关于w-n-凝聚环.pdf

介绍一类相对于交换环上算子的凝聚环，即凝聚环，推广凝聚环与凝聚环为了给出凝聚环的同调刻画，引入并讨论（，）内射模与（，）平坦模作为推论，给出凝聚环的新的刻画进一步，也引入（，）环与弱（，）环的概念，并讨论它们的性质与联系关键词：凝聚环；（，）内射模；（，）平坦模；（，）环；弱（，）环中图分类号：文献标志码：文章编号：（）：引言与预备知识未作特别声明时，文中所提到的与均为非负整数，所提到的环均为有单位元的交换环，所有的模都是酉模特别地，用表示这样一个环，对任意的模，记（，）记（）为的投射维数记（）（）为的整体维数（弱整体维数）年，学派引入了表现模的概念设是模，若有模正合列，其中，每个是有限生成自由模（投射模），则称是表现模模是表现模（表现模）当且仅当是有限生成模（有限表现模）同时，当时，每个表现模是表现模年，为了研究非交换环理论，引入了凝聚环的概念，若每个表现模是 表现的，则称是凝聚环显然是凝聚环（凝聚环）当且仅当是环（凝聚环），并且每个凝聚环是 凝聚环年，文献介绍并讨论了内射模与平坦模，并用这两类模刻画了凝聚环设，是模若对任意的表现模，有（，），则称是内射模；若对任意的表现模，有（，），则称是平坦模年，文献介绍并讨论了凝聚环的对偶，即余凝聚环，并且利用几乎优扩张以及对偶，给出了凝聚环与余凝聚环的等价关系设是环，是几乎优扩张，则是凝聚环（余凝聚环）当且仅当是凝聚环（余凝聚环）；设定义了一个对偶，则是余凝聚环（凝聚环）当且仅当是凝聚环（余凝聚环）年，文献将内射模与平坦模进行推广，定义并讨论了（，）内射模与（，）平坦模设是模若对任意的表现模，有（，），则称是（，）内射模；若对任意的表现模，有（，），则称是（，）平坦模文献用这两类模刻画了凝聚环关于（，）内射模与（，）平坦模的研究还可见文献下面将回顾交换环上模理论的相关知识，以便更好地展开研究（详情可见文献）设是的理想，若是有限生成理想，并且自然同态：（，）是同构，则称是理想，简称理想设（）是理想的乘法系，是模令（）存在 （），使得 显然，（）是的子模若（）四川师范大学学报（自然科学版）第卷（），则称是挠模（无挠模）设是无挠模，若对任意的（），有（，），则称是模若的理想作为模是模，则称是理想特别地，若的素理想作为模是模，则称是素理想设是的真理想，若除与外，中没有其他包含的理想，则称是极大理想设是无挠模，令 （）存在 （），使得 ，则称为的包络，其中（）是的内射包 无挠模是模当且仅当 设和是模，：是模同态若对的任意极大理想，有：是上的单同态（满同态，同构），则称是单同态（满同态，同构）设是模与同态的序列，若对任意极大理想，有序列是正合列，则称是正合列设是模，若存在满同态：，其中是有限生成自由模，则称是有限型模若存在正合列，其中与是有限生成自由模，则称是有限表现型模若的任意理想都是理想，则称是环自然地，当是环时，极大理想就是极大理想，正合列就是正合列设是模若的任意子模是有限型的，则称是模若的任意理想是有限型的，则称是环设是有限型模若的任意有限型子模是有限表现型的，则称是凝聚模；若的任意有限型理想是有限表现型的，则称是凝聚环本文的主要目的是研究一类相对于算子的凝聚环，即凝聚环，作为凝聚环与凝聚环的推广为了给出凝聚环的同调刻画，我们也将引入并研究（，）内射模与（，）平坦模 表现模与凝聚环给出表现模与凝聚环的定义，讨论其基本性质为此，首先回顾相对于遗传挠理论的表现模（即表现模）的概念文献 引入了表现模的概念，其中是模范畴上的一个遗传挠理论若有模正合列，其中，每个是有限生成自由模（投射模），是有限生成模，则称是表现模因为（挠模，无挠模）也是遗传的挠理论，于是本节在表现模的基础上定义了表现模定义设，是模若有模正合列，其中，每个是有限生成自由模（投射模），是有限型模，则称是表现模约定表现模是有限型模由定义知，当 时，每个表现模是 表现模，每个表现模是表现模，故表现模与表现模的性质是类似的，以下命题也说明了这一事实命题设，是模，则以下各条等价：）是表现模；）是 表现模，且存在模正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模；）存在模正合列，其中，是有限生成自由模，是 表现模证明）由定义即得）设 （），于是有模正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模由定义知，是 表现模现设 ，故存在模正合列，其中，是有限生成自由模，是 表现模）因为是 表现模，于是有模正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模现设，故存在模正合列由文献，若每个表现模是 表现模，则称是凝聚环在此基础上，将凝聚环定义中的 表现模替换为 表现模，从而定义了凝聚环定义若每个表现模是 表现的，则称是凝聚环显然，凝聚环是凝聚环特别地，凝聚环（凝聚环）与环（凝聚环）第期周浩然，等：关于凝聚环 等价命题以下两条成立：）是凝 聚 环 当 且 仅 当是环；）是凝聚环当且仅当是凝聚环证明）设是凝聚环，是的任意理想，于是有正合列 因为 是有限生成的，故 是表现模，由命题，是有限型理想，因此是环设是环，是有限生成模，于是有模正合列，其中是有限生成自由模由文献的推论 （），是模，故是有限型模由命题，是表现模，因此是凝聚环）设是凝聚环，是的任意有限生成理想，于是有正合列 因为 是有限表现的，故 是表现模由命题，是表现理想，再由文献 的推论，是凝聚环设是凝聚环，是有限表现模，于是有模正合列，其中是有限生成自由模，是有限生成模由文献的定理，取，有是表现模，再由命题，是表现模，因此是凝聚环每个凝聚环是 凝聚环，对于凝聚环也有类似的结论命题每个凝聚环是 凝聚环证明设是凝聚环，是 表现模，对有模正合列，其中是有限生成自由模，是表现模因为是凝聚环，故是 表现模由命题，是 表现模，因此是 凝聚环（，）内射模与（，）平坦模给出（，）内射模与（，）平坦模的定义，讨论其性质以及相互之间的联系，并给出凝聚环的刻画作为推论，同时也得到凝聚环的新的刻画定义设是模若对任意的 表现模，有（，），则称是（，）内射模；若对任意的 表现模，有（，），则称是（，）平坦模由定义，每个（，）内射模（，）平坦模）是（，）内射模（，）平坦模）当时，每个（，）内射模（，）平坦模）是（，）内射模（，）平坦模）特别地，（，）内射模（，）平坦模）是内射模（平坦模）对于给定的，当时，每个（，）内射模（，）平坦模）是（，）内射模（，）平坦模）以下是（，）内射模与（，）平坦模的一些性质定理设是模，则以下各条等价：）是（，）内射模；）若是正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模，（），则有（，）；）若是正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模，（），则每个到的同态能扩张到证明）由（，）（，）即得）由正合列（，）（，）（，）即得在相同条件下，（，）平坦模也有类似的结论定理设是模，则以下各条等价：）是（，）平坦模；）若是正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模，（），则有（，）；）若是正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模，（），则有同态：是单同态证明）（，）（，）即得）由正合列（，）即得 四川师范大学学报（自然科学版）第卷（，）内射模（，）平坦模）对直积（直和）封闭特别地，当（）时，（，）内射模（，）平坦模）对直和（直积）封闭对于（，）内射模（，）平坦模）也有类似的结论命题设是一簇模，是指标集，则以下各条成立：）当 时，是（，）内射模当且仅当每个是（，）内射模；）是（，）内射模当且仅当每个是（，）内射模；）当 时，是（，）平坦模当且仅当每个是（，）平坦模；）是（，）平坦模当且仅当每个是（，）平坦模证明）对任意的 表现模，有模正合列，其中每个是有限生成自由模，是有限型模，（），从而有以下正合列的交换图（，）（，）（，）（，）（，）（，）因为是有限生成，由文献的定理 （），和是同构，故是同构，因此是（，）内射模当且仅当每个是（，）内射模）由（，）（，）即得）对任意的 表现模，有模正合列，其中每个是有限生成自由模，是有限型模，（），从而有以下正合列的交换图（，）（，）（）（）因为是有限表现模，由文献 的定理，和是同构，故是同构，因此是（，）平坦模当且仅当每个是（，）平坦模）由（，）（，）即得命题 是（，）平坦模当且仅当是（，）内射模证明由（，）（，）即得当 时，（，）内射模的纯子模是（，）内射模；（，）平坦模的纯子模是（，）平坦模对于（，）内射模与（，）平坦模的纯子模也有类似的结论命题）当 时，（，）内射模的纯子模是（，）内射模）（，）平坦模的纯子模是（，）平坦模证明）证明过程与文献的命题（）类似）设是（，）平坦模的纯子模，则有分裂的正合列（）由命题与命题，是（，）平坦模命题设若是凝聚环，则每个（，）内射模是（，）内射模，每个（，）平坦模是（，）平坦模第期周浩然，等：关于凝聚环 证明证明过程与文献 的引理 类似命题设是模正合列若是（，）内射模，是（，）内射模，则是（，）内射模证明设是 表现模，故有模正合列，其中是有限生成自由模，是 表现模因此，正合列 （，）（，）（，），故有（，）同时，还有正合列 （，）（，）（，），故有（，）因此，是（，）内射模命题设为凝聚环，是模正合列若与是（，）平坦模，则是（，）平坦模证明由命题，与是（，）内射模，故对任意的 表现模，有（，）由命题有（，），故（，）因此，是（，）平坦模当 时，有（，）内射模对正向极限封闭以及文献的命题 的推广成立对于（，）内射模与（，）平坦模也有类似的结论命题设 ，则以下各条成立：）（，）内射模对正向极限封闭；）是（，）内射模当且仅当是（，）平坦模；）是（，）内射模当且仅当 是（，）内射模；）是（，）平坦模当且仅当 是（，）平坦模证明）设是（，）内射模的正向系，是 表现模，故有模正合列，其中每个是有限生成自由模，是有限型模，设（），从而有以下正合列的交换图（，）（，）（，）（，）（，）（，）因为是有限表现模，由文献 的定理，与是同构，故是同构因此，（，）内射模对正向极限封闭）由文献 的引理，设是环，是模，是双模，是模，若是有限表现模，是内射模，则有（，）（，），），剩余的证明过程与）类似）和）证明过程与文献 的命题类似下面刻画凝聚环在此之前，首先给出 表现模的刻画定理设是表现模，是模，则以下各条等价：）是 表现模；）对任意的无挠模的正向系，有（，）（，）；）对任意的无挠模，有（，）（，）；）对任意的无挠内射模，有（，）证明）对进行归纳假设当 时，由文献 的命题（），结果成立现假设 时结果成立当 时，设是 表现模，故有模正合列，其中是有限生成自由 四川师范大学学报（自然科学版）第卷模，是 表现模，从而有以下正合列的交换图（，）（，）（，）（，）（，）（，）由假设可得与是同构，故是同构）对进行归纳假设当 时，由文献 的命题（），结果成立现假设 时结果成立当 时，设是 表现模，故有模正合列，其中是有限生成自由模，是表现模，对任意无挠模的正向系，当 时，有以下正合列的交换图（，）（，）（，）（，）因为是同构，故是同构由假设，是 表现模，故是 表现模，因此是 凝聚环若，有以下正合列的交换图（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）由文献 的定理，与是同构，由归纳假设，是同构，故是同构由文献 的命题，是表现模，因此是表现模）特别地，当 时，由文献的引理，结果成立当，对任意的表现模，有模正合列，其中是有限生成自由模，是表现模，从而有以下正合列的交换图（，）（，）（，）（，）由文献 的引理，与是同构，故是同构当 时，对任意的 表现模，有模正合列，其中，每个是有限生成自由模，是表现模，因此由（，）（，）（，）（，）即得第期周浩然，等：关于凝聚环）显然）因为是表现模，故有模正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限表现模对任意的无挠内射模，由）有（，）（，）由文献的命题，是表现模，因此是 表现模利用定理，紧接着给出凝聚环的刻画定理设，是模，则以下各条等价：）是凝聚环；）对任意的表现模以及任意的无挠模的正向系，有（，）（，）；）对任意的表现模以及任意的无挠模，有（，）（，）；）对任意的表现模以及任意的无挠内射模，有（，）；）若是（，）内射模，则是（，）内射模；）任意的无挠（，）内射模的正向极限是（，）内射模；）任意的无挠内射模的正向极限是（，）内射模；）无挠模是（，）内射模当且仅当是（，）平坦模；）若是无挠（，）内射模的纯子模，则 是（，）内射模证明）由定理即得），），）显然）设 ，其中是无挠（，）内射模的正向系，故对任意的 表现模，由定理的），有（，）（，）（，）因此，是（，）内射模由），是（，）内射模）对任意的表现模，有模正合列，其中每个是有限生成自由模，设（），故有正合列设是无挠内射模的正向系，由），是（，）内射模，故（，）（，），从而有以下正合列的交换图（，）（，）（，）（，）（，）（，）由文献 的定理 ，与是同构，故是同构现设是无挠模的正向系，从而有以下正合列的交换图（，）（，（）（，（）（，）（，（）（，（）由文献，、与是单同态由文献的命题 （），（）是无挠模，因此与是同构由文献的命题（），是表现模，故是 表现模，因此是凝聚环）因为是纯子模，故有分裂的模 四川师范大学学报（自然科学版）第卷正合列（）因为是无挠（，）内射模，由），是（，）平坦模，故（）是（，）平坦模由文献的推论，是（，）内射模）设是无挠（，）内射模的正向系由文献的命题，有纯正合列，其中是无挠（，）内射模由），是（，）内射模特别地，当 时，既能得到文献对凝聚环的刻画，又能得到凝聚环的新的刻画推论设是模，则以下各条等价：）是凝聚环；）对任意的有限表现模以及任意的无挠模的正向系，有（，）（，）；）对任意的有限表现模以及任意的无挠模，有（，）（，）；）对任意的有限表现模以及任意的无挠内射模，有（，）；）若是（，）内射模，则是内射模；）任意的无挠内射模的正向极限是内射模；）任意的无挠内射模的正向极限是内射模；）无挠模是内射模当且仅当是平坦模；）若是无挠内射模的纯子模，则 是内射模（，）环与弱（，）环给出（，）环与弱（，）环的定义，讨论其与（，）内射模、（，）平坦模以及经典环类的联系，最后给出（，）环与凝聚环的联系文献 引入了（，）环的概念若每个表现模的投射维数最多为，则称是（，）环文献 引入了弱（，）环的概念若每个表现模的平坦维数最多为，则称是弱（，）环本节在此基础上给出了（，）环与弱（，）环的定义定义若每个 表现模的投射维数最多为，则称是（，）环；若每个 表现模的平坦维数最多为，则称是弱（，）环由定义，每个（，）环（弱（，）环）是（，）环（弱（，）环）；每个（，）环（弱（，）环）是（，）环（弱（，）环）显然，当，时，每个（，）环（弱（，）环）是（，）环（弱（，）环）特别地，若是凝聚环，则（，）环（弱（，）环）与（，）环（弱（，）环）等价；若是环，则正合列就是正合列，故（，）环（弱（，）环）与（，）环（弱（，）环）等价（，）环（弱（，）环）与（，）内射模（，）平坦模）有密切的联系，以下命题也说明了这一事实命题以下各条成立：）是（，）环当且仅当每个模是（，）内射模）是弱（，）环当且仅当每个模是（，）平坦模）若是（，）环，则是也是弱（，）环当 时，反之成立特别地，若是凝聚环，则是（，）环当且仅当是弱（，）环）是（，）环当且仅当每个（，）内射模的商模是（，）内射模）是弱（，）环当且仅当每个（，）平坦模的子模是（，）平坦模证明）和）由定义即得）必要性由命题与）可得下证充分性，当 时，对任意的 表现模，有模正合列，其中，每个是有限生成自由模，是有限型模，设（）因为，故是有限表现模对任意的模，有（，）第期周浩然，等：关于凝聚环（，），即是平坦模，故是投射模，因此是（，）环若是凝聚环，则任意的 表现模可以被无穷表现，因此，反之成立）和）证明过程与文献的命题 类似结合定义与命题有以下个推论推论以下各条成立：）是（，）环当且仅当是正则环，当且仅当是（，）环；）是（，）环当且仅当是半遗传环，当且仅当是（，）环；）是（，）整环当且仅当是整环，当且仅当是（，）整环由推论知，一般情况下，（，）环未必是（，）环推论 设是环，则以下各条成立：）是（，）环当且仅当是半单环，当且仅当是（，）环；）是（，）环当且仅当是遗传环，当且仅当是（，）环；）是（，）环当且仅当（），当且仅当是（，）环；）是（，）环当且仅当是正则环，当且仅当是（，）环；）是（，）环当且仅当是半遗传环，当且仅当是（，）环；）是弱（，）环当且仅当 （），当且仅当是弱（，）环；）是（，）整环当且仅当是整环，当且仅当是（，）整环；）是（，）整环当且仅当是整环，当且仅当是（，）整环是（，）整环当且仅当是域由以下定理知，（，）整环与域也是等价的定理 是（，）整环当且仅当是域证明设是（，）整环，则是（，）整环，由文献 的定理（），是域反之，设是域，由文献的定理（），是（，）整环由文献的定理 （），是整环，故 表现模与 表现模等价，因此是（，）整环（，）环与凝聚环有密切的联系每个（，）环是，凝聚环，对于（，）环也有类似的结果定理每个（，）环是 ，凝聚环证明设是（，）环当 时对任意的 表现模，有模正合列，其中每个是有限生成自由模，设（），因为 表现模是 表现模，故有（），因此是投射模因为，故是有限生成模，可以被无限表现，因此是 凝聚环当 时，对任意的表现模，同理得到是有限生成投射模，因此是凝聚环参考文献 ：，（）：，（）：，（）：（，），（）：，（，），（，），（）：（，），（，），（）：，（，），（）：四川师范大学学报（自然科学版）第卷 ，：，（）：，（）：，（）：，：，：，（）：张晓磊 凝聚环的模理论刻画成都：四川师范大学，（，）：，（，）（，），（，）（，），：；（，）；（，）；（，）；（，）：；（编辑郑月蓉）