基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究.pdf

系统仿真学报系统仿真学报Journal of System Simulation第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究郭力强，马亮，张会，杨静，范学满，程卓(海军潜艇学院，山东 青岛 266199)摘要摘要：针对水下攻防作战强对抗性的特点和蒙特卡罗搜索耗时长的问题，建立基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击模型，提出一种改进的遗传模拟退火算法用于优化模型求解。采用仿真分析的研究方法，在双雷齐射攻击和潜艇声抗防御模型的基础上，依据零和博弈下的纳什均衡理论构建攻防对抗模型；借鉴粒子群算法自适应放缩适应度和模拟退火算法Metropolis接受准则等思想，对遗传算法中的初始种群、适应度函数、进化策略进行改进。通过典型阵位下的仿真实验，对改进遗传模拟退火算法的性能进行验证，并定量分析了射击提前角和展开航程对鱼雷攻击效果的影响。关键词关键词：作战仿真；博弈对抗；鱼雷攻击；潜艇防御；优化算法中图分类号：TJ631.5；TP391.9 文献标志码：A 文章编号：1004-731X(2023)08-1814-10DOI:10.16182/j.issn1004731x.joss.22-0458引用格式引用格式:郭力强,马亮,张会,等.基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究J.系统仿真学报,2023,35(8):1814-1823.Reference format:Guo Liqiang,Ma Liang,Zhang Hui,et al.Research on Modeling and Optimization Method of Torpedo Anti-jamming Attack Based on Game ConfrontationJ.Journal of System Simulation,2023,35(8):1814-1823.Research on Modeling and Optimization Method of Torpedo Anti-jamming Attack Based on Game ConfrontationGuo Liqiang,Ma Liang,Zhang Hui,Yang Jing,Fan Xueman,Cheng Zhuo(Navy Submarine Academy,Qingdao 266199,China)Abstract:Aiming at the strong adversarial characteristics of underwater attack and defense operations and the time-consuming problem of traditional Monte Carlo method,a model of torpedo anti-jamming attack based on game confrontation is designed and an improved genetic simulated annealing algorithm for optimal model is proposed.Through the research method of simulation analysis,on the basis of the models of two torpedo salvo attack and submarine acoustic resistance defense,the attack-defense confrontation model is constructed according to the Nash equilibrium theory under zero-sum game.The initial population,fitness function,and evolutionary strategy of GA are improved by the ideas of the adaptive deflation fitness of PSO algorithm and the metropolis acceptance criterion of SA algorithm.Through simulation experiments under typical shooting arrays,the performance of ISAGA algorithm is verified and the impact of shooting advance angle and launch range on torpedo attack effect is quantitatively analyzed.Keywords:operational simulation;game confrontation;torpedo attack;submarine defense;optimization algorithm收稿日期：2022-05-07 修回日期：2022-06-24第一作者：郭力强(1992-)，男，满族，硕士生，研究方向为武器装备智能决策技术。E-mail：javis019_第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023郭力强,等:基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究http:/www.china-0引言引言随着人工智能技术的发展，海量作战数据的采集是实现指挥控制智能化的前提和重要依据。受水下特殊环境的影响，真实实验数据的采集存在成本高昂、测量难度大等问题。因此，对仿真模型的构建和样本的质量提出了更高的要求。鱼雷攻击是一个典型的动态、多约束、非线性的强对抗过程，受海区水文条件不确定性、双方对抗行为复杂性和装备自身性能特点等多重因素的影响。一方面，现有的鱼雷攻击1-4或防御鱼雷建模5-7往往立足于目标采取相对固定的静态机动策略，很难体现真实水下攻防作战双方博弈对抗8的特点；另一方面，对抗条件下的仿真推演过程和步长粒度难以简化，在决策变量多元的情况下，依靠传统蒙特卡罗搜索方法必定会产生严重的求解耗时和维度灾难等问题。因此，有必要评估目标实施水声对抗条件下的鱼雷攻击效果，寻求博弈对抗双方信息掌握不完全条件下的最优策略解，对鱼雷抗干扰攻击的建模和优化方法进行研究。本文对鱼雷攻击和潜艇防御模型的运动控制逻辑和参数解算方法进行研究，依据悲观决策原则构建基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击模型；针对仿真模型求解的复杂性和特殊性，对经典智能优化算法进行分析，提出一种改进的遗传模拟退火算法(ISAGA)，并通过仿真实验对模型和算法的有效性进行验证。1鱼雷抗干扰攻击建模鱼雷抗干扰攻击建模1.1 双雷齐射攻击模型双雷齐射攻击模型为提高鱼雷命中概率，发射平台通常会采取双雷平行航向齐射方式攻击9。声自导双雷齐射弹道主要包括初始直航段、一次转角段、展开直航段、二次转角段2-3、直航搜索段、自导跟踪段、假目标对抗段和再搜索再攻击段10等，其攻击过程可简要表述为鱼雷出管后按预设射击参数转向和展开，当声自导开机则进入直航搜索弹道；当发现潜艇或被声诱饵干扰则采用尾追法变速跟踪目标5；当识别出目标是声诱饵则转入假目标对抗弹道；当假目标对抗弹道结束或跟踪目标过程中丢失目标则转入再搜索再攻击弹道；若航程报警前未发现任何目标，则鱼雷以环形搜索弹道航行至航程耗尽为止6。声自导鱼雷双雷齐射射击参数解算思路10：首先求解单雷射击的有利提前角，进而确定射击主航向；给定展开散角和双雷平行航行间距，求解展开航程；根据射击主航向、展开散角、展开航程和鱼雷出管航向，求解齐射各雷一次转角、展开航程、二次转角和直航搜索距离等参数。考虑到目标运动要素误差的存在，采用将扇面遮盖中心系数用一个常数k表示的方法计算单雷射击的提前角。如图1所示，vm为潜艇的航速；vw为声自导鱼雷的航速；m为潜艇速度与鱼雷速度之比；dg为鱼雷射击距离；Qm为目标弦角。设定声自导作用距离r=kr0，则应满足声自导扇面前沿中点a与目标构成相遇条件，即AMgC为相遇三角形，则单雷射击提前角的计算式为=arctanmsin1+mcos-arcsin(rdgsin0)(1)vmvwr=kr0QmMgCHw1HwHw2dgdTT2T1STWA0r0Cm图1 声自导鱼雷平行航向齐射Fig.1 Acoustic homing torpedoes with parallel salvo launched 1815第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023系统仿真学报Journal of System Simulationhttp:/www.china-利用式(1)即可根据目标运动要素、敌我相对态势以及鱼雷命中目标情况，仿真计算射击有利提前角max和射击主航向Hw。在给定展开散角的条件下，为自导扇面半角宽度，DtT为顺序发射间隔时间，K为与双雷自导扇面重叠程度有关的系数，为确保转入平行航向后齐射双雷自导扇面相互衔接或有一定的重叠，则展开航程ST的计算式为ST=Kr0sin+vmDtTsinsin(/2)(2)假设发射平台采取直进射击的方式，则双雷一次转角和二次转角的求解公式10分别为 w1 T1=Hw-2w1 T2=Hw+2 w2 T1=Hw+2w2 T2=Hw-2(3)1.2 潜艇声抗防御模型潜艇声抗防御模型声诱饵是典型的诱骗型水声对抗器材，通过模拟潜艇声特性，对来袭鱼雷进行应对，是潜艇水下防御鱼雷的主要手段之一11。声诱饵的使用主要考虑机动时机、转向角度和潜艇的规避机动等问题5-6。因此，潜艇的鱼雷防御方案12表示为四元组(my1ty1y2)，分别为潜艇转向角、诱饵的一次转角、一次转角后直航时间和二次转角。防御过程如图2所示。鱼雷报警态势距离为ds，弦角为Xm。潜艇收到鱼雷报警立刻以旋回角速度m转向m角度规避鱼雷，并加速至vm1直航机动。同时，经过一定的系统反应时间后，向鱼雷来袭弦别发射声诱饵，以诱骗鱼雷为潜艇迅速规避争取时间。其中，潜艇转向规避过程旋回角速度m的计算式10为Rm=10.8vm0+150(m)m=0.334vm0+0.8(/s)(4)诱饵出管后开机工作，初始直航ty0时间后转向y1角度，然后直航ty1时间，再转向ay2角度后加速直航至航程终了。使用安全裕量作为效能评估指标。安全裕量分为瞬时安全裕量和过程安全裕量2种。瞬时安全裕量定义为D=d(m C)mC0 mC(5)式中：m为潜艇位置点；C为鱼雷声自导扇面；d(m C)为点m到扇面C的距离。过程安全裕量定义为整个过程中安全裕量的最小值，潜艇规避成功当且仅当整个规避过程的安全裕量0。因此，在作战仿真中，过程安全裕量最大值对应的四元组(optmopty1topty1opty2)即为潜艇水声防御鱼雷的最优防御方案Topt。1.3 基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击模型基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击模型将对抗中的攻防双方分别看作局中人A和局中人D，则局中人集合可以表示为I=A D，A为己方发射平台，携带鱼雷武器；D为敌方目标潜艇，携带声诱饵干扰器材。A方对D方发动鱼雷攻击，通过合理配置武器射击诸元，期望以最大命中概率摧毁D方；D方针对A方的攻击可通过机动规避、释放声诱饵等措施进行防御，使D方防御鱼雷成功概率最大，即 A 方鱼雷命中概率最小。分析可知，局中人A采取的所有策略集合即为攻击决策二元组(k K)的解空间，局中人D采取vm0vmy2y1ty1ty0vm1mdsr0X图2 潜艇使用声诱饵对抗鱼雷Fig.2 Submarine using a decoy to defend torpedo 1816第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023郭力强,等:基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究http:/www.china-的所有策略集合为防御决策四元组(my1ty1y2)的解空间。定义策略集合S=sAsD，其中，sA=(sA1sA2sAM)表示局中人A采取的纯策略集，sD=(sD1sD2sDQ)表示局中人D采取的纯策略集。U=UAUD为以鱼雷命中概率为指标的局中人A、D博弈对抗的收益集合，其中，UA=uAijMQ，UD=uDijMQ分别为局中人A、D的收益矩阵。其中，uAij为局中人A采取纯策略sAi时的收益值，uDij为局中人D采取纯策略sDj时的收益值。在双方对抗过程中，D方的效益函数为防御过程的安全裕量，A方的效益函数为鱼雷攻击命中目标概率。考虑到水下特殊战场环境必然导致的对抗双方态势感知误差，因此，上述非合作博弈无法通过数学解析直接求取纳什均衡点，需要建立作战仿真模型，按照观测系统的误差分布规律，设置随机样本来模拟目标散布，通过多次采样、仿真过程和统计的方式完成A方和D方相应效益函数的求解。依据潜艇、声诱饵和鱼雷的装备性能，以及状态触发条件、运动控制逻辑和参数解算方法，建立鱼雷抗干扰攻击过程的多实体有限状态机仿真模型，如图3所示。初始化战场态势参数并设置双雷齐射攻击和潜艇声抗防御方案决策变量解空间。假设在某射击阵位条件下，双雷齐射攻击方案个数为M。依据悲观决策原则，在潜艇采取最优防御方案(optmopty1topty1opty2)的情况下，评估M个攻击方案的命中效果。由于鱼雷攻击潜艇过程中存在相对态势误差，可假设潜艇解算来袭鱼雷目标散布数量为N，观测系统误差服从系数为的高斯正态分布。那么针对任意攻击方案Ai，潜艇有N种可能采取的最优防御方案Tjopt。记录潜艇采取N种防御方案的情况下，攻击方案Ai能够命中潜艇的次数为n，则鱼雷攻击方案Ai的命中概率为Pi=n/N。最后，通过作战仿真遍历决策变量搜索空间，使用冒泡法保留命中概率最大的鱼雷攻击方案Aopt，即为当前射击阵位条件下鱼雷抗干扰攻击决策的优化结果。具体仿真流程如图4所示。一次转角一次直航二次转角二次直航鱼雷识别/航程耗尽诱饵失效转向规避加速直航低速直航鱼雷出管自导开机直航弹道跟踪弹道对抗弹道环搜弹道鱼雷停车鱼雷命中/航程耗尽发现目标识别诱饵再搜索目标丢失目标鱼雷报警诱饵状态机潜艇状态机鱼雷状态机初始直航图3 鱼雷抗干扰攻击过程的多实体有限状态机仿真模型Fig.3 Process simulation model base on multi-entity finite state machine for torpedo anti-jamming attack 1817第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023系统仿真学报Journal of System Simulationhttp:/www.china-2优化算法设计优化算法设计2.1 复杂度分析复杂度分析以潜艇防御决策为例，依据蒙特卡罗模拟的思想，通过作战仿真遍历四元组(my1ty1y2)解空间，搜索对应安全裕量最大值的组合，得到最优解和目标函数值为min_dmax=max(min_dii)ii=124(optmopty1topty1opty2)=(i1mi2y1ti3y1i4y2)ii(6)式中：为决策变量的搜索粒度。假设来袭鱼雷目标散布数量为1 000，仿真时长为20 min，仿真步长为0.5 s，决策变量搜索粒度为 10，则需要进行大约 2.4105次解空间为O(104)的仿真计算。分析可知，在考虑博弈对抗的情况下，随着决策变量数量的增加，搜索粒度和仿真步长的细化，仿真计算量将呈指数级剧烈增长，势必会出现严重的求解耗时问题，难以满足快速决策和大规模数据生产需要。由于目标函数值是通过仿真推演进行求解，一方面，多实体按照相互关联的状态触发条件，实现动态作战过程的模拟，很难通过数学解析公式进行简化；另一方面，仿真结果的精度取决于时间步长Dt，粒度过粗可能会遗漏重要的极值点。因此，仿真过程本身的复杂性和时间步长的粒度要求，决定了目标函数无法进一步优化，只能通过设计智能优化算法改进决策变量组的搜索方式，实现全局最优解的快速收敛。2.2 算法分析算法分析与蒙特卡罗搜索不同的是，智能优化算法能够利用每次搜索的信息来不断改进搜索策略，典型的有遗传算法13、模拟退火算法14、粒子群算法15等。其中，遗传算法是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的搜索算法，适用于求解传统搜索方法难以解决的大规模、非线性组合优化问题。其搜索过程是通过产生问题的解种群而非单个解，具有较强的全局搜索能力，同时具有隐含的并行搜索特性，有利于实现全局最优解的快速收敛。然而，遗传算法这种“择优淘汰”的进化思想容易使种群在前期出现“早熟”现象，导致后期出现进化停滞，陷入局部极值的问题。模拟退火算法是通过类比统计热力学中的热平衡过程，利用Metropolis准则自适应地控制温度下降过程，以一定的概率接受较差解，使算法具有跳离局部最优“陷阱”的能力。由于每次跳离都局限于一定的范围内，使得该算法收敛速度慢，计算效率低。粒子群算法从鸟类捕食行为受到启发，通过自身及其他粒子的移动经验动态调整速度，从而控制移动的方向和距离，实现个体在解空间中寻优，具有通用性好、收敛速度快、实现简单的特点。但是该算法局部搜索能力较差，难以收敛于全局最优解。围绕上述智能优化算法的不足，众多学者提初始化战场态势参数init和决策变量解空间第M个鱼雷攻击方案结束鱼雷攻击方案Ai鱼雷最优攻击方案Aopt来袭鱼雷散布样本N水声对抗条件下双雷齐射攻击过程多实体有限状态机仿真模型第N个潜艇最优防御方案结束攻击方案Ai的命中概率为Pi=n Ni=i+1是否否是记录鱼雷命中潜艇次数n误差系数j=j+1图4 作战仿真流程图Fig.4 Flow chart of operational simulation 1818第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023郭力强,等:基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究http:/www.china-出了不同的改进策略和方法16-20。针对攻防决策问题复杂度高的特点和全局最优解快速收敛的需求，在具有并行搜索能力的遗传算法基础上，结合模拟退火算法以一定概率接受较差解，以及粒子群算法自适应调整惯性权重以放缩适应度的思想，提出一种改进的遗传模拟退火算法。通过改进种群初始化策略、自适应放缩适应度和以Metropolis准则进行种群调整等手段，用于上述鱼雷抗干扰攻击模型的快速求解。2.3 改进遗传模拟退火算法步骤改进遗传模拟退火算法步骤(1)初始化种群对决策变量在搜索空间中的索引位置进行整数编码。基于先验知识和迁移学习的思想，根据前期学者仿真分析得出的一般性结论，赋予种群一个较优个体，并在该染色体的基础上采取随机位数扰动的方式迭代生成初始种群。这样既保证了初始种群的随机性，还能够在一个较高的起点上进行搜索。(2)设置参数设置种群规模s、最大进化次数genmax、交叉概率Pc、变异概率Pm、退火初始温度Tstart、温度冷却系数、终止温度Tend，初始化当前迭代变量gen=0。(3)计算种群中个体适应度FitV=(dmin-dattack)(T/Tstart)1/2,dmindattack0,dmindattack(7)式中：dattack为鱼雷战斗部作用距离。该适应度函数使得种群个体差异随温度的变化而减小，能够在进化后期个体适应度易趋于一致的情况下，增加适应度较低个体被选择的概率，提高种群个体多样性和算法跳出局部最优的能力。(4)更新个体通过选择、交叉、变异、逆转操作更新个体。选择算子：采用经典轮盘赌的方法，按照代沟比例(generation GAP,GGAP)选择出适应度较高的染色体进行后续操作；交叉算子：随机排列选择出来的染色体，进行两两分组，并以交叉概率Pc对每对染色体中间随机一段位置进行交叉；变异算子：以一定的变异概率Pm产生变异基因数，用随机方法选出发生变异的基因；逆转算子：在选择、交叉、变异之后引入连续多次的逆转操作，进一步增加遗传算法搜索最优解的能力。在上述选择、交叉、变异、逆转操作后均需进行个体有效性判断，保留符合决策变量约束条件的基因，复原有冲突的基因。(5)调整种群在保留父代精英的基础上，依据Metropolis准则分情况判断新个体是否替换旧个体。经过选择、交叉、变异、逆转操作后，若拟插入新种群第jj个染色体的适应度大于上一代种群中第jj个染色体，则插入该个体为新一代种群中的第jj个染色体；否则以一定概率Pm接受新个体，舍弃旧个体，以保证种群的多样性，直至生成新一代种群。dF=min_d(Cjjn)-min_d(Cjj)Pm=exp()-dFT dF01 dF0(8)(6)更新最优解并循环操作当gengenmax时，执行gen=gen+1；若TTend，执行T=T降温操作，更新记录算法最优解，循环执行步骤(3)(6)直至终了。2.4 算法流程算法流程上述设计基于改进遗传模拟退火算法的潜艇防御决策优化流程如图5所示。3仿真实验及分析仿真实验及分析实验在Windows环境下进行，使用MATLAB R2021b。硬件配置为 AMD Ryzen 5-5600H 处理器，核心数6，主频3.30 GHz，内存16 GB。分别使用SA、GA、PSO和ISAGA算法搜索潜艇防御决策的最优解(optmopty1topty1opty2)和目标函数值min_dmax。1819第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023系统仿真学报Journal of System Simulationhttp:/www.china-设置SA算法退火初始温度T0=1 000、退火外循环最大迭代次数genmax=30、退火内循环迭代次数I=120、冷却系数=0.95；GA 算法种群规模s=120、最大进化次数genmax=30、交叉概率Pc=0.9、变异概率Pm=0.2、代沟比例为0.9；PSO算法粒子群规模s=120、最大迭代次数genmax=30、个体学习因子c1=2.05、社会学习因子c2=2.05、最大惯性权重max=0.9、最小惯性权重min=0.4、粒子最大速度vmax=1；ISAGA算法种群规模s=120、最大进化次数genmax=30、交叉概率Pc=0.9、变异概率Pm=0.05、代沟比例为0.9、退火初始温度T0=1 000、终止温度Tend=10、温度冷却系数=0.98。各算法迭代提前停止计数为10，适应度变化量容忍度为10-3。初始化战场态势和装备性能参数，取阵位参数发射平台射击距离dg=8 n mile，目标弦角分别为Qm=6090120，来袭鱼雷目标散布数量N=1 000，航速误差系数v=2 kn，航向误差系数=5，仿真总步数为鱼雷有效航程、仿真时间步长Dt=0.5，决策变量搜索粒度4=(37,25,21,25)。实验结果如图6和表1所示。开始gen=gen+1初始化种群s、genmaxPc、Pm、T0、Tendgen=0计算种群中个体目标函数值ObjV和适应度FitV选择、交叉、变异、逆转个体有效性判断Metropolis准则调整种群生成新一代种群gengenmaxTTendT=T更新记录最优解输出min_dmax和(optmopty1topty1opty2)结束是否是否图5 基于ISAGA算法的潜艇防御决策优化Fig.5 Optimization process of submarine defense decision based on ISAGA algorithm图6 仿真实验结果Fig.6 Simulation experiment results 1820第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023郭力强,等:基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击建模与优化方法研究http:/www.china-分析可知，相比于耗时严重的蒙特卡罗模拟搜索来说，使用优化算法能够明显提高最优解和目标函数值的搜索效率。其中，模拟退火算法求解耗时长，收敛速度慢，未取得全局最优解的情况下就提前停止计数；遗传算法求解速度快，但后期出现了陷入局部极值导致进化停滞的问题；粒子群算法在优化得到全局最优解时计算量较大。本文提出的改进遗传模拟退火算法相比而言，既克服了陷入局部极值的问题，同时又有较高的搜索效率，适用于作战仿真模型的优化求解。为进一步分析射击提前角和展开航程对鱼雷攻击决策的影响，利用改进遗传模拟退火算法得到模型在典型阵位下的仿真实验结果，如图7和表2所示。分析可知，射击阵位选择是鱼雷攻击决策的关键所在。当发射平台位于小弦角攻击时，鱼雷攻击效果较好，命中概率能够达到90%以上；位于大弦角攻击时，潜艇防御鱼雷成功概率会有显著提高。仿真结果表明:在考虑潜艇使用声诱饵对抗鱼雷的情况下，射击提前角系数k取0.81、展开航程系数K取0.70.9时，鱼雷攻击效果较好。图7 仿真实验结果Fig.7 Simulation experiment results表1实验结果对比Table 1Comparison of experimental results算法MCSAGAPSOISAGAQm=602.542.262.442.452.54Qm=903.082.923.043.053.08Qm=1203.263.133.263.263.26平均耗时/s1 823.297.743.117.894.16表2模型在典型阵位下的实验结果Table 2Experimental results of model in typical formationsQm/()306090120最大命中概率/%99.1096.6032.504.16射击提前角系数k0.80.91.00.8展开航程系数K0.70.80.80.9 1821第 35 卷第 8 期2023 年 8 月Vol.35 No.8Aug.2023系统仿真学报Journal of System Simulationhttp:/www.china-4结论结论针对水下攻防作战强对抗性的特点和蒙特卡罗搜索求解耗时的问题，本文构建了基于博弈对抗的鱼雷抗干扰攻击模型，并提出一种改进遗传模拟退火算法用于优化仿真模型求解。实验表明，该方法既能贴合水下攻防作战实际情况，提升仿真结论精度，又能在较短的时间内完成求解，满足大规模作战数据生成的研究需求。然而，作战仿真与智能优化算法都属于迭代型求解方法，当问题规模很大时，大量的迭代搜索仍然会导致较大的计算耗时。特别是一旦战场态势发生变化，上述方法一般需要重新进行搜索求解。因此，下一步将结合深度学习、强化学习等人工智能前沿技术，以实现在线实时求解为目标，开展智能决策领域的相关研究。参考文献参考文献：1武志东,于雪泳,许兆鹏.潜射鱼雷命中概率的解析计算通式及应用J.水下无人系统学报,2021,29(2):203-209.Wu Zhidong,Yu Xueyong,Xu Zhaopeng.Analytic Formula and Employment of the Hitting Probability for Sub-launched TorpedoJ.Journal of Unmanned Undersea Systems,2021,29(2):203-209.2宫友明,武志东,刘志成.声自导鱼雷二次转角射击目标优化建模J.火力与指挥控制,2018,43(7):82-85,93.Gong Youming,Wu Zhidong,Liu 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