基于非负张量分解的投资组合策略.pdf

收稿日期院 2022-03-31接受日期院 2022-10-04基金项目院 国家自然科学基金面上项目渊11971171冤曰国家社会科学基金项目渊22BTJ025冤第一作者简介院 徐相建渊1978要 冤袁 男袁 讲师袁 博士遥*通信联系人院 赵为华渊1978要 冤袁 男袁 教授袁 博士袁 主要研究方向为回归建模尧机器学习尧数据挖掘等遥 E-mail院金融市场变幻莫测尧充满了不确定性袁这与其本身的市场规律和偶然性相关遥 金融危机尧国家政策及自然灾难等都会影响到金融市场袁从而影响投资收益情况遥 投资者总是希望能够找到应对的方法在减少投资风险的同时增加投资收益袁这就是投资组合问题遥 自诺贝尔经济学家马科维茨在 1952 年首次提出投资组合理论的开创性工作以来袁相关矩阵分析大量应用于金融领域袁常用于研究投资组合和风险分析的决策问题遥为方便起见袁许多文献经常假设一个平稳的相关结构遥 然而袁金融资产特别是股票之间的相关性随时间的推移并不是恒定的袁因此探究构建具有时变性的相关矩阵的方法是十分必要的遥近些年袁研究股票市场的方法层出不穷袁比如基于非负张量分解的投资组合策略徐相建袁 马海洋袁 赵为华*渊南通大学 理学院袁 江苏 南通226019冤摘要院有效提取股票价格时间序列中股票对之间的相互依赖关系能够提高投资组合的收益率遥 采用基于块坐标下降法的非负张量分解技术从股票价格时间序列中提取复杂关系袁 构建预测距离矩阵来代替原有的相关系数矩阵袁提出基于非负张量分解的投资组合策略遥 选取 2019要2021 年中证 100 指数数据进行实证分析袁实验结果表明院基于非负张量分解的投资组合策略具有较高的可行性袁且在股市动荡时期表现要优于等权重和市值加权投资组合遥关键词院非负张量分解曰投资组合曰块坐标下降法中图分类号院 O213文献标志码院 A文章编号院 员远苑猿原圆猿源园渊圆园23冤园2原园园79原园7Portfolio strategy based on nonnegative tensor decompositionXU Xiangjian,MA Haiyang,ZHAO Weihua*(School of Sciences,Nantong University,Nantong 226019,China)Abstract:Effective extraction of the inter dependence between the stock pairs from stock price time series can im鄄prove the return rate of portfolio investment.This study uses non-negative tensor decomposition technology based onblock coordinate descent method to extract complex relationships from stock price time series,constructs predictiondistance matrix to replace the original correlation coefficient matrix and proposes a portfolio strategy based on non-negative tensor decomposition.Through selecting the China securities index(CSI)100 Index dataset from 2019 to 2021for empirical analysis,the experiment shows that the portfolio strategy based on non-negative tensor decomposition isfeasible and performs better than equal-weight and market-cap-weighted portfolios in times of stock market turmoil.Key words:nonnegative tensor decomposition;portfolio strategy;block coordinate descent method南通大学学报渊自然科学版冤允燥怎则灶葬造 燥枣 晕葬灶贼燥灶早 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠 渊晕葬贼怎则葬造 杂糟蚤藻灶糟藻 Edition冤灾燥造援 22晕燥援 2Jun援 圆园23第 22 卷 第 2 期圆园23 年 6 月doi院 10.12194/j.ntu.20220331002引文格式院 徐相建袁 马海洋袁 赵为华.基于非负张量分解的投资组合策略J.南通大学学报渊自然科学版冤袁 2023袁 22渊2冤院79-85.南通大学学报渊自然科学版冤圆园23 年采用时间序列广义自回归条件异方差渊generalizedautoregressive conditional heteroskedasticity袁GARCH冤模型1-2尧基于随机森林的长短期记忆网络渊randomforest-long short term memory袁RF-LSTM冤模型3等方法进行股票价格预测曰采用随机矩阵理论4尧复杂网络模型5等方法解决投资组合策略问题遥 然而袁随着投资组合中资产数量的增加袁传统的研究方法由于受到维度的限制而难以准确描述高维资产组合间的相关结构遥本文提出使用张量来研究资产组合间的相关结构袁构建股票之间的时变相关矩阵遥 张量对于高维数据的处理更加简单袁可以用于同时研究多个资产组合袁有效避免了维度灾难的问题遥根据股票之间过去的距离袁进而预测股票下一时刻的距离袁这个问题相当于一个链路预测问题6遥在链路预测问题上袁Dunlavy 等7提出基于矩阵和张量方法进行链接预测袁证明了矩阵和张量技术都是有效的时间链接预测方法曰Gao 等8提出使用张量分解模型来解决链路模式预测问题袁该模型可以用来分析不同对象之间的相关性袁揭示了各种关系对预测性能的影响袁并通过大量实验证明该模型的优越性袁能够获得更好的预测效果遥以 Dunlavy 和 Gao 的理论为基础袁本文将利用股票价格时间序列构造三维张量袁并使用非负张量分解技术将该三维张量分解成向量组合袁从股票价格时间序列中提取股票对之间的相关结构信息袁并预测未来距离矩阵袁用于解决投资组合问题遥 选取2019要2021 年中证 100 指数数据进行实证分析袁实验结果表明袁本文所提出的基于非负张量分解的投资组合策略具有较高的可行性袁且在长期投资组合和股市动荡时期具有较好的表现袁其创造的累积收益要高于等权重和市值加权投资组合策略遥1张量术语及运算本节将简要介绍一些张量符号和运算袁关于张量的详细介绍见 Kolda 等9的综述性文献遥在本文中袁标量尧向量尧矩阵和张量分别用小写字母渊如 a冤尧黑体小写字母渊如 x冤尧黑体大写字母渊如 A冤和花体大写字母渊如 X冤表示袁将向量 x 的第 i 个元素表示为 xi袁矩阵 A 的渊i袁j冤位置元素表示为 aij袁三阶张量X 的渊i袁j袁k冤位置元素表示为 xijk遥1.1张量术语1.1.1张量范数张量 X沂I1伊 I2伊 噎 伊 IN的范数为其所有元素平方和的平方根袁即椰X椰=移i1=1I1移i2=1I2噎移in=1INxi1i2噎in2姨遥1.1.2秩 1 张量如果一个 N 阶张量 X沂I1伊 I2伊 噎 伊 IN的秩为 1袁那么它可以写成 N 个向量的外积袁即X=a渊1冤a渊圆冤噎a渊N冤袁符号表示外积袁张量的每一个元素是由这些向量的对应元素乘积得来的袁xi1i2噎in=ai1渊1冤ai2渊2冤噎ain渊N冤遥1.1.3张量的矩阵化张量矩阵化袁也称为张量按模展开袁它是将一个 N 阶张量的元素重新排序成矩阵的过程遥 例如袁一个 3 伊 4 伊 5 的张量可以被排列成一个 12 伊 5 的矩阵遥 在本文中袁我们只考虑按模展开情况遥 在文献9中可以找到更普遍的展开模式遥张量X沂I1伊 I2伊 噎 伊 IN的 n 模展开用 X渊n冤=In伊 渊I1噎 In-1In+1噎 IN冤表示遥原张量的元素 xi1i2噎in映射到矩阵中的元素 xinj袁其中j=1+移k=1Nk 屹 n渊ik-1冤Jk袁Jk=仪m=1k-1m 屹 nIm遥1.1.4张量的乘积张量可以进行相乘袁尽管它的符号比矩阵复杂得多遥关于张量乘法的完整论述袁参见文献10遥这里我们只考虑张量 n 模乘积袁即将张量按 n 模乘以矩阵遥 一个张量 X沂I1伊 I2伊 噎 伊 IN和一个矩阵 U沂J 伊 In的 n 模积表示为 X 伊nU袁得到的结果仍是一个张量袁且它的维度为 I1伊 噎 伊 In-1伊 J 伊 In+1伊噎 伊 IN袁其中的元素表示为渊X 伊nU冤i1噎in-1jin+1噎iN=移in=1Inxi1i2噎iNujin遥结合张量的矩阵化袁我们可得如下结论院80窑窑Y=X 伊nU 圳 Y渊n冤=UX渊n冤遥1.1.5Kronecker 积和 Khatri-Rao 积矩阵 A沂I 伊 J和矩阵 B沂K 伊 L的 Kronecker 积可以表示为 A茚B袁得到的是一个维度为渊陨运冤 伊渊JL冤的矩阵袁该矩阵具体定义为A茚B=a11B噎a1JBaI1B噎aIJB杉删山山山山山山山山山山山煽闪衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫遥矩阵 A沂I 伊 K和矩阵 B沂J 伊 K的 Khatri-Rao积可以表示为 A已B袁得到的是一个维度为渊陨允冤 伊K 的矩阵袁该矩阵具体定义为A已B=a1茚b1a2茚b2噎 aK茚bK遥显然袁 向量 a 和 b 的 Kronecker 积和 Khatri-Rao 积是等价的袁即 a茚b=a已b遥1.2张量 CP 分解张量的 CANDECOMP/PARAFAC11-12分解渊以下简称 CP 分解冤袁是指将张量分解成若干个秩 1 张量和的形式遥例如袁一个三阶张量 X沂I 伊 J 伊 K可以写成X抑移r=1Rarbrcr袁其中院R 为正整数曰ar沂I袁br沂J袁cr沂K袁r=1袁2袁噎袁R遥 因子矩阵是这些向量的组合袁即 A=a1a2噎 aR遥 类似地袁可以定义因子矩阵 B 和 C遥 根据此定义我们有以下等式院X渊1冤抑A渊C已B冤T袁X渊2冤抑B渊C已A冤T袁X渊3冤抑C渊B已A冤T遥此外袁还可以用X抑A袁B袁C抑移r=1Rarbrcr来表示张量的 CP分解遥对于一般的情况袁张量 X沂I1伊 I2伊 噎 伊 IN分解的形式为X抑A渊1冤袁A渊2冤袁噎袁A渊N冤袁其中袁A渊n冤沂In伊 R袁n=1袁2袁噎袁N袁类似地袁我们可以得到X渊n冤抑A渊n冤渊A渊N冤已噎已A渊n+1冤已A渊n-1冤已噎已A渊1冤冤T遥1.3张量的 CP 秩将张量 X 的 CP 分解中秩 1 张量的最小个数定义为张量 X 的秩13袁即rankcp渊X冤=minR讦X=移r=1RX渊r冤袁X渊r冤为轶 1张量遥2距离张量分解及预测距离矩阵的构建2.1股票对之间距离张量的构建在经济学中袁常考虑股票的对数收益形式Yi=ln Pi渊t冤-ln Pi渊t-1冤袁渊1冤式中院Yi表示第 i 支股票的对数收益曰Pi渊t冤表示第 i支股票在第 t 天的收盘价遥 股票 i 的对数收益 Yi的方差定义为Var渊Yi冤=E渊Yi-E渊Yi冤冤2遥一对股票 i 和 j 用对数收益 Yi和 Yj表示的协方差为Cov渊Yi袁Yj冤=E渊Yi-EYi冤渊Yj-耘Yj冤遥进一步袁股票 i 和 j 的对数收益的相关系数定义为Corr渊Yi袁Yj冤=籽ij=Cov渊Yi袁Yj冤Var渊Yi冤Var渊Yj冤姨遥渊2冤对于给定的投资组合中的股票袁如果能定义一个度量来表示两只股票之间的距离袁则我们就得到一个合适的分类指标遥 股票对之间的相关系数并不能用作表示股票对之间的距离袁因为它不符合定义度量的 3 条公理院正定性尧对称性和三角不等式遥文献14给出了定义股票对之间距离的一种方法袁即定义股票对之间的距离为d渊i袁j冤=2渊1-籽ij冤姨袁渊3冤因此袁在获得时间长度为 n1的股票数据后袁我们就可以得到股票对的距离矩阵 D沂N 伊 N袁其中的元素dij表示第 i 和第 j 个股票在该时间段的距离遥当得到 Z个距离矩阵 D 时袁就可以将距离矩阵叠加在一起得到一个三维的股票对距离张量 D沂N 伊 N 伊 Z袁其中的元素 啄ijz代表第 i 和第 j 个股票在第 z 个时间段的距离遥2.2利用 CP 分解对股票信息进行提取通过 CP 分解袁我们可以把距离张量 D 分解成徐相建袁 等院基于非负张量分解的投资组合策略81窑窑南通大学学报渊自然科学版冤圆园23 年多个秩 1 张量和的形式袁鉴于距离张量 D 具有切片对称的特殊性袁可以将其分解成D 艿移r=1R姿rvrvrur袁渊4冤其中院vr沂N袁ur沂Z曰姿r=椰vr椰椰vr椰椰ur椰遥 向量 vr包含了股票对之间的空间信息袁向量 ur包含了股票对之间的时间信息遥矩阵化后袁张量 CP 分解可以表示为D渊1冤艿V渊哉已灾冤T袁D渊圆冤艿V渊哉已灾冤T袁D渊3冤艿U渊灾已灾冤T袁其中院因子矩阵 灾 越 v1袁v2袁噎袁vR袁U=u1袁u2袁噎袁uR曰已表示 Khatri-Rao 积曰D渊i冤表示张量 D 按模 i 展开后得到的矩阵遥 于是袁我们可以得到目标函数minV袁U椰D渊1冤-V渊哉已灾冤T椰F2袁minV袁U椰D渊2冤-V渊哉已灾冤T椰F2袁minV袁U椰D渊3冤-U渊V已灾冤T椰F2遥对于该问题的求解袁考虑到这里的因子矩阵 V和 U 包括距离张量 D 中的元素都是非负的袁 普通的 CP 分解并不适用遥 这时就需要考虑使用非负张量分解方法遥文献15提供了一种基于块坐标下降法的非负张量分解方法遥对于张量 D沂I1伊 I2伊 噎 伊 IN袁 在给定秩 R 的情况下进行非负 CP 分解袁可以通过求解min12椰D-A1A2噎An椰F2袁s.t.An沂+In伊 R袁n=1袁噎袁N得到其非负 CP 分解形式遥 基于块坐标下降法的非负张量分解方法的具体算法如表 1 所示遥2.3构建预测距离矩阵在得到股票在时间和空间上的信息后袁需要进一步构建预测距离矩阵D赞遥下面对时间剖面向量 ur的最后 n2个元素应用指数平滑预测16-17袁提取一个标量 子r来代表 ur在下一个时刻的取值袁子r=琢uz+渊1-琢冤uz-1+噎+渊1-琢冤n2-1uz-n2+1+渊1-琢冤n2uz-n2遥渊5冤利用已经得到的向量 vr尧参数 姿r和标量 子r袁可以构建下一个时刻股票对的预测距离矩阵D赞为D赞=移r=1R姿r子rvrvrT袁渊6冤其中的元素用d赞kj表示遥2.4秩的选取在进行 CP 分解前袁首先要确定张量的秩袁这对于模型分解具有非常重要的意义遥 然而袁确定张量的秩是一个 NP-hard 问题遥 基于 CP 分解是特殊的Tucker 分解而提出的核一致性诊断法渊core consis鄄tency diagnostic袁CONCORDIA冤18袁可用于确定 CP 分解的秩袁 且通过实践证明是一种较为有效的方法遥定义核一致函数为表 1基于块坐标下降法的非负张量分解算法Tab.1Non-negative tensor decomposition algorithm based onblock coordinate descent method算法 1非负张量分解输入院距离张量 D 和秩 R输出院非负因子矩阵A1袁A2袁噎袁AN初始化院给定正常数 0 啄w 1袁随机化因子矩阵 An-1=An0袁n=1袁2袁噎袁Nfor k=1袁2袁噎for n=1袁2袁噎袁NBnk-1饮 Ank-1已噎已 An+1k-1已 An-1k已 A1kLnk-1饮 max渊lk-2袁椰渊Bk-1冤TBk-1椰冤袁其中 lk-2=minnLnk-2袁椰 窑 椰表示谱范数棕nk-1饮 min渊棕赞k-1袁啄wlk-2Lnk-1姨冤袁其中棕赞k-1=tk-1-1tk袁t0=1袁tk=12渊1+1+4tk-12姨冤A赞nk-1饮 Ank-1+棕nk-1渊Ank-1-Ank-2冤G赞nk-1饮 渊A赞nk-1渊Bnk-1冤T-D渊n冤冤Bnk-1Ank饮 max渊0袁A赞nk-1-G赞nk-1/Lnk-1冤end forend for82窑窑CONCORDIA=100渊1-移p=1R移q=1R移r=1R渊gpqr-tpqr冤2移p=1R移q=1R移r=1Rtpqr2冤袁渊7冤其中院R 表示给定的张量的秩曰gpqr是核张量 G沂F 伊 F 伊 F的元素袁通过将 CP 分解得到的因子矩阵代入 Tucker 分解可得到核张量 G曰tpqr是超对角张量T沂F 伊 F 伊 F的元素袁其超对角线上元素为 1袁其余元素均为 0遥秩选取过程如下院对于给定的秩袁首先对张量进行 CP 分解袁接着将得到的因子矩阵代入 Tucker分解得到核张量 G袁 最后计算核一致函数值遥 如果CP 分解模型有效袁 则核一致函数值将接近 100%曰如果选取的秩太大或者 CP 分解拟合效果不好袁则核一致函数值将趋于 0袁甚至为负遥 在实践中袁随着给定的秩增大袁核一致函数会缓慢趋于平稳袁然后在超过合适的秩时急剧下降袁这时应选择前一个使得核一致函数值较高的秩袁且一般选择的秩其对应的核一致函数值在 80%100%之间遥2.5基于信号优化的投资组合策略给定预测的距离矩阵袁每个资产相对于其他资产的链接强度可以通过一个中心得分来衡量袁该中心得分是将每个资产与其他资产之间的距离相加F赞k=1N移l=1Ndk袁l蓻遥渊8冤当产生新的股票数据时袁构建新的距离张量并进行张量分解袁得到一个新的中心得分遥由前后两个中心得分做差可以得到每只股票的变化信号驻kt+1=F赞kt-F赞kt-1遥渊9冤基于股票的变化信号袁进一步袁我们可以进行投资分析遥 考虑最小化投资组合的互连风险袁最大化张量分解产生的信号的优化目标袁可得如下优化问题院棕=arg max棕棕驻T袁渊10冤s.t.移k=1N棕k臆1袁渊11冤0臆棕k臆a遥渊12冤其中院变量 驻 为由 N 个股票的变化信号所构成的N 伊 1 的向量曰棕 为权重向量遥 式渊10冤代表优化目标为使加权投资组合信号最大化袁约束式渊11冤意味着没有杠杆袁假设总财富等于 1遥它还表明袁并非所有的财富都必须在每个时期进行分配遥 例如袁假设一场系统性危机将会发生袁这将导致所有的信号都是负面的袁在这种情况下袁最佳策略将是完全不交易遥约束式渊12冤意味着权重受下界 0 和上界 a的约束遥求解该优化问题袁得到权重 棕 后袁利用该权重进行加权投资组合袁计算得到在 t 时刻的收益为Rt=移k=1N棕k渊Pkt+1-PktPkt冤遥渊13冤特别地袁我们采取等权重投资组合策略袁这是最简单的投资方法袁可作为其他投资组合的参考基准遥 即取每个股票对应的权重均为1N袁即 棕k=1N袁此时的收益表示为Rt=移k=1N1N渊Pkt+1-PktPkt冤遥渊14冤此外袁我们也可以采取市值加权的投资组合策略袁考虑股票的市值袁按市值的占比来分配权重遥 因此市值高的股票对应的权重就更大袁当这些市值高的股票表现良好时袁该投资组合的表现也更好遥3实证分析本节将上述方法应用于中证 100 指数篮子中75 支股票数据袁 时间区间为 2019-01-02要2021-11-26袁共 706 个工作日的数据遥 选取实验参数为n1=15袁n2=7袁Z=25袁琢=0.5袁 约束上限 a=0.1袁也就是说投资某项股票占比不能超过总投资的10%遥为了解 2019-01-02要2021-11-26 期间的股票市场行情袁图 1 给出这 75 支股票的动态平均价格变化示意图遥从图 1 中可以发现袁这 75 支股票的动态平均价格总体呈一个上升趋势袁在 510 天之前都处于一个平稳上升时期袁但在第 510 天之后出现了两次较大的下滑袁股票市场处于动荡时期遥 这是因为受货币政策收紧尧抱团股瓦解和美股暴跌等多方面因素的影响遥图 2 中给出由不同方法得到的投资组合策略产生的累计收益袁累计收益越高袁代表获得的投资徐相建袁 等院基于非负张量分解的投资组合策略83窑窑南通大学学报渊自然科学版冤圆园23 年组合策略越好遥 红线代表使用秩 R 分解进行信号优化投资组合曰蓝线代表使用秩 1 分解进行信号优化投资组合曰 黑线代表使用等权重投资组合策略曰绿线代表市值加权投资组合遥 使用秩 R 分解得到的信号优化投资组合策略在样本期结束时的最终收益率为 63.90%袁秩 1 分解的情况下为 60.37%袁等权重的情况下为 45.81%袁市值加权投资组合为 40.16%遥不难发现在股票市场平稳时期即 450 d 之前袁使用等权重投资组合策略和市值加权投资组合的累积收益较高遥 但在样本期后半段即中国股票市场动荡阶段袁使用信号优化投资组合的累积收益要高于等权重和市值加权投资组合袁这说明当股市剧烈波动时袁等权重和市值加权投资组合具有不稳定性袁容易受到那些市值高的股票的影响袁进而可能导致亏损曰 而信号优化投资组合在股市剧烈波动时袁表现优秀袁累积收益仍然呈现稳定增加的趋势遥故信号优化投资组合策略相较于等权重投资组合和市值加权投资组合在长期投资及当股市动荡时更具有优越性遥4结论本文基于非负张量 CP 分解技术袁运用多秩分解的方式充分提取股票间的相关结构信息遥 通过张量多秩分解技术得到的预测距离矩阵代替原有的相关矩阵进行金融领域的预测分析袁并得到了较好的预测效果遥 由于张量数据分析充分考虑内部之间的相关性袁可以期待张量分析在计量金融的多个领域中有更多的应用遥参考文献院 1 CHI W L.Stock price short-term forecasting based onGARCH modelC/Proceedings of the 2018 InternationalConference on Mechanical袁 Electronic袁 Control and Au鄄tomation Engineering 渊MECAE 2018冤袁 March 30-31袁 2018袁Qingdao袁 China.Paris院 Atlantis Press袁 2018院23-27.2 郭畅.基于 Copula 函数的证券基金与股价指数的尾部相关性分析J.南通大学学报渊自然科学版冤袁 2009袁 8渊2冤院85-90.GUO C.Tail dependence analysis of fund index and stockindex based on copula functionJ.Journal of Nantong Uni鄄versity 渊Natural Science Edition冤袁 2009袁 8渊2冤院85-90.渊inChinese冤 3 李辉袁 化金金袁 邹波蓉.基于 RF-LSTM 组合模型的股票价格预测J.河南理工大学学报渊自然科学版冤袁 2022袁41渊1冤院136-142.LI H袁 HUA J J袁 ZOU B R.Stock price prediction basedon RF-LSTM combination modelJ.Journal of Henan Poly鄄technic University 渊Natural Science冤袁 2022袁 41渊1冤院136-142.渊in Chinese冤 4 李冰娜袁 惠晓峰.基于随机矩阵理论我国股票投资组合噪声分析及风险控制J.系统工程袁 2012袁 30渊8冤院38-44.LI B N袁 HUI X F.Study on noise analysis and risk 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