、教会学习”成为一种教学自觉，也应该是数学教师的基本共识。人教B版数学教材在编写中就很好地体现了以上的基本理念。我们都知道，数学学科核心素养中“逻辑推理”的具体方法往往体现为三种类型归纳推理、类比推理和演绎推理，前两个是数学发现的最重要的思维方法，也是创新思维的基本思考方法，因而具有非常重要的数学教育价值。人教B版数学教材为学生的自主学习提供了具体有效的学习介质。以归纳推理为例，教材的编写非常重视从特殊到一般的学习经历，努力引导学生仔细品味特殊中的一般性，从而归纳获得更加一般性的普适方法与结论，进而习得一种重要的“由特殊而一般”的思维方法。例如：平面几何研究的主要内容有两个方面，一个是研究基本几何对象间的位置关系，另一个是研究它们的数量关系，其中位置关系是依靠数量关系来具体刻画的。点到直线的距离是刻画点与直线位置关系的重要数量关系，在人教B版数学教材中，编者给出了如图5所示的问题，问题的设计意图很明确，不仅需要学生通过自主思考给出具体问题的解决方案，更希望其在研究具体问题的基础上图3 向量法图4 坐标法502023.9（下）提炼出一般形式下点到直线的距离公式。如果教师给学生以充分自主研究的时间，学生由于思考切入点的不同，往往会得到不同的解决方案。就这个具体问题而言，学生大致会有以下三种切入点：第一种是把点线距离转化为点点距离，通过算出垂足的坐标，进而利用两点间距离公式算出点线距（图6）；第二种是利用坐标的“横平竖直”的特征把点线距离对应的垂线段放到一个直角三角形中，再利用等面积法算出点线距（图7）；第三种是从点到直线距离的数学本质定点与直线上点的距离的最小值出发，把几何最值问题转化为函数的最值问题（图8）。在以上尝试的基础上，每位学生都可以依据之前的解决经验，模仿自己解决具体问题的方式，求解点到直线距离的一般化结论也即点到直线的距离公式。这样的设计就能很好地帮助学生体会到“由特殊到一般”的重要数学思考方法，有利于其积累更加丰富的数学思维经验。三、例题示范一题多法，意在培养发散思维钟启泉强调，以核心素养为导向的教学应该促进学生深度学习的发生。1所谓深度学习，其基本特征就是要引发学生的高阶思维活动，具体而言就是思维要具有批判性与创新性。从数学教育的实践层面来看，要培养学生的批判性与创新性思维，可以把“一题多法为抓手，培养发散性思维”作为教学的切入点。人教B版数学教材的编写就有意突出了“一题多法”的呈现，为学生的自主学习图5 解决“点到直线的距离”问题图6 用两点间距离公式图7 等面积法图8 构造函数求最值51总第 354 期学科教育与教学提供了多视角思考问题的范例。例如，在研究直线与圆的位置关系时，教材就同时从代数视角与几何视角给出了两种思维方式（图9、图10）。当然，教材示范的方法肯定不能涵盖所有的可能，但恰恰是这种“缺憾”，又能为教与学提供自由发挥的留白。其实，只要学生能够理解教材编写者所要传递的“举一反三”的意图，也就达到了“教会思考、教会学习”的根本目标。四、刻意强调命题充要性（等价性），旨在培养思维的严谨性史宁中认为，高中课程标准中六个数学核心素养可以浓缩为“三会”，即：会用数学的眼光观察世界，主要指的是数学抽象与数学直观；会用数学的思维思考世界，主要指的是逻辑推理与数学运算；会用数学的语言表达世界，主要指数学建模与数据分析。2“三会”背后体现的是数学的三个最基本的特征：一般性、严谨性与广泛的应图10 几何视角点线距与半径关系图9 代数视角方程解的个数522023.9（下）用性。显然“严谨性”主要是借助逻辑推理与数学运算两个核心素养来培养的。从教学实践来看，数学的严谨性往往可以在“等价转化”的过程中培养，而“等价转化”的数学逻辑就是要遵循命题间的充要性关系，只有在转化过程中保持命题间的充要性，才能保证命题间的等价传递，通俗地说，就是“不会解错题”，这恰恰是数学思考严谨性的具体体现。人教B版数学教材在必修一的初始内容集合与常用逻辑用语一章就非常明确地强调了高中数学应该注意养成基于“充要性”的思维习惯，并且整个高中阶段的数学教材中都一以贯之地强调“等价转化”这一思维逻辑的准则，这为培养学生数学思维的严谨性提供了非常丰厚的学习土壤。例如：方程的曲线与曲线的方程是从形与数两个视角来刻画动点的轨迹与方程的，由于是同一对象的不同表征，因而，这种数与形的结合必须互为充要，这就是数学上要求的纯粹性与完备性（图11）。1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，这就是纯粹性。2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线上，即：符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏，这就是完备性。直观地看，曲线上的点与方程的解是一一对应的，通俗地说，即曲线和方程之间既不能多一“点”，也不能少一“点”。我们可从直线方程五种形式的推导过程来具体体会这种数与形的充要关系（图12），如在推导直线方程的点斜式时，最初的斜率的表达是一个分式结构的等式，受结构的局限，其分母不能为0，即0 xx，那么其对应的直线就必须去掉一点00(,)xy。在教学中引导学生有意识地关注这种等价性，其实就是在培养他们思维的严谨性。图11 纯粹性与完备性图12 直线的五种方程形式五、用心感受“拓展阅读”，回溯本源、揭示本质、感悟文化数学史是研究数学学科的发生发展及其规律的科学，也就是研究数学的历史，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变发展过程，还探索影响这种过程的各种因素，以53总第 354 期学科教育与教学及历史上数学的发展对人类文明所带来的影响。当我们了解数学史的时候，自然会有这样的感觉：数学发展的历史事实与我们今日所学的数学教材上的内容并不完全一致。现有的教材是在科学性与教育性相结合的原则指导下，将历史上的数学材料按照一定的知识内在逻辑和教学规律要求加以取舍编撰的知识体系，这样就必然舍弃了很多数学概念和方法形成的实际背景、演化历史等因素，因此，仅凭数学教材的学习难以获得数学的原貌和全景。更重要的是，数学本身就是人类文明的结晶，学习数学不仅仅是学习数学知识本身，更是对基本数学思想方法以及数学精神、数学文化的传承与发扬。从这个角度来看，引导学生适度适量地了解数学史实，有利于其把握所学数学知识的发生、发展本源，理解数学知识的本质，感受数学家的学术精神，从而激发学习热情与创新动力。这也正是课程标准强调重视数学文化、凸显数学教育价值的原因所在。秉承这样的教育理念，人教B版数学教材在以往教材的基础上丰富了数学史的相关内容。以椭圆的学习为例。一般的教学思路都是直接给出椭圆的几何定义，然后再利用坐标法，通过把几何条件代数化得到椭圆的方程，接下来再通过对方程的代数分析研究其几何性质。从知识传承以及突出解析几何的基本研究方法坐标法的视角来看，这样的安排无可厚非，但对于具有一定批判意识的学生而言，他们极有可能提出质疑：椭圆的几何定义又是怎样得到的呢？从教育的视角看，鼓励学生的质疑精神是培养学生创新意识的重要切入点。对此，数学史的溯源是一个非常好的抓手。人教B版数学教材在椭圆方程的“拓展阅读”中给出了一种比较典型的椭圆双球模型，很好地帮助学生了解了椭圆几何定义的出处；另外，在研究椭圆等圆锥曲线的几何性质的同时，教材也把它们的一些重要的物理性质放在“拓展阅读”中，这样的设计，不仅可以帮助学生感受数学广泛的应用性，也可以通过“为什么椭圆具有这样的物理性质?”的追问激发学生借助代数方法给出合理解释的兴趣，可谓匠心独具（图13）。六、注重数学知识的发展逻辑，更要思考数学价值的教育逻辑普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）把数学学科核心素养描述为“具有数学基本特征的思维品质，关键能力以及情感态度与价值观的综合体现”。数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，其终极培养目标都可以描述为：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。因此，在本质上这“三会”就是超越具体数学内容的教学目标。从以上描述不难看出，数学知识本身有着自己的逻辑结构与组织形态，这对于学生542023.9（下）而言是非常有利于认知结构的图式化建构的。但是，数学知识自从成为“课程的数学”之后，它的存在就绝不仅仅是“学术数学”的自我，更重要的是“教育数学”的担当，因而教师有必要、有责任在课堂教学中把“课程的数学”转化成利于学生学习的“教育的数学”，借助这样的转化，帮助学生逐渐养成善于思考、善于学习的必备品质与关键能力。例如，人教B版数学教材在介绍直线的倾斜角与斜率的概念时给出了如图14所示的表达。从数学的知识逻辑角度看，笔者认为教师首先要引导学生厘清图中文字的内在逻辑。从几何的角度，确定一条直线可以有两种方式：一种是过两点可以确定一条直线，另一种是过一点和一个确定的方向可以确定一条直线。如果把直线放到坐标系中，那么直线的方向可以以坐标轴为参照物，当然，点就可以用坐标表达。根据以往研究几何问题的经验，方向可以用角度来刻画，这就是直线倾斜角定义的合理性所在。由于坐标系中的角度大小往往是借助三角函数来表达的，这就引出了“斜率”以及“用坐标表达斜率”的研究问题。从数学的教育逻辑角度看，笔者认为应该在重视知识内在逻辑的基础上，设计一系列能够引发学生深度思考，并且能够揭示数学本质的问题，让学生在思考中积累高阶思维的学习经验，提升自己的思维品质。基于以上思考，笔者在教学时设计了如下的系列问题：为什么把直线放到坐标系中？为什么要让四条直线过同一点？用什么量可以刻画直线在坐标系中的方向？为什么？图13 几何性质几何定义 55总第 354 期学科教育与教学这个角度应该怎样规定？为什么？这个角度应该怎样用坐标刻画？为什么？为什么选择了正切函数而非其他？其实，上文所呈现的人教B版数学教材的编写特色也仅仅是笔者一管之窥、一家之言，要想更好地理解教材编者的意图，教材使用者应该认真阅读教材前言，尤其要仔细品味编者力图突出的以下四个特征：一是体现时代特征，并为学生成长提供支撑；二是吸收先进理念，改变呈现方式；三是遵循认知规律，力求温故知新；四是揭示内容本质，重视直观理解。总之，从教材使用者的角度看，以数学学科核心素养为导向，理解教材、读懂教材、用好教材，应该成为我们的教学自觉。教师应该带着学生阅读、理解教材，引导学生体会、领悟教材表述的“弦外之音”，帮助学生逐渐学会数学阅读，从而学会自主学习。而要想很好地达成上述目标，不断加深对数学的理解，不断提升对核心素养的认识，不断丰厚自己的专业修养，这些都应该成为数学教师不懈追求的方向。参考文献：1钟启泉.从“知识本位”转向“素养本位”课程改革的挑战性课题J.基础教育课程，2021（11）：5-20.2史宁中.高中数学核心素养的培养、评价与教学实施J.中小学教材教学，2017（05）：4-9.（责任编辑 沈炯靓）图14 直线的倾斜角与斜率图2-2-1中的四条直线，任意两条相对于坐标轴（比如x轴）的倾斜程度都不一样.一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0.