2023年广东省番禺区中考一模数学试题（含答案）.pdf

第 1页/共 24页学科网（北京）股份有限公司2023 年年九九年年级级数数学学学学科科综综合合测测试试题题番番禺禺区区一一模模一一、选选择择题题（本本大大题题共共 10 题题，共共 30 分分）1.如图，若点 A，B，C 所对应的数为 a，b，c，则下列大小关系正确的是（）A.abc B.bca C.acb D.acb 【答案】B【解析】【分析】从数轴得出0bca abc ，据此判断即可【详解】解：由题意可知，0bca ，且abc，bca，故选项 A 不合题意；acb，故选项 B 合题意；abc ，故选项 C 不合题意；cba，故选项 D 符合题意故选：B【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数2.下列计算正确的是（）A.222B.222()C.222 D.382【答案】A【解析】【分析】直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质分别化简，进而判断得出答案【详解】解：A2224，故此选项符合题意；B2(2)42，故此选项不合题意；C2224，故此选项不合题意；D382 ，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键3.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）第 2页/共 24页学科网（北京）股份有限公司A.1B.2C.3D.5【答案】D【解析】【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解【详解】解如图，一共有 5 条对称轴故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键4.要使分式12x有意义，x 的取值应满足（）A.0 x B.2x C.2x D.2x 【答案】B【解析】【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案【详解】解：分式12x有意义，20,x 2.x 故选：.B【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A.14B.13C.12D.34第 3页/共 24页学科网（北京）股份有限公司【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【详解】解：画树状图得：共有 4 种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有 1 种情况，第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键6.若点1235,1,5,AyByCy都在反比例函数5yx 的图象上，则123,y yy的大小关系是（）A.123yyyB.231yyyC.132yyyD.312yyy【答案】B【解析】【分析】将 A、B、C 三点坐标代入反比例函数解析式，即求出123、yyy的值，即可比较得出答案【详解】分别将 A、B、C 三点坐标代入反比例函数解析式得：1515y 、2551y 、3515y 则231yyy故选 B【点睛】本题考查比较反比例函数值掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键7.若关于x的一元二次方程20 xxm有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A.4B.14C.14D.4【答案】C【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于 m 的方程，解答即可第 4页/共 24页学科网（北京）股份有限公司【详解】一元二次方程20 xxm有两个相等的实数根，=0，2140m，解得14m，故 C 正确故选：C【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键8.如图，在边长为 6 的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A.9B.6C.6D.9【答案】A【解析】【分析】设AC与半圆交于点 E，半圆的圆心为 O，连接BEOE，证明BECE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则ABEABCBCESSSS阴影116 66 3922 【详解】解：设AC与半圆交于点 E，半圆的圆心为 O，连接BEOE，四边形ABCD是正方形，45OCE，OEOC，45OECOCE，90EOC，OE垂直平分BC，第 5页/共 24页学科网（北京）股份有限公司BECE，弓形BE的面积=弓形CE的面积，ABEABCBCESSSS阴影116 66 3922 故选：A【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键9.如图，在ABC中，120BAC，将ABC绕点 C 逆时针旋转得到DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E，连接AD当点 A，D，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A.BBCDB.CBCDC.DEDCBCD.90BCDADC【答案】A【解析】【分析】由旋转的性质可得120EDCBAC，ACDC，BCEC，证明ADC是等边三角形，得到60ACD，进一步证明ABCD，即可判断 A；根据大角对大边即可判定 B；根据三角形三边的关系即可判断 C；根据现有条件无法证明90BCDADC，即可判断 D【详解】解：由旋转的性质可得120EDCBAC，ACDC，BCEC，当 A，D，E 共线时，则60ADC，ADC是等边三角形，60ACD，180BACACD，ABCD，BBCD，故 A 符合题意；120BAC，BCCACD，故 B 不符合题意；DEDCCE，第 6页/共 24页学科网（北京）股份有限公司DEDCBC，故 C 不符合题意；根据现有条件无法证明90BCDADC，故 D 不符合题意；故选 A【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形三边的关系，证明ADC是等边三角形是解题的关键10.如图，菱形ABCD中，60,2BAB动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线BAAC运动到点 C，同时动点 Q 从点 A 出发，以相同速度沿折线ACCD运动到点 D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止设APQ的面积为 y，运动时间为 x 秒则下列图象能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质可证ABC 和 ADC 都是等边三角形，可得 AC=AB=2，BAC=60=ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求 y 与 x 之间函数关系，由二次函数的性质可求解【详解】当02x时，如图 1，过点 Q 作QHAB于点 H，第 7页/共 24页学科网（北京）股份有限公司由题意得BPAQx，菱形ABCD中，60,2BAB，2,60ABBCCDADBD，ABC 和 ADC 都是等边三角形，2,60ACABBACACD，sinHQBACAQ，3sin602HQAQx，APQ的面积21333(2)(1)2244xyxx，当24x时，如图 2，过点 Q 作QNAC于点 N，由题意得2APCQx，3sin2NQACDCQ，3(2)2NQx，APQ的面积2133(2)(2)(2)224yxxx，第 8页/共 24页学科网（北京）股份有限公司该图象开口向上，对称轴为直线2x，24x时，y 随 x 的增大而增大，当4x 时，y 有最大值为3故选：A【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键二二、填填空空题题（本本大大题题共共 6 题题，共共 18 分分）11.若6x 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_【答案】6x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解【详解】解：根据题意得：60 x，解得：6x 故答案为：6x【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键12.分解因式：2xyx_【答案】11x yy【解析】【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案【详解】2xyx21x y11x yy故答案为：11x yy【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解13.随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占 0.0000007(毫米2)，这个数用科学记数法表示为_【答案】7107【解析】第 9页/共 24页学科网（北京）股份有限公司【详解】考点：科学记数法表示较小的数分析：科学记数法就是将一个数字表示成（a10 的 n 次幂的形式），其中 1|a|10，n 表示整数即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以 10 的 n 次幂本题 0.000 000 71 时，n 为负数解：0.000 000 7=710-7故答案为 710-714.在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为2s1.45甲，2s0.85乙，则考核成绩更为稳定的运动员是_（填“甲”、“乙”中的一个）【答案】乙【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解【详解】解：2s1.45甲，2s0.85乙，0.85 1.45，且平均成绩相同射击成绩较稳定的运动员是乙，故答案为：乙【点睛】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定15.把光盘、含60角的三角板和直尺如图摆放，光盘与直尺和三角板的一边相切，若2AB，则光盘的直径是_【答案】4 3【解析】【分析】如图，OAAB，ODBD，由切线长定理可得18060602OBAOBD，则tan2 3AOABOBA，进而可得光盘的直径【详解】解：如图，OAAB，ODBD，第 10页/共 24页学科网（北京）股份有限公司由切线长的性质可得18060602OBAOBD，tan2 3AOABOBA，光盘的直径为4 3，故答案为：4 3【点睛】本题考查了切线长定理，正切函数的定义解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用16.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点,A x y，我们把点1 1,Bx y称为点 A 的“倒数点”如图，矩形OCDE的顶点 C 为3,0，顶点 E 在 y 轴上，函数20yxx的图象与DE交于点 A 若点 B 是点 A 的“倒数点”，且点 B 在矩形OCDE的一边上，则OBC的面积为_【答案】14或32【解析】【分析】根据题意，点 B 不可能在坐标轴上，可对点 B 进行讨论分析：当点 B 在边 DE 上时；当点 B在边 CD 上时；分别求出点 B 的坐标，然后求出OBC的面积即可【详解】解：根据题意，点1 1,Bx y称为点,A x y的“倒数点”，0 x，0y，点 B 不可能在坐标轴上；第 11页/共 24页学科网（北京）股份有限公司点 A 在函数20yxx的图像上，设点 A 为2(,)xx，则点 B 为1(,)2xx，点 C 为3,0，3OC，当点 B 在边 DE 上时；点 A 与点 B 都在边 DE 上，点 A 与点 B 的纵坐标相同，即22xx，解得：2x，经检验，2x 是原分式方程的解；点 B 为1(,1)2，OBC的面积为：133 122S ；当点 B 在边 CD 上时；点 B 与点 C 的横坐标相同，13x，解得：13x，经检验，13x 是原分式方程的解；点 B 为1(3,)6，OBC的面积为：1113264S ；故答案为：14或32【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析三三、解解答答题题（本本大大题题共共 9 题题，共共 72 分分）17.解不等式组2153(1)xxx，并将解集在数轴上表示出来【答案】1x ，图见解析【解析】【分析】先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示即可第 12页/共 24页学科网（北京）股份有限公司【详解】解：21531xxx，解得，3x ；解得，1x ；不等式组的解集是1x ；解集在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集解题的关键在于正确的运算求解18.如图，点 E、F 在线段 BC 上，/ABCD，AD，BECF，证明：AEDF【答案】见解析【解析】【分析】利用 AAS 证明ABEDCF，即可得到结论【详解】证明：/ABCD，B=C，AD，BECF，ABEDCF（AAS），AEDF【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键19.已知 T229633aa aa a（）（）（1）化简 T；（2）若正方形 ABCD 的边长为 a，且它的面积为 9，求 T 的值【答案】（1）1a；（2）13【解析】第 13页/共 24页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；（2）由正方形的面积求出边长 a 的值，代入计算即可求出 T 的值【详解】（1）T22222a96 a3a31aa3aa3aa3a（）（）（）（）（）；（2）由正方形的面积为 9，得到 a3，则 T13【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数 某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造 如图，AB 表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角30BADBDAD，于点 D为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15（1）求该斜坡的高度 BD；（2）求斜坡新起点 C 与原起点 A 之间的距离（假设图中 C，A，D 三点共线）【答案】（1）10m（2）20m【解析】【分析】（1）根据含 30 度角的直角三角形的性质即可求解（2）根据BADCABC，可得15ABC，根据等腰三角形的性质即可求解【小问 1 详解】30BADBDAD，20mAB 12BDAB10m【小问 2 详解】C，A，D 三点共线，30BAD，15ACB15ABCBADC 20mACAB【点睛】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键21.我区某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题；第 14页/共 24页学科网（北京）股份有限公司（1）请补全条形统计图；（2）获得一等奖的同学中有14来自七年级，有12来自八年级，其他同学均来自九年级现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率【答案】（1）见解析（2）16【解析】【分析】（1）先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一等奖的人数，然后补全条形统计图；（2）条件题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，再画树状图展示所有 12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后根据概率公式计算【小问 1 详解】1025%40（人）一等奖人数：40 86 12 104 （人）如图所示【小问 2 详解】用 A 表示七年级，B 表示八年级，C 表示九年级A1B2BC第 15页/共 24页学科网（北京）股份有限公司第二次第一次A1BA（，）2BA（，）CA（，）1B1AB（，）21BB（，）1CB（，）2B2AB（，）12BB（，）2CB（，）CAC（，）1BC（，）2BC（，）综上，由 12 种等可能事件，分别为1211212212ABABACBABBBCBABBBCCA（，）,（，）,（，）,（，）,（，）,（，）,（，）,（，）,（，）,（，；其中有两种情况选出的两人中既有七年级又有九年级同学，故概率是16P【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率也考查了统计图22.如图，平面直角坐标系xOy中，OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数0kyxx的图象经过点3,4A和点M（1）求k的值和点M的坐标；（2）求OABC的周长【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28【解析】【分析】（1）将点 A（3,4）代入kyx中求出 k 的值，作 ADx 轴于点 D，MEx 轴于点 E，证明第 16页/共 24页学科网（北京）股份有限公司MECADC，得到12MEMCADCA，求出 ME=2，代入12yx即可求出点 M 的坐标；（2）根据勾股定理求出 OA=5，根据点 A、M 的坐标求出 DE，即可得到 OC 的长度，由此求出答案.【详解】（1）将点 A（3,4）代入kyx中，得 k=3 412，四边形 OABC 是平行四边形，MA=MC，作 ADx 轴于点 D，MEx 轴于点 E，MEAD，MECADC，12MEMCADCA，ME=2，将 y=2 代入12yx中，得 x=6，点 M的坐标为（6,2）；（2）A（3,4），OD=3，AD=4，225OAODAD,A（3,4），M（6,2），DE=6-3=3，CD=2DE=6，OC=3+6=9，OABC的周长=2(OA+OC)=28.【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质.23.如图，AB是O的直径，点 C 在O上，且86ACBC，第 17页/共 24页学科网（北京）股份有限公司（1）尺规作图：过点 O 作AC的垂线，交劣弧AC于点 D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点 O 到AC的距离及cosACD的值【答案】（1）见解析（2）3，2 55【解析】【分析】（1）如图，作AC的垂直平分线，与圆的交点即为D，连接CD即可；（2）由题意知2210ABBCAC，则半径为 5，如图 1，记OD与AC的交点为 E，则OE是ABC的中位线，OEBC，132OEBC，即可得点 O 到AC的距离是 3，则2DEODOE，22242 5CD，根据cosCEACDCD，计算求解即可【小问 1 详解】解：分别以AC、为圆心，OA的长为半径画弧，连接两弧交点，与圆的交点即为D，则OD即为AC的垂线，连接CD，下图即为所求；【小问 2 详解】解：由题意知90ACB，2210ABBCAC，半径为 5，如图 1，记OD与AC的交点为 E，第 18页/共 24页学科网（北京）股份有限公司ODAC，点 E 是AC中点，OE是ABC的中位线，OEBC，132OEBC，90AEO，点 O 到AC的距离是 3，2DEODOE，22242 5CD，42 5cos52 5CEACDCD，点 O 到AC的距离是 3，cosACD的值为2 55【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，中位线的性质，余弦函数 解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用24.已知抛物线22yaxaxc（a，c 为常数，0a）经过点01C，顶点为 D（1）当1a 时，求该抛物线的对称轴，写出顶点 D 的坐标；（2）当0a 时，点(01)Ea，若2 2DEDC，求该抛物线的解析式；（3）当1a 时，点(01)Fa，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，(0)M m，是 x 轴上的动点，(31)N m，是直线 l 上的动点试探究当 a 为何值时，FMDN的最小值为2 10，并求此时点 M，N 的坐标【答案】（1）对称轴直线1x，D点坐标(1)2，（2）2112yxx 或23312yxx第 19页/共 24页学科网（北京）股份有限公司（3）点706M，点1116N，【解析】【分析】（1）利用对称轴方程即可求解；（2）由两点间的距离公式求得2221(22)DEa，2221()DCa，再列式计算即可求解；（3）作M关于直线1ya 对称点M，当M，D，N 三点共线时，FMDN取得最小值2 10，即2 10M N，进而求解即可.【小问 1 详解】解：将点 C 代入22yaxaxc，得1c ，对称轴212axa，1a，则221yxx将1x 代入221yxx，得=2y，点 D 坐标是(1)2，；【小问 2 详解】解：顶点 D 的坐标为(11)a，2221(22)DEa2221()DCa 2 2DEDC228DEDC22221(22)81()aa 解得112a 或232a，抛物线的解析式：2112yxx 或23312yxx；【小问 3 详解】解：将FM向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到(11)Fa，和(12)M m，；此时点F会第 20页/共 24页学科网（北京）股份有限公司与点 D 重合，将点 D 视为定点，作M关于直线1ya 对称点M，当M，D，N 三点共线时，FMDN取得最小值2 10，即2 10M N，(12)Mma，2222(1 2)40M Na 解得52a，72a（舍去）52a，DNMNkk311 523 131mmm 解得76m 点706M，点1116N，【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系25.（1）如本题图，AD为ABC的角平分线，60ADC，点 E 在AB上，AEAC求证：DE平分ADB（2）如本题图，在（1）的条件下，F 为AB上一点，连结FC交AD于点 G 若23FBFCDGCD，求BD的长（3）如本题图，在四边形ABCD中，65BCCD，对角线AC平分2BADBCADCA，第 21页/共 24页学科网（北京）股份有限公司点 E 为AC上一点，EDCABC若12DEDC，求AB的长【答案】（1）见解析；（2）92；（3）529【解析】【分析】（1）由EADCAD得60ADEADC，因而60BDE，所以DE平分ADB；（2）先证明BDECDG，其中CDED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AFAD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长【详解】（1）证明：如图 1，AD平分BAC，EADCAD，AEAC，ADAD，(SAS)EADCAD，60ADEADC，180180606060BDEADEADC，BDEADE，第 22页/共 24页学科网（北京）股份有限公司DE平分ADB（2）如图 2，FBFC，EBDGCD；60BDECDG，BDECDG，BDDECDDG；EADCAD，3DECD，2DG，2239.22CDBDDG（3）在AB上取一点 F，且AFAD，连接EF和CFAC平分BAD，FACDAC，又AFAD，ACAC，ACDACF第 23页/共 24页学科网（北京）股份有限公司52ACFACDCDCFDEEF，2BCADCA ACFBCFEDCABCBCFFCECECFCFBC556CE256CE 12DEDC132BFBCBCFFCEFECBFCAFCAEF FACEAF AFCAEFAFCFACAEEFAF2AFAE252612AEAE2518AE 2552223189ABAEBEAB长为529【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解第（3）题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题难度较大，属于考试压轴题第 24页/共 24页学科网（北京）股份有限公司