基于反思能力提升的解题教学微设计.pdf

数学之友2023年第10 期基于反思能力提升的解题教学微设计梅升（江苏省昆山中学，江苏苏州，2 1530 0）摘要：为有效解决学生套路化求解“一眼题”的问题，在教学改革不断深入的背景下，教师需要有意识地培养学生反思的习惯，引导学生有所思，提高学生的反思能力，提升其思维的深刻性，促成深度学习的发生，在此过程中提升学生素养。关键词：套路化；反思习惯；反思能力；深度学习是参变分离后的函数（参变量分离法），也可以是某1问题概述一含有参数的函数(分类讨论法）;先探求不等式随着教学改革的不断深入，广大数学教师都在恒成立的一个必要条件，如从演绎思维角度出发，由积极探索提高教学效果的方法，越来越多的新教育不等式恒成立,则适合条件的特殊情形也成立，由此理念得到应用，但仍然有不少教师的数学课堂是变获得一个必要条件，由此可以缩小参数的取值范围相的“一言堂”“满堂灌”,或个别优秀学生代替教师(显然当0时,f(x)为增函数,f(）f(0)=0,即一讲到底,没有学生探索解题思路的过程,更谈不上0时,f(）0 恒成立），简化探求过程,然后验证反思解题,结果是学生只会套路化求解“一眼题”，一其充分性,直接获得结论.旦问题的情境发生变化，就无从下手，找不到思路方想法1:当x=0时,ER;当x0时,f(x)0等法，其根源在于教师没有引导学生认识问题的本质e*-1价于a.令g(x)=并指导学生进行适时地反思总结，因此学生的理解X水平就不可能从一个水平升华到更高的水平.数学家e*(x-1)+1,令 h()=e*(x-1)+1.则 h(x)=xe*0.波利亚说：“数学问题的解决仅仅是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”如何在解题教学中有效提升学生的反思能力？本文以利用导数研究不等式的恒成立问题的解题教学微设计为例进行说明.2示例分析首先,为了让学生有所思，教学过程中教师应减少自身的解题表演,增加恰当的留白，有意识地滞后于学生，与学生共鸣于其思维水平的最近发展区,形成师生、生生思维火花的碰撞，让学生亲身经历完整的审题、思路探究等解题关键环节,为反思做好积累.其次,不能满足于获得正确答案,应引导学生反思解题所用的知识、方法，反思经历的解题探究过程，让感性解题思维进入理性阶段，让学生思维的深刻性、批判性等得以提升，通过解题教学培养学生反思的习惯,提升反思的能力.问题1已知函数f()=e*-1-ax,若对E0,+）总有f(）0 成立,则实数的取值范围为思路探求：这是一道不等式恒成立问题，一般方法：转化为求函数的最值,而对于函数的构造可以12_数学之友e-1,则 g()=所以当0时,h(x)为增函数,h(x)h(0)=0,从而当x0 时,g()为增函数,所以g()g(0),g(0)无意义，需要用到高等数学中的知识求解其极限,故需要调整想法.想法2:当1,x0时,同想法1;当1,x0时,由f()=e-=0,得x=ln a,易得f(x)在(0,ln)上为减函数,所以f()f(0)=0,与f()0 矛盾.综上,a1.想法3：当x0时，总有f(x）0 成立当x01+ax时，总有1成立.令g(x）=a-1-ax.当0 1,x0时,由g()=a-10,得=,当0 x1,x0时,由f()=e*-a=0,得=lna,易得f()在(0,ln)上为减函数,所以f()g（0)=1,即原不等式不能恒成立,矛盾；当2 2 a+10,即-a一时,g(x)在22(0,2a+1)和(2,+）内为减函数，（2 a+1,2)内为增函数,所以只需g（0）1（成立）,且g（2）1,解得7-e?1aM一.又因为一42112,即 a 时，一2.因为24知)e1,即当a=时,g(x)1.+x+12综上，的取值范围为2121a所以a=;当 2 a+243X27-2100时，分离参数,得)x2.记g(x)=eX2g(x)=-(x-2)12_0,故h（)单调递增,h（x）h（0)=0,故函数h(x）单调递增,h（）h(0)=0,由h（）0 可得 e*-12-1=0 成立,当 x(0.2)时,()0 g(x)单调递增;当xE(2,+)时,g()0恒成立,求的取值范围.思路探求：本题如直接分类讨论进行求解，显x）然很烦琐.和问题1构造形函数类似,可将不a(x-1)等式转化为lnx-一+1构造g(x)=ln xa(x-1)分类讨论求g（x）的最x+1值；通过观察注意到f(1)=0,也可考虑寻找必要条件.想法1:注意到f(1)=0,要使f()0对任意x1恒成立,则必有f（1)0,易求得2.x+1当a2时,易知f(x)=lnx+a，X0,从而f(x)为增函数,f(x)(1)=2-0,1所以f()在(1,+）上为增函数,从而f()f(1)=0,即2时满足题意.当a2时,因为f（)在（1,+）上为增函数，f(1)=2-a 0,所以存在唯一的xE（1,e ）,使得f（）=0.那么当xE（1,x）时,f()为减函数,所以f(x)2时,原不等式不能恒成立，矛盾.综上,的取值范围为（-8,2 .想法2：当x1时,不等式f(x)0等价于lnx-a(x-1),0.设函数g(x)=ln x-x+112ag(x)x(+1)当2,x1时,由基本不等式易得g（)0,所以g()为增函数,g(x)g(1)=0,即2时不等式当x1时恒成立；当2时,由g（)=0,得x+2(1-a)x+1=0,的两根为x,=a-1-/a-2a,x=-1+/a-2a,显然x21,又xi2=1,所以x1,且当xE（1,x)时,g（x)0,g（）为减函数,g（)2 不符合题意.综上,的取值范围为（-,2 .回顾反思：因为本题中的f(1)=0,所以可以尝试使用端点法得到想法1（同问题1中的想法4）；想2023年第10 期法2 是对不等式做等价变形，这和问题2 中的想法一致，让lnx和多项式分开，这样求导一次后的表达式中就不含lnx了,从而使问题变得简单.比较下来方法2 较好，而参变量分离本题不适用.把以上3道问题的处理方法作比较，对于参变量分离，问题2 适用，问题1、3不适用；对于分类讨论3道问题都适用；对于函数的构造要便于研究0对任意的1恒成立，其性质.如上所述：对于端点法,问题1、3适用，必要条件亦为充分条件，需要注意的是并非都如此，针对问题2 采用端点法得到的结果就不是最终答案3反馈训练已知不等式+xlnxk（-1)对x1恒成立,则1整数的最大值为(）.A.1B.2(参考答案:C)4结束语笔者在解题教学中有意识地培养学生回顾反思1的习惯，一定程度上提升了学生的反思能力,增强了e学生在解题过程中的自我意识、自我监控水平,有效解决了文章开始提出的问题.首先，在解题教学过程中,要突出学生的主体地位，留足时间给学生探索、思考,在关键问题、关键环节上不可一语道破,要突出思想方法和思维策略的引领，让学生说出来，暴露学生的数学解题的思维过程,这样能更有效地为反a(x-1)思做好积累；其次，要教会学生解题后具体反思什,则 g(1)=0,x+11x+=+2-2ax+2(1-a)x+1Xx(+1)2(x+1)2C.3么，如何进行反思，教师有必要引导学生回顾反思：解题用到的知识、思想方法及比较、为什么这么做、你是怎么想到的，让学生感悟其中的必然性，在此过程中让学生完成对自身解题思维活动的自我监察、自我调整，促进学生深度学习，有效提高学生的解决问题的能力,培养学生的批判性思维和创造性思维，提升学生的数学学科素养.参考文献：1 张健.基于思维能力提升的“利用导数研究不等式恒成立（有解）问题”设计示例J.中学数学教学参考，2 0 2 2(4):59-61.2 张秘芳，王政扬.含参不等式恒成立问题的四种解法 J.数学之友,2 0 2 2,36(9)：7 6+8 0.D.414_数学之友