汇率衍生品多因子定价模型.pdf
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1、经济管理学刊 汇率衍生品多因子定价模型 王寒,北京大学光华管理学院,;李辰旭(通信作者),北京大学光华管理学院,。作者感谢国家自然科学基金面上项目()、北京大学与中债金融估值中心有限公司联合研究项目“基于利率和汇率的衍生品多因子定价模型”、北京大学光华管理学院、北京大学统计科学中心、北京大学中央高校基本科研业务费、北京大学数量经济与数理金融教育部重点实验室、北京大学高性能计算平台对本文研究的支持。作者感谢匿名审稿人和编辑部的宝贵意见,当然文责自负。王 寒 李辰旭摘 要:汇率是非常重要的宏观变量之一,在如今中国经济加速与世界融合的大背景下,汇率金融衍生品是兼顾投资、保值和规避风险等较为全面功能的
2、交易品种。本文紧密联系当前国际上关于汇率随机模型研究的前沿理论,创新性地在仿射模型框架下提出将汇率和利率共同建模并引入汇率的随机波动率与跳跃,推导了本国零息债券价格的解析解、外国零息债券价格的解析解和基于傅里叶变换的汇率欧式期权价格的半解析解,这对于中国汇率衍生品定价的协调一致性与风险管理有着非常重要的意义。同时,使用最小化损失函数的方法进行参数校准,并利用蒙特卡洛模拟验证了方法的有效性,进而作为例子将其应用到人民币美元汇率期权的实证数据中,得到了参数校准的结果。关键词:汇率;利率;随机波动率模型;隐含波动率;蒙特卡洛模拟中图分类号:分类号:;一、引言汇率作为国家货币对外的价格表现,是中国宏观
3、经济运行中至关重要的一部分。在宏观方面,汇率具有连接货币市场、外汇市场和宏观经济的功能,对个人和企业的储蓄、信贷和投资等行为都能产生重要影响;在微观方面,汇率则是资产定价、衍生产品设计、风险管理、套利以及投机等行为的重要基准和标的。随着中国金融市场的全面开放、人民币可自由兑换进程逐步推进,货币市场、资本市场和外汇市场的联系日趋紧密,使得汇率和其他经济变量之间相互作用、相互影响,构成一个复杂的动态反馈系统。同时,在如今经济全球化的大背景下,外汇衍生品作为一种常见的衍生工具,是一种兼顾投资、保值和规避风险等较为全面功能的交易品种。相对于国外成熟的衍生品市场及其运行机制,中国在此方面还处在起步阶段。
4、例如,经济管理学刊 第 卷目前汇率金融衍生品种类还比较有限,远远不能满足市场需求。鉴于这一现状,发展中国衍生品市场势在必行,而其核心即是深入研究衍生品定价原理并将其实现。特别地,结合本文的目标,对汇率衍生品进行正确地定价不仅可以防范跨国企业的收益风险,还可以在外汇市场中获得投资收益,为中国企业和机构参与国际金融市场竞争提供重要的基础和有力的工具,为投资者的投资决策、风险管理提供科学合理的参考,在中国金融市场蓬勃发展的进程中具有十分重要的现实意义。因此,本文将紧密联系当前国际上关于汇率随机模型研究的前沿理论,旨在构建表现卓越、可实际应用的汇率衍生品定价模型和方法。在成熟市场及学术前沿较为常用汇率
5、模型的发展初期,大多采用几何布朗运动类模型来对汇率进行建模,同时假设利率为常数,例如简单的 模型(,),这也恰好是几何布朗运动类模型的好处。虽然这个框架和公式过于简单,但已成为汇率期权隐含波动率的计算工具。另一种使用更为广泛的模型即是随机波动率模型。作为对 模型的推广,随机波动率模型已经发展成为对隐含波动率曲面建模的主要工具。当前金融经济学领域存在大量关于随机波动率模型的研究文献。最早的尝试始于 模型及其推广得到的局部波动率模型,后者假设波动率的随机性是由随机资产价格引起的,如()和 ()。在单因子随机波动率模型中取得革命性进展的研究包括 ()、()、()、()、()、()和 (),这些模型已
6、经成为行业实践和学术研究中的标准。作为一种推广,在随机波动率模型中加入跳跃项进一步优化了随机波动率模型在实证研究中的表现,尤其体现在对到期期限极短的期权进行定价上。已有不少研究对这一现象进行了深入分析,如 ()、()、()、()、()、()和 ()。近年来,越来越多的研究通过对资产价格和(或)其衍生品价格的拟合,为多因子随机波动率模型提供了实证支持,相关的研究包括()、()、()、()和 ()。特别是,多因子随机波动率模型的优点不仅仅在于其对复杂汇率金融产品出色的定价能力,还在于其在分析对冲时的便利性。考虑更多因素的模型往往是在上述模型的基础之上进行演变完善而得到的,而在构建汇率随机模型时对利
7、率进行恰当的建模同样至关重要。在 ()和 ()中,作者提出了新颖的随机波动率结合跳跃项的 模型,但仍设定利率为常数。虽然恒定利率的假设让汇率模型比较容易推导和计算,但实证数据表明这些模型在反映汇率及其衍生品市场具体情况时仍有欠缺,尤其是对于到期时长较长的汇率衍生品定价来说,利率和汇率都非常重要,显然恒定利率的假设不再适用。而 ()在 ()的第 期 王寒,李辰旭:汇率衍生品多因子定价模型基础上引入了随机利率,并假设所有过程均相关,但由于其中的过程均基于高斯过程,全相关的设定下仍能较为容易地进行期权价格的推导与计算。相比之下,当利率过程为 过程(,)或者 过程(,)时,如 ()、(,)、()和 (
8、),全相关则会导致难以计算期权价格,需要对模型进行简化。国内关于外汇衍生品市场、政府及企业风险管理需求也有较多研究。郭飞()、冯帆和黄翌飘()均认为中国制造业公司使用外汇衍生品对冲汇率风险能够产生正向的价值效应;刘志洋和孟祥璐()、斯文()指出商业银行对外汇衍生品的使用能够有效缓解汇率波动的负面影响;张依然()和乔兵等()指出国际经济贸易和中资企业集团面临大量外汇风险,认为需要使用外汇衍生品进行风险管理;王伟等()、王盼盼等()、徐娟和杨亚慧()指出“”汇改后人民币汇率波动上升,定价权逐渐向离岸市场转移;尹力博和韩立岩()介绍了汇率期权套保策略;徐根新()给出了 利率模型下的外汇期权定价公式;
9、路秀玲等()给出了正态跳扩散模型下的外汇期权定价公式。汇率建模的重点在于提升模型对于隐含波动率曲面()的实证拟合效果,从而更好地应用到中国外汇市场的建设当中。本文的目标是对汇率和利率进行联合建模,推导欧式期权价格的解析公式并测试其实证拟合效果。在本文的模型中汇率与其波动率过程是将 模型(,)进行了拓展,在汇率过程中引入了跳跃项;国内外利率过程均使用两因子随机利率模型()(,)。本文的模型包含了三个重要的实证特征:汇率与其波动率存在相关性、汇率过程中有跳跃的情况存在以及随机的利率过程。它们对于到期时长较长的复杂汇率衍生品的开发大有裨益,有助于中国汇率衍生品产品品种的拓宽。其中要注意的是,本文需要
10、考察汇率及其波动率与国内外利率的关联性,此时模型中有四个过程,如果让两两之间都相互关联,那么模型过于复杂,因此需要合理地对关联系数矩阵进行假设,本文设定国内外利率与汇率及其波动率之间不存在相关性。选择这样建模的原因一是相关实证数据的支持,二是可以在此类模型下推导各种相关衍生品的价格的解析公式,从而通过傅里叶变换方法高效地实现衍生品价格的计算,进而高效地完成模型的实证参数校准。这项工作的重点是保证公式实现中的精度、效率和稳定性,这一点可以通过与基于蒙特卡洛模拟产生的价格进行比对校验来测试。对于什么样的模型是一个好的汇率随机模型也有十分广泛的讨论。有些观点认为,一个成功的汇率随机模型应该能够生成合
11、适的隐含波动率曲面(关于对数价格状态和到期期限),其应与市场数据在某些定性特征上相一致;而另一种观点认为,经济管理学刊 第 卷一个成功的汇率随机模型应该能够生成和观测到与市场价格相近的衍生品的模型价格,往往通过数值优化与拟合优度或与差异相关的量,并通过信息准则去筛选模型。本文就是基于第二种观点,使用汇率期权价格、汇率期权隐含波动率、零息债券收益率等构建损失函数,通过数值优化方法来进行汇率模型参数的校准。本文具有重要的理论意义和现实意义。从理论层面来说,本文在仿射模型框架下构建了包含随机利率、随机波动率和跳跃的随机汇率模型,推导了本国零息债券价格的解析解、外国零息债券价格的解析解和基于傅里叶变换
12、的汇率欧式期权价格的半解析解,并提出了有效的参数校准方法。特别地,本文构建的模型相比于文献中的随机汇率模型考虑了更加全面的因素,具有一定的完整性和协调一致性等优点。从现实层面来说,作为实证应用举例,本文使用了人民币和美元的真实市场数据校准模型,结果表明本文构建的模型既可以很好地刻画债券市场的利率期限结构,也可以较好地捕捉汇率衍生品市场的隐含波动率曲面特征,在如今经济全球化的大背景下,本文构建的模型能够为政府和企业的利率和汇率风险管理提供强有力的支持。余文结构安排如下:第二部分介绍汇率利率联合模型,即在汇率模型中引入随机波动率和跳跃项的同时使用两因子随机利率()模型对利率进行建模的四因子模型,及
13、其零息债券价格公式和期权价格公式,并介绍了汇率期权的隐含波动率;第三部分介绍汇率利率联合模型参数校准的方法,使用蒙特卡洛模拟对其进行有效性检验;第四部分使用上述方法和人民币美元汇率期权市场的实证数据,对模型进行参数校准并分析相关结果;第五部分为结论与展望;附录部分包含了四因子模型下零息债券价格和期权价格的证明等内容。二、汇率利率联合模型与隐含波动率(一)汇率利率联合模型介绍在概率空间()中,汇率过程为(),其波动率过程为(),本国利率过程为(),外国利率过程为(),它们服从于如下汇率四因子模型:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()此时模型
14、中有四个过程,如果让它们两两之间都相互关联,那么模型过于复杂,第 期 王寒,李辰旭:汇率衍生品多因子定价模型因此需要合理地对关联系数矩阵进行假设。本文设定国内外利率与汇率及其波动率之间不存在相关性、汇率与其波动率之间存在相关性,即假设其中()、()、()、()表示四个独立的一维标准布朗运动,选择这样的假设也得到了相关实证数据的支持,相关性实证检验见附录;()()()是复合泊松过程,()服从强度密度为 的泊松过程,服从均值为、方差为 的正态分布,。由于模型中含有随机利率过程,我们需要推导相关零息债券(到期日现金流为,其余时间没有现金流)的价格。对于本国零息债券价格有如下定理:定理 在汇率四因子模
15、型()及相关假设下,本国零息债券的价格公式为:()()()()()其中()()()()()()()()()对于外国零息债券价格有如下定理:定理 在汇率四因子模型()及相关假设下,外国零息债券的价格公式为:(,)()(,)(,),()其中(,)()()()(,)()()()()经济管理学刊 第 卷对于欧式期权价格有如下定理:定理 在汇率四因子模型()及相关假设下,欧式看涨期权的价格公式为:(,)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()其中()()();()()()()()()()()()()()()其中()()()()()()()()()()()()(
16、)()()()()()其中()()()()()()()第 期 王寒,李辰旭:汇率衍生品多因子定价模型价格公式的推导过程与校验见附录。(二)汇率模型的隐含波动率作为一种重要而且方便的对期权价格的度量,隐含波动率在学术界和工业界都有广泛的使用,它的定义是将当前的期权价格代入 模型的期权价格公式反推出来的波动率数值。回顾 模型如下:()()()()()()在 模型下,欧式看涨期权价格公式为:()()()()()其中()()()()()()进而可以得到隐含波动率:()()()其中,为观测到的看涨期权价格。当然也可以使用看跌期权计算隐含波动率,计算方式与看涨期权类似。给定当前汇率(),对于不同的执行价格
17、和到期期限(),可以计算出不同的隐含波动率(),进而得到一个隐含波动率曲面。在实际应用中要注意的是,市场上对于不同到期期限的期权所使用的利率数据并不是统一的,也即上述公式中的 和 应当写为()和(),它们的相关数据可以从彭博金融数据终端查得。三、汇率利率联合模型参数校准这一部分主要介绍对上文所提到的模型进行参数校准的方法,即使用损失函数进行校准,并对其有效性进行检验。(一)使用损失函数进行参数校准对于上文介绍的模型而言,使用最小化损失函数来校准参数 是最常见的做法。本文进行参数校准的思路是先使用不同到期日的本国债券价格()校准出本国利率过程()的参数,再使用不同到期日的外国债券价格()校准出外
18、国利率过程()的参数,最后使用不同到期日、不同执行价格的汇率期权数据校经济管理学刊 第 卷准出汇率过程的参数。每一步中都是通过使用最小化损失函数来校准参数。1.校准本国利率过程的参数首先校准出本国利率过程()的参数。下面为了简化叙述,使用“利率”代替“本国利率”、“债券”代替“本国债券”。我们通过最小化市场债券收益率(由市场价格计算出的债券收益率)和模型债券收益率(由模型价格计算出的债券收益率)之间的误差来校准参数,这样得到的参数 可以使得市场债券收益率和模型债券收益率较为接近,能够更好地刻画市场特征。在 时刻,债券市场上有 个到期时间:(),对于每一个到期日 市场上存在对应的债券价格(),同
19、时可以使用给定参数的模型(根据债券价格计算公式可以看到此时只需要给定)计算出模型债券价格(;),债券价格计算公式见定理。进而可以计算相关的债券收益率,债券收益率定义为将当前的债券价格代入复利计算公式反推出来的收益率数值。回顾复利计算公式:()()进而可以得到债券收益率:()()其中,为观测到的对应的市场或模型债券价格。进而,对于每一个到期日,我们都可以将对应的市场债券价格、模型债券价格代入上述债券收益率计算公式中,得到 和 ,即市场债券收益率曲线和模型债券收益率曲线。写出损失函数,即市场债券收益率和模型债券收益率之间的均方误差:()()()从而参数校准的优化问题可以写作:()()同时对于这个优
20、化问题需要给出参数 的初值和可行范围(视具体市场情况和模型设置而定),通过解决此优化问题便可实现参数校准。2.校准外国利率过程的参数接下来校准出外国利率过程()的参数。下面为了简化叙述,使用“利率”代替“外国利率”、“债券”代替“外国债券”。我们通过最小化市场债券收益率和模型第 期 王寒,李辰旭:汇率衍生品多因子定价模型债券收益率之间的误差来校准参数,这样得到的参数 可以使得市场债券收益率和模型债券收益率较为接近,能够更好地刻画市场特征。在 时刻,债券市场上有 个到期时间:(),对于每一个到期日,市场上存在对应的债券价格(),同时可以使用给定参数的模型(根据债券价格计算公式可以看到此时只需要给
21、定)计算出模型债券价格(;),债券价格计算公式见定理。进而可以计算相关的债券收益率,债券收益率定义为将当前的债券价格代入复利计算公式反推出来的收益率数值。回顾复利计算公式:()()进而可以得到债券收益率:()()其中,为观测到的对应的市场或模型债券价格。进而,对于每一个到期日,我们都可以将对应的市场债券价格、模型债券价格代入上述债券收益率计算公式中,得到 和 ,即市场债券收益率曲线和模型债券收益率曲线。写出损失函数,即市场债券收益率和模型债券收益率之间的均方误差:()()()从而参数校准的优化问题可以写作:()()同时对于这个优化问题需要给出参数 的初值和可行范围(视具体市场情况和模型设置而定
22、),通过解决此优化问题便可实现参数校准。3.校准汇率过程的参数最后使用期权数据来校准汇率过程的参数。在这一步中,我们将前两步校准出的参数、作为已知参数来进行使用。接下来,通过最小化市场隐含波动率(由市场价格计算出的隐含波动率)和模型隐含波动率(由模型价格计算出的隐含波动率)之间的误差来校准参数,这样得到的参数 可以使得市场隐含波动率和模型隐含波动率较为接近,能够更好地刻画市场特征。在 时刻,观测到标的价格为(),同时在期权市场上有 个到期时间:()和 个执行价格:(),对于每一个到期日和执行价格的组合经济管理学刊 第 卷(),市场上存在着对应的看涨期权价格()、看跌期权价格(),同时可以使用给
23、定参数的模型计算出模型看涨期权价格(;)、模型看跌期权价格(;),看涨期权价格计算公式见定理,看跌期权价格可以通过看跌看涨平价公式计算得到。进而可以按照前文计算相关的隐含波动率,对于每一个到期日和执行价格的组合(),我们都可以将对应的市场期权价格、模型期权价格代入上述隐含波动率计算公式中,得到 ()和 ();),即市场隐含波动率曲面和模型隐含波动率曲面。写出损失函数,即市场隐含波动率和模型隐含波动率之间的均方误差:()()()从而参数校准的优化问题可以写作:()()同时对于这个优化问题需要给出参数 的初值和可行范围(视具体市场情况和模型设置而定),通过解决此优化问题便可实现参数校准。在实际操作
24、中,我们使用 的 函数来进行优化。(二)使用蒙特卡洛模拟进行有效性检验1.使用蒙特卡洛模拟生成时间序列数据回顾四因子模型,首先对于模型参数赋予一组初值(真值),并给出适当的离散时间间隔。具体来说,汇率过程使用和 ()相同的参数,本国和外国的利率过程分别使用 ()和 ()所介绍的参数,令 ();();()(),并令 ,独立的随机正态变量(标准布朗运动的增量)()()()()()()()()()和()()()都服从(,)()()()()是复合泊松过程,()服从强度密度为 的泊松过程。根据欧拉()方法,我们可以将四因子模型离散化为如下形式。对于本国利率:()()()()()()对于外国利率:()()
25、()()()()第 期 王寒,李辰旭:汇率衍生品多因子定价模型对于随机波动率:()()()()()()()对于标的价格的模拟,我们将其先变为对对数标的价格()()的模拟,根据伊藤公式:()()()()()()()()然后,通过关于此式的欧拉方法:()()()()()()()()()根据()()就可以得到标的价格的模拟数据。通过数据模拟我们会生成 个数据点,即标的价格序列()、瞬时方差序列()、瞬时本国利率序列()和瞬时外国利率序列()都有 个时刻。在得到标的价格、随机波动率、本国利率和外国利率的时间序列后,我们可以对每个时刻生成本国债券价格和对应的本国债券收益率数据、外国债券价格和对应的外国债
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