浙江省2013年高考数学第二轮复习-专题七-概率与统计第2讲-概率、统计与统计案例-理.doc

专题七　概率与统计第2讲　概率、统计与统计案例

真题试做
1．(2012·山东高考，理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)．
A．7 B．9 C．10 D．15
2．(2012·陕西高考，理6)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则(　　)．

A．＜，m甲＞m乙
B．＜，m甲＜m乙
C．＞，m甲＞m乙
D．＞，m甲＜m乙
3．(2012·广东高考，理7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)．
A． B．
C． D．
4．(2012·湖北高考，理20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X＜300
300≤X＜700
700≤X＜900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
考向分析
概率部分主要考查了概率的概念、互斥事件的概率加法公式、对立事件的求法，以及古典概型的计算，均属容易题．统计部分选择、填空都是独立考查本节知识，解答题均与概率的分布列综合．预测下一步概率部分会更加注重实际问题背景，考查分析、推理能力，统计部分在直方图、茎叶图都可单独命题，且多为一个小题，解答题仍会与分布列结合．

热点例析
热点一　随机事件的概率
【例1】(2012·江西高考，理18)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．

(1)求V＝0的概率；
(2)求V的分布列及数学期望E(V)．
规律方法 高考中，概率解答题一般有两大方向．一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数、中位数、频数、频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率、独立事件的概率、随机变量的期望与方差等．需要注意第一种方向的考查．
变式训练1 (2012·北京昌平二模，理16)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是和p(0＜p＜1)．
(1)若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率；
(2)我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围．
热点二　古典概型
【例2】(2012·上海高考，理11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．
规律方法 较为简单的问题可以直接使用古典概型公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接解法，先求事件A的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率．
变式训练2 (1)(2012·江苏高考，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________．
(2)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为(　　)．
A． B． C． D．
思想渗透
数形结合思想——解答统计问题
用数形结合思想解答的统计问题主要是通过频率分布直方图研究数据分布的总体趋势．
求解时注意的问题：
(1)频率分布直方图中纵轴表示，每个小长方形的面积等于这一组的频率．
(2)在频率分布直方图中，组距是一个固定值，故各小长方形高的比就是频率之比．
下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料．(单位：cm)
区间
界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158)

人数
20
11
6
5

(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)根据样本的频率分布图，估计身高小于134 cm的人数约占总人数的百分比．
解：(1)频率分布表如下：
区间人数
频数
频率
[122,126)
5

[126,130)
8

[130,134)
10

[134,138)
22

[138,142)
33

[142,146)
20

[146,150)
11

[150,154)
6

[154,158)
5

(2)频率分布直方图如图：

(3)由图估计，身高小于134 cm的学生数约占总数的19%.

1．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取各职称的人数分别为(　　)．
A．5,10,15 B．3,9,18 C．3,10,17 D．5,9,16
2．(2012·江西高考，理9)样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0＜α＜，则n，m的大小关系为(　　)．
A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能确定
3．(2012·安徽高考，理5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)．

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
4．在抽查某产品的尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率是m，该组在频率分布直方图上的高为h，则|a－b|等于(　　)．
A．h·m B．
C． D．与m，h无关
5．(2012·浙江镇海中学模拟，15)用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用1次，则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为__________．

6．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成．
第一排
明文字符
A
B
C
D
密码字符
11
12
13
14
第二排
明文字符
E
F
G
H
密码字符
21
22
23
24
第三排
明文字符
M
N
P
Q
密码字符
1
2
3
4
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数．
(1)求P(ξ＝2)；
(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．
7．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．
参考答案
命题调研·明晰考向
真题试做
1．C　解析：由题意可得，抽样间隔为30，区间[451,750]恰好为10个完整的组，所以做问卷B的有10人，故选C.
2．B　解析：由题图可得＝＝21.562 5，m甲＝20，
＝＝28.562 5，m乙＝29，
所以＜，m甲＜m乙．
故选B.
3．D　解析：在个位数与十位数之和为奇数的两位数中：
(1)当个位数是偶数时，由分步计数乘法原理知，共有5×5＝25个；
(2)当个位数是奇数时，由分步计数乘法原理知，共有4×5＝20个．
综上可知，基本事件总数共有25＋20＝45(个)，
满足条件的基本事件有5×1＝5(个)，
∴概率P＝＝.
4．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：
P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.
P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为：
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，
又P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝＝＝.
故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
精要例析·聚焦热点
热点例析
【例1】解：(1)从6个点中随机选取3个点总共有＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，因此V的分布列为
V
0

P

由V的分布列可得
E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.
【变式训练1】解：(1)设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得3分”为事件N，则事件M与事件N为对立事件，P(M)＝·0·3＝，
P(N)＝1－P(M)＝1－＝.
(2)设选手甲在A区射击的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,3,6,9.
P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝3)＝··2＝；
P(ξ＝6)＝·2·＝；
P(ξ＝9)＝3＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
3
6
9
P

∴E(ξ)＝0×＋3×＋6×＋9×＝.
设选手甲在B区射击的得分为η，则η的可能取值为0,2,4.
P(η＝0)＝(1－p)2；P(η＝2)＝·p·(1－p)＝2p(1－p)；P(η＝4)＝p2.
所以η的分布列为
η
0
2
4
P
(1－p)2
2p(1－p)
p2
∴E(η)＝0×(1－p)2＋2·2p(1－p)＋4·p2＝4p.
根据题意，有E(η)＞E(ξ)，
∴4p＞，∴＜p＜1.
【例2】　解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法种，而有两人选择的项目完全相同的选法有种，故填.
【变式训练2】(1)　解析：由题意可知，这10个数分别为1，－3,9，－27,81，－35，36，－37,38，－39，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型的概率公式得所求概率P＝＝.
(2)C　解析：总事件数为36种，而满足条件的(X，Y)为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情形．p＝＝.
创新模拟·预测演练
1．B　解析：高级、中级、初级职称的人数所占比例分别为＝0.1，＝0.3，＝0.6.故选B.
2．A　解析：由已知，得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m，
＝＝＝α＋(1－α)，
整理，得(－)[αm＋(α－1)n]＝0，
∵≠，
∴αm＋(α－1)n＝0，即＝.
又0＜α＜，∴0＜＜1，
∴0＜＜1.
又n，m∈N＋，∴n＜m.
3．C　解析：由图可得，＝＝6，＝＝6，故A错；而甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错；
＝＝2，
＝＝2.4，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故D错．
4．C　解析：频率分布直方图中，＝高度，所以|a－b|＝，故选C.
5．　解析：依题意有两个区域涂同一种颜色，另两个区域涂另两种颜色．
当涂同一种颜色的两个区域相邻时，有种涂法；
当涂同一种颜色的两个区域不相邻时，有×3×＝18种涂法；
故相邻的区域不涂同一种颜色的概率为.
6．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．
∴P(ξ＝2)＝＝.
(2)由题意可知ξ的取值为2,3,4三种情形．
若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2，则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.
∴P(ξ＝3)＝＝.
若ξ＝4，则P(ξ＝4)＝＝或P(ξ＝4)＝1－－＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
P

∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
7．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
1－P()＝1－·p＝.
解得p＝.
(2)由题意，P(ξ＝0)＝3＝，
P(ξ＝1)＝2·＝，
P(ξ＝2)＝·2＝，
P(ξ＝3)＝3＝.
所以，随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
3
P

故随机变量ξ的数学期望：
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

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