基于高考结构不良试题的中考命题趋势研究.pdf

36 福建中学数学 2023年第6期 如何让其发挥出其延伸出的几何性质，常规图形的构造，策略的归纳总结，才会让学生在解决问题的过程中自如调用“经验”图形只有关注平时数学活动经验的积累，才会让学生在几何解题时真正产生“条件反射”作为教师，教学过程更要注重启发式、探究式、参与式、互动式的教学方式的运用，让学生在实践、探究、体验、反思、合作等学习过程中掌握基本技能、积累基本活动经验，促进学生核心素养发展 5.2 注重培养学生再画图的习惯注重培养学生再画图的习惯 复杂的几何图形，往往是基本几何图形的组合或基本图形的添点、线生长而成学生认为图形复杂，是因为没有养成“庖丁解牛”的分解图形习惯为了更好地理解图形及其内涵，不妨让学生经历复杂图形的形成过程，通过画图以及图形的“叠加”，学生与图形之间的“对话”，即是理解图形，联想知识，形成思路的心路历程借助画图，也能进一步发展学生的空间观念与想象力，与义务教育数学课程标准（2022年版）内容中强化尺规作图的地位不谋而合总而言之，几何教学，如果抓住以下几点：尝试独立画图；立足基本图形；构建“经验”图形，也就抓住几何学习的“牛鼻子”5.3 注重解题教学中解题方法的自然生成注重解题教学中解题方法的自然生成 平时的解题教学中，教师往往喜欢把最简捷方法呈现于学生，这种简捷对于学生而言，只是听懂，没有内化，因为它缺乏还原问题思考的过程解题过程即尝试、猜想、探索、论证、发现的过程唯有平时的教学中，让学生经历读题、联想、探究、体会、对比的历程，解题思路才能顺延条件信息自然生成，才能适应大部分学生的思维需要，才能让学生的思维品质、探究精神得以提高与激发，让学生领悟到数学探究的乐趣与魅力 （本文系江苏省教育科学“十三五”初中专项重点资助课题“生本理念下的初中课堂问题链设计研究”（编号：E-a/2018/02，主持人：徐智潭）和南通市教育科学“十四五”规划课题“初中数学伙伴式备课共同体的建构与实践研究”（编号：GH2021356）的阶段性研究成果）基于高考结构不良试题的中考命题趋势研究基于高考结构不良试题的中考命题趋势研究 陈文钦 宋 波 广东省佛山市顺德区华南师范大学附属北滘学校中学部（528311）1 对结构不良问题的认识对结构不良问题的认识 2020 年新课程改革的高考试题中，首次出现结构不良题目，得到广泛关注数学问题可分为结构良好问题和结构不良问题，前者是初始状态、目标状态和解决问题的方法与途径都很明确的问题，而后者是这三者中至少有一个没有明确界定的问题 结构不良问题并不是这个问题本身有什么错误或是不恰当，而是指它没有明确的结构、要求或解决的途径 数学科结构不良问题的主要特征有：（1）问题条件或数据部分缺失或冗余；（2）问题目标界定不明确；（3）具有多种解决方法、途径；（4）具有多种评价解决方法的标准；（5）所涉及的概念、规则和原理等不确定 学生学习中常见的试题一般都是结构良好的试题，条件不多不少，需要解决的问题目标明确，有规范的思路和解法 然而现实生活和职业生涯中的问题多是结构不良型，解决结构良好与不良这两类问题所需要的技巧和能力有所不同，也就是说可以出色地解决课堂上的结构良好问题并不能保证可以成功地解决现实生活中的结构不良问题 结构不良试题具有条件模糊、解决方案多样、结果开放等特点，其解决过程能有效激发学生求知欲、帮助学生多角度把握问题本质、追寻知识背后的价值、形成跨学科综合解决问题的关键能力因此，解决结构不良试题对考查学生的素养和能力，发挥考试的选拔功能、促进学生素养的养成和能力的提升具有深远意义 2022 年 4 月颁布的 义务教育课程方案（2022年版）强调突出学科思想方法和探究方式的学习，加强知行合一、学思结合，倡导“做中学”“用中学”“创中学”在教学实践中，可以尝试设计具有2023年第6期 福建中学数学 37 综合性、开放性的创新型试题，如结构不良试题、多选题、探究题等注意设置障碍，让学生从不同角度、不同途径去设想，虽然没有现成的解题套路可用，但却可以用基本思想和基本方法求解从而为学生提供多维思考空间，拓展思维广度，促进交流合作，激发创新能力，提高合作能力运用试题的开放性、综合性培养和提升学生的“四基”“四能”当前，结构不良试题在高考中占据的比例越来越高，出现的频次也越来越多，符合新高考改革的教育发展要求同时，这类问题在 2022 年 4 月颁布的义务教育数学课程标准（2022 年版）的精神指导下，将会受到中考命题者的更多关注和青睐，成为今后中考命题的新趋势 2 高考和中考命题趋势中结构不良试题的类高考和中考命题趋势中结构不良试题的类型和解题策略型和解题策略 在问题初始状态、目标状态和问题解决模式这三个要素中，局部加入不确定性，使问题呈现结构不良的属性，以满足在有限时间内实现对学生数学水平考查的要求，故高考试题中结构不良试题有以下四种常见类型，中考也会在相对应的四种类型呈现此类试题的命题趋势 2.1 已知条件不明确的结构不良试题已知条件不明确的结构不良试题 例例 1（2022 年高考北京卷17）如图 1，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCC B为正方形，平面11BCC B平面11ABB A，2=ABBC，M N，分别为11AB AC，的中点（）求证：/MN平面11BCC B；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值 条件：ABMN；条件：BMMN=注 如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 图 1 解题分析解题分析 试题以直三棱柱为背景考查线面关系，第问给出了两个等价条件，让学生从位置和度量两个方面进行选择，已知条件不明确，但目标结论明确唯一，增强了试题的灵活性，重点考查空间线面位置关系的转化和向量坐标运算的优势 不论选择哪一个条件作为已知，都需要先通过严谨的逻辑推理进行空间线面位置的转化，才能推出1AB BC BB，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算使问题得以解决相比较条件，选择条件作为已知，推理转化会比较容易 例例 2（中考模拟试题）如图 2，AB为圆O的直径，射线OC交圆O于点P，连接AP BP，=POB请你从以下三个选项中选择适当个数的选项作为条件，求cos A的值 2.5=AO；3=BP；24cos7=（说明：选择的条件个数越少，得分越高）用直尺和圆规在AB的延长线上找一个点M，使PM与圆O相切（保留作图痕迹）图 2 解题分析解题分析 题设虽然给出了三个备选条件，但是条件选择多少直接决定求解过程难易程度，同时影响得分高低 试题所考查的基础知识与基本技能都是学生应该具备的，只是在特定的问题情境中考查学生应用已有知识经验灵活解决实际问题的关键能力 学生需要从更高的视角综合研判并选择不同的条件解决既定问题的路径，进而实现对试题的解答，学生的综合能力发展水平主要由解答试题的效率进行客观反应若选择条件，则可根据半径相等和勾股定理求出PA，再根据三角函数求得4cos5=A若选择条件，则可以先根据正切假设未知数，结合勾股定理求得710=OH，因此AH=165，4=AP，然后应用三角函数得4cos5=A若只选择条件，则需要先假设未知数表示7=OHx，利用三角函数用x表示24=PHx，再根据勾股定理表示出25=OPx，因此40=PAx，最后根据三角函数求得4cos5=A只选一个条件的得分最高，但对数量关系的表示要求较高 选择三个选项作为条件N B M A 1A1BC1C H P B O A 38 福建中学数学 2023年第6期 求解，条件重复，并且得分将进一步降低 解题策略解题策略 已知条件不明确的结构不良试题多以问题的条件缺失和条件冗余两种方式呈现，需要学生结合问题情境补充或者选择合理的条件甚至需要对条件信息进行加工处理才能完成对既定问题的解答 2.2 目标不明确的结构不良试题目标不明确的结构不良试题 例例 3（2022 年高考新课程卷14）写出与圆221+=xy和22(3)(4)16+=xy都相切的一条直线的方程 解题分析解题分析 试题是已知两圆求其公切线的直线方程问题，依题意两圆外切，所以有一条内公切线和两条外公切线，故此题条件明确，目标不明确，结论开放，结果是从三条公切线任选其一内公切线可由两圆方程联立方程组消去二次项，得到内公切线的方程为3450+=xy；由图易知1=x是一条外公切线，1=x和两圆的连心线交于4(1)3，设另一条外公切线直线方程为4(1)3+=+yk x，由圆心(0 0)，到切线的距离等于 1 可得724=k，从而可得另一条外为公切线724250=xy 例例 4（中考模拟试题）如图 3，ABC和ECD都是等边三角形，且B C D，三点共线，连接BE AD，则有结论：=BEAD；=EBCDAC；=EBCADE请你在中任选一个结论并证明 图 3 解题分析解题分析 试题以两个等边三角形构成图形，条件很明确，结论是中的任何一个，所以目标不明确结合等边三角形的几何性质，存在一线三等角模型，易证BCEACD，从而得，由等边三角形得=ACBEDC，所以/ACDE，得=CADEDA，结合，等量代换之后得到 解题策略解题策略 对于已知条件明确目标不明确的结构不良试题，需要学生以明确的条件为依据，在分类讨论的基础上综合研判问题结果的所有情况，根据自己的能力水平选择思路简单、运算量小、易得分的某一种结论解答即可 2.3 已知条件和目标都不明确的结构不良试题已知条件和目标都不明确的结构不良试题 例例 5（2022 年高考新课程卷21）已知双曲线2222:1(00)xyCabab=，的右焦点为(2 0)F，渐近线方程为3=yx（）求C的方程；（）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A B，两点，点11()P x y，22()Q xy，在C上，且12xx 0，10y，过P且斜率为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点请从下面中选取两个作为条件，证明另一个条件成立：M在AB上；/PQAB；|=MAMB 注注 若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分 解题分析解题分析 试题以双曲线为背景，考查解析几何的思想和方法，理性思维突出，对逻辑思维能力和运算能力要求较高，难度较大第问给出三个条件，要求从中选取两个作为已知条件，证明另一个条件成立，故共有三种选法，有效增强了试题的开放性，给学生提供了选择的自由度和发挥空间，有利于对学生思维水平和创新能力的考查 例例 6（中考模拟试题）如图 4，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D在AB的延长线上，且=CADD，给出下列三个信息：1sin2=CAB；=BOBD；DC是圆O的切线 图 4（1）请在信息或中选择一个作为条件，剩下的两个信息中选择一个作为结论，组成一个真命题 你选择的条件是 ，结论是 （只填序号）；（2）证明（1）中你写的真命题 注注 若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分 解题分析解题分析 试题以圆为背景，考查三角形特殊角的三角函数及角的数量关系，问题相对简单，重点抓住特殊角，题目给出三个条件，要求从中选取一个作为已知条件，其它两个中一个作为结论构成一个命题，并证明命题成立，故共有四种选法 E A B CD D OB A C 2023年第6期 福建中学数学 39 解题策略解题策略 已知条件和目标都不明确的结构不良试题可以采取条件开放和结论开放的形式构建，为试题的初始状态和最终状态呈现不确定性 因为这类试题的条件、结论都不确定或不太明确，由学生根据要求做出条件和结论的选择，确定条件和结论后进行作答即可这类问题入口宽阔，但对考生快速判断、识别和选择能力要求较高问题解决的难度较大，更能反映学生灵活应用已有知识经验在新的问题情境中解决实际问题的综合能力 2.4 问题解决模式不明确的结构不良试题问题解决模式不明确的结构不良试题 例例 7（2020 年高考全国卷理 12）若2a+24log42logbab=+，则（）A2ab B2ab D2fbf a，即(2)()fbf a，且函数()f x=22logxx+是(0)+，上的增函数，所以20ba，故选 B当然，还可以考虑指对数的化归与转化进行讨论最终得出答案 例例 8（中考模拟试题）已知a b，满足211+=aa，211+=bb，则2022=a b 解题分析解题分析 条件给了两个结构相同的等式，等式左边是二次式，右边是分式，没有其它条件如果学生仅凭题目的表面结构，将其转化为三次方程的思路去解，显然不会解因此，此题解题模式和途径不明确、不熟悉，可观察等式结构，联想、转换思维角度，把方程转化为函数的思想去解决等式左边看作二次函数，右边看作反比例函数，即21x+1x=，条件就转化为同一坐标系中二次函数和反比例函数交点的横坐标问题，画出两个函数的图象，易知，两个图象只有一个交点，可得方程只有一个解，所以=ab，即0=ab，故20221=a b 解题策略解题策略 试题解决模式不明确指的是由于试题中所给的信息较多，而且对即将解决的试题没有熟悉的或可供参考的解决方案，需要学生结合具体问题筛选有用的信息拟定问题解决路径，从而实现对问题的解答此类试题在创制时，问题的初始状态往往以学生熟悉的内容为基础，但常立足于知识交汇，体现数学思维的创新性，由于试题的呈现方式较为新颖，难度处于中等偏上当知识的联结和解题模式超出学生既有的经验时，解决试题的操作模式就会变得模糊和不确定，需要学生创造性地建构解题路径，探寻解题的方法 3 教学启示教学启示 结构不良型试题是由传统的“探究型”问题和“开放型”问题相结合而成，探究型问题通过对问题的剖析，经过观察、实验、分析、比较、类比、推断和猜测等活动来探索解题思路，开放型试题是与条件结论的“封闭性”相对而言，其开放性主要体现在问题的答案不唯一 而结构不良型试题恰能体现这两种题型的特征，这类试题形式新颖，思想丰富，构思巧妙，能够很好地实现对学生数学品质的考查，将会成为中考命题的新趋势和新方向 对于解决结构不良的数学试题，需要重构试题给出的信息，对试题进行充分的表征和分析，探寻问题解决的路径，树立评价意识，要随时对解题路径的设计规划、解题操作、最终效果进行评估在这个过程中，学生既是一名问题解决方案的设计者，也是一个问题解决的操作者应用场景多元、思考方式多元、解决方法多元、结论多元、评价多元，决定了合理运用结构不良试题，对学生的数学问题解决模式的学习、认知与元认知能力提升、数学核心素养的提升、创造性才能的培养都是十分有利的 特别是在高考和今后的中考中运用的结构不良试题，能发挥出许多结构良好试题所不具备的优势，更为深入地评价学生在问题解决过程中的判断能力、思辨能力、创新能力、探究能力，促进学生形成应对未来的生活和挑战的数学素养 参考文献参考文献 1任子朝，赵轩 数学考试中的结构不良问题研究J 数学通报，2020，59（2）：1-3 2刘海龙，徐辉，傅海伦结构不良数学问题的特征、应用及教学逻辑J教学与管理，2021（3）：59-62 3陈英杰，赵成海例谈结构不良试题的编写策略J中学数学研究（华南师范大学版），2022（1 下）：31-34 4唐明超 结构不良数学试题的考查形式与命题逻辑J 中学教研（数学），2021（10）：37-41