对称群S4的表示环.pdf

文章利用有限群特征标理论计算了对称群 的二维和三维不可约表示幂公式，刻画了 上表示环（），并找到 在有理数域 上表示代数（）的 个一维表示和 个中心本原幂等元。关键词：对称群；群特征标；不可约表示；表示环中图分类号：文献标志码：，（，）：，（），（）：；在复数域上，对称群 的所有不可约复表示可以通过 划分自然得到。自然地，对于 的任意两个不可约复表示 和，考虑不可约复表示 的一般组合规律，即 可以用不可约复表示的直和来线性表示，这个问题的关键是要找到这些不可约表示的系数组合规律，这些系数称为 系数。系数最早由 研究对称函数的 内积时提出，随后 将 内积应用到对称群表示上。和 在某些特定的情况下得到了 系数的组合解释。曾考虑过这个公开问题，并给出了部分解答。截至目前，这个公开问题仍然未得到有效解决。实际上直接寻找一般对称群 系数的组合规律无疑是十分困难的，针对这个问题，考虑通过低阶对称群寻找 系数的组合规律。对于 的情形，通过有限群特征标理论，借助相应矩阵特征值和特征向量，递归地给出了 的二维和三维不可约表示幂公式。关于群表示环的研究问题，其概念最早是由数学家 在 世纪 年代研究有限群的模表示时提出的。随后，人们将两个不可分解对象的张量积进行直和分解时，在幺半（）范畴上赋予了环的结构，形成表示环的概念。到了 世纪 年代，等 进一步研究了相关问题，并取得了一系列的成果。近年来，代数表示 理 论 逐 渐 成 为 研 究 热 点 。研究了有限维群代数 偶的表示环；给出了所有八维非半单 代数的表示环，并计算出了生成元与生成关系；等 研究了一般 代数的表示环；等 研究了广义 代数的表示环；等 研究了 广州大学学报（自然科学版）第 卷代数 偶的表示环。在算出对称群 上表示环 （）后，自然地，会考虑 （）环的一些性质，例如根基、扭元，做成复代数时的维数、线性基等等。另外，对于一般的群 在复数域上表示代数（）都是半单的 。此外，根据 等 的结果可知，有限群 的表示环 （）与有限群 在复数域 上表示代数（）具有相同的半单性。在此基础上，因为对称群 的特征标都是整数，笔者更感兴趣的是找到在有理数域 上表示代数（）的所有不可约表示，并计算其所有中心本原幂等元。本文主要由以下 个部分组成：第一节介绍本文所需要用到的一些基本定义。第二节由一组引理出发，计算 的所有特征标以及不可约表示的张量积分解，借助张量积分解递推关系得到相应矩阵，算出该矩阵的特征值与特征向量，从而给出 的二维和三维不可约表示幂公式。第三节讨论上表示环（），并找到在有理数域 上表示代数（）的 个一维表示。在此基础上，计算了（）的 个中心本原幂等元。基本定义为了更好地阐述本文主要定理，需要引用如下定义。设 是一个域，和 分别表示整数环、有理数域和复数域。定义 定义 的 表示为群同态：（），这里 （）是有限维 空间 上可逆线性变换群。定义 群 的表示环 （）是具有 基 ，加法和乘法由下式所确定的环，对 的任意两个复表示，?，。这里 是 互不等价的不可约复表示，表示 的任意有限维复表示 对应的同构类。定义 设（，）（），在 上定义值函数：?（），这里 （）是 上线性变换的迹，称为 表示 的特征标；如果 是不可约表示，则称为不可约特征标；如 ，则称为复特征标。定义 设 和 是有限群 上两个 值函数。定义（，）如下：（，）（）（），若，是 的两个复特征标，则称（，）（）（）为，的内积。主要定理借助以下一组引理，可以得到 的二维和三维不可约表示幂公式，因为对称群的特征标都是整数，如不特别申明，以下讨论均在有理数域上进行。引理 设群 与代数闭域 满足条件?。令 为 的共轭类个数，则（）；（），。对于对称群，希望找到其所有不可约表示，引理可以帮助判断是否找到了 的所有不可约表示。引理 若 ，则（）（），。引理 设，是有限群 两个复表示（，）和（，）的特征标，则。引理 和引理 提供了计算对称群 的不可约表示特征标以及不可约表示张量积特征标的方法。引理 群 的两个复表示等价当且仅当它们有相同的特征标。通过引理 ，可以快速判断对称群 的两个不可约表示张量积是否等价。引理 设（，）是有限群 的一个复表示，且?是表示（，）的不可约表示直和分解，则（，），其中，是（，）的特征标，是（，）的特征标。当需要对对称群 的两个不可约表示张量积进行分解时，通过引理 可以用待定系数法确第 期周木森等：对称群 的表示环定其不可约表示分量的重数。有两个一维不可约表示，分别是单位表示（，）和符号表示（，），此外 还有一个二维不可约自然表示（，），一个三维不可约自然表示（，）。根据引理 ，还剩下一个三维不可约表示（，）。那么根据定义 及引理 ，可得到 的特征标表，见表 。表 的特征标表 不可约表示（）（）（）（）（）（）再根据引理 可得表 ：表 的不可约表示张量积的特征标表 张量积（）（）（）（）（）（）根据表 及表 的结果，得到以下主要定理。定理 （）的二维不可约表示 的幂公式如下：（）?（）?（）。（）的三维不可约表示，的幂公式如下：（）?（）?（）（）?（）?（）。证明定理 中的（）与（）的证明类似，以下只证明（）。根据引理 ，可得到如下结果：，。计算，根据引理 ，不妨假设?，可求得：（），（）（），（），（），（）（），即得?。同理，可以得到：?，?，?，?。接着算 的三维不可约表示幂公式，设?，可求得如下结果：，?，?，?，?，广州大学学报（自然科学版）第 卷观察上面等式，由假设归纳不难发现，。（）式（）等价于 。通过迭代，可以得到 ，这样求，通项公式就转化成求 的 次幂问题。注意到 的特征矩阵为?，从而可得到 的所有特征值，分别为?，?，?，?。（）当?时，对 应 的 特 征 向 量 为（）；（）当?时，对 应 的 特 征 向 量 为（），（）；（）当?时，对 应 的 特 征 向 量 为（）；（）当?时，对 应 的 特 征 向 量 为()。从以上讨论可知，存在可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵，其中，。通过计算，可以得到，因此，可以得到 ，不妨设 （）；注意到（），只需要算 ，的值即可，通过计算可得：（），（），（）（）（），（）。，从而可得：（）（）（）（）（）（），又因为，所以，（）?第 期周木森等：对称群 的表示环（）?（）（）?（）?（）。表示环及其性质在算出了对称群 的所有特征标以及不可约表示张量积分解后，讨论 上表示环 （）及其性质。定理 对称群 的表示环 （）同构于（），（，），其中，。证明根据引理 的证明，有以下结论：，?，?，?，?，?，?。记 ，则（），（，），其中，。对于有限群 ，（）与（）是否半单，除了通过计算 根基来判定外，还可以由 数来判定。等 给出了 （）与（）半单的充分必要条件，即 （）与（）半单当且仅当它们的 数非零。而 （）与（）具有相同的 数，因而可以知道 （）与（）具有相同的半单性。此外，对于一般的群 在复数域上表示代数（）都是半单的 ，由此也进一步说明在常表示下的表示环都是半单的。事实上，对于（）而言，根据文献 中的结果，笔者也计算了（）的 数，其 数为 。由于（）的元素都是在乘法作用下是可交换的，因而其所有不可约表示都是一维的，（）是五维代数，笔者则希望找到（）个一维不可约表示，并计算其 个中心本原幂等元。定理 （）的正则表示可分解为 个一维表示的直和，这 个一维表示分别由以下向量张成：，。从而表示代数（）有 个中心本原幂等元，分别是（），（），（），（），（）。广州大学学报（自然科学版）第 卷证明注意到（）中所有元素在乘法作用下是可交换的，则（）的所有不可约表示都是一维的，考虑正则表示：（，）（，），（，）（，），（，）（，），（，）（，），（，）（，），其中，。通过计算可知，均可对角化，则存在，使得 ，其中，。观察上面 与 可知，存在 个公共的特征向量，分别是，。根据上述 个公共特征向量可知，（）?（），（）?（），（）?（），（）?（），（）?（），待定系数解得：?，?，?，?，第 期周木森等：对称群 的表示环?。（）的 个本原幂等元分别为（），（），（），（），（）。参考文献：，：，：，：，：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，：，（）：董井成，陈惠香二面体群量子偶的表示环 数学学报，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，：，：曹锡华 时俭益 有限群表示论 版北京：高等教育出版社，【责任编辑：卓祯雨】