(2-RPU+UPU) +(RR)混联机构末端约束和运动耦合分析.pdf
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1、少自由度混联机构有特殊的末端约束形式,同时其末端六维运动参数存在高度耦合,而以往对此类机构的研究多针对并联和串联模块分别开展,导致混联机构的整机末端约束和运动耦合研究被忽视,此类机构的约束和运动分析存在缺陷。本文采用Grassmann-Cayley代数分析了(2-RPU+UPU)+(RR)机构的末端约束,基于该机构的约束方程建立了其末端运动耦合模型,并以此得到了该机构修正的运动学反解模型。末端约束分析结果表明(2-RPU+UPU)+(RR)机构的末端约束为一个螺旋(1H)型约束,其自由度形式为两转两移一螺旋(2 R2T1H)型运动。运动耦合结果表明该机构6 维位姿耦合关系表现为一个多元耦合方程
2、,在给定其中的5个独立参数后,另一个参数可通过该耦合方程确定。本文建立的(2-RPU+UPU)+(RR)机构的约束分析和运动耦合模型可为少自由度混联机构的末端约束和运动耦合分析提供参考。关键词:混联机构;末端约束;运动耦合;运动学;Grassmann-Cayley代数中图分类号:TC156文献标识码:A文章编号:10 0 0-12 9 8(2 0 2 3)10-0 416-0 5OSID:Terminal Constraint and Kinematic Coupling of(2-RPU+UPU)+(RRHybrid MechanismHU BolGAO TianiZENG DaxingLU
3、 Wenjuan?WANG Shuai2WANG Guoyong2.23(1.School of Mechanical Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066000,China2.School of Mechanical Engineering,Dongguan University of Technology,Dongguan 523808,China3.Department of Mechanical Engineering,Hebei Petroleum University of Technology,Chengde 067000,
4、China)Abstract:The lower mobility hybrid mechanism has a special form of terminal constraints,and itsterminal motion parameters are highly coupled.The parallel and serial modules of the hybrid mechanismswere often studied separately in the previous researches,resulting in the neglect of the research
5、 on theterminal constraint and motion coupling of the whole hybrid mechanism.There are defects in theconstraint and motion analysis of this kind of mechanisms.The terminal constraint of the(2-RPU+UPU)+(RR)mechanism was analyzed by using the Grassmann-Cayley algebra.Based on the constraintequations,t
6、he terminal motion coupling model of this mechanism was established.Then the modifiedinverse kinematics of this mechanism was obtained subsequently.The result of terminal constraint analysisshowed that the terminal constraint of the(2-RPU+UPU)+(RR)mechanism was a helical(1H)typeconstraint,and its de
7、gree of freedom was two rotational(2R),two translation(2T)and one 1H typemotion.The result of motion coupling analysis showed that the 6-dimensional pose coupling relationship ofthe(2-RPU+UPU)+(RR)mechanism was expressed in the form of a multivariate coupling equation.The constraint analysis and mot
8、ion coupling model of the(2-RPU +U PU)+(RR)me c h a n i s mestablished provided a reference for the terminal constraint and motion coupling analysis of lower mobilityhybrid mechanisms.Key words:hybrid mechanism;terminal constraint;kinematic coupling;kinematics;GrassmannCayley algebra收日期:2 0 2 3-0 4-
9、10 修回日期:2 0 2 3-0 6-0 5基金项目:国家自然科学基金面上项目(52 2 7 50 33)、河北省中央引导地方科技发展资金项目(2 0 6 Z7602G)、广东省普通高校机器人与智能装备重点实验室项目(2 0 17 KSYS009)、东莞理工学院机器人与智能装备创新中心项目(KCYCXPT2017006)和东莞市科技特派员项目(2 0 2 118 0 0 50 0 2 42)作者简介:胡波(19 8 2 一),男,教授,博士生导师,主要从事并/混联机器人理论研究,E-mail:h u b o y s u.e d u.c n通信作者:王国永(19 7 8 一),男,副教授,主要
10、从事机械自动化装备研究,E-mail:g u o y o n g 0 50 6 16 3.c o m417胡波等:(2-RPU+UPU)+(RR)混联机构末端约束和运动耦合分析第10 期0引言混联机构是机器人机构的重要分支,其中以两转动一移动(2 R1T)并联机构为重要组成部分的五自由度混联构型1-6 备受工业界青,以其为本体的混联机器人得到了广泛的应用,典型成功案例包括Exechon1-2、T r i c e p t 3-4、Sp r i n t Z35-6 混联机构等。这类机构中,Exechon机构由2-UPR+SPR型并联模块和RR型串联机构组成。该机构运动副数目少且机构中存在过约束,这
11、些特点带来了整体机构精度和刚度等性能的提升。受Exechon机构启发,诸多学者提出了新的构型方案。李秦川等7 提出了具有此类特点的含垂直交错转轴的2 R1T机构,并综合出了大量新型RPR类并联机构构型8 其中包括多种具有此类特点的并联机构。JIN等9 提了以2-RPU+SPR机构为并联模块的可用于飞机机翼装配的五自由度混联机构。路曼等10 研究了类Exechon机构构型综合、运动学和样机研制问题。胡波等I提出了2-RPU+UPU机构,并证明了包括2-RPU+UPU、2-RPU+U PR、2-RPU+SPR等在内的23种机构实际上为运动学完全等效的并联机构12 。此类机构的研究也引起了其他学者的
12、关注13-14。由于运动等效性质的存在,这2 3种并联机构和RR模块组成混联机构时,其末端约束和运动特性具有共性,只需以其中一种(2-RPU+UPU)+(RR)机构研究为例即可。实际上,由2-RPU+UPU机构和RR模块组成的混联机构的研究还并不完善。在少自由度混联机构的机构分析方面,以往研究通常将混联机构分成独立并联机构和串联机构分别研究,认为整体混联机构的理论模型是独立机构的简单叠加,忽视了对整体混联机构理论建模的研究和分析。末端约束分析是少自由度混联机构分析的重要内容15-18 ,是开展机构分析和综合的基础,针对串联机构和并联机构的约束分析一直是机构学的研究热点,并且其研究已经相当成熟。
13、然而,针对混联机构的整机末端约束分析实际非常少见,仅见文献17 分析了5自由度Exechon混联机构的整机末端约束。针对(2-RPU+UPU)+(RR)混联机构的末端约束分析尚未见报道。末端运动耦合是少自由度机构的重要特性,与末端具有六自由度运动的机构不同,少自由度机构末端六维移动和转动参数之间存在着相互耦合关系,在计算反解过程中不能任意给定,必须首先通过体现末端位姿耦合关系的方程求解末端可行六维位姿参数。在这一问题的处理上,目前多结合伴随运动19-2 0 1的求解方式得到机构运动耦合关系。然而由于(2-RPU+UPU)+(RR)混联机构具有不同于传统并联机构的末端运动耦合形式,其末端运动耦合
14、并未能妥善解决。为解决(2-RPU+UPU)+(RR)混联机构中存在的末端约束和运动耦合问题,本文采用Grassmann一Cayley代数求解该机构的末端约束,并结合整体机构的约束方程,通过消元得到只含末端6 维位姿参数的末端运动耦合模型,以期为(2-RPU+UPU)+(RR)机构提供解析化的末端约束和运动耦合模型。1(2-RPU+U PU)+(RR)机构末端约束分析1.1混联机构描述如图1所示,混联机构由2-RPU+UPU型并联模块和RR型串联模块组成。2-RPU+UPU型并联模块由动平台ni、定平台no、2 条结构相同的RPU分支r(i=1,3)和1条UPU分支rz组成。定平台n.和动平台
15、n,均为三角形结构,其中心分别为p。和Pi,端点分别记为a,和b(i=1,2,3)。3条分支呈对称分布,并均将P副作为驱动副,RPU分支r(i=1,3)通过R副与定平台n上的(i=1,3)连接,并通过U副与动平台n,上的b(i=1,3)连接,UPU分支r,通过U副与定平台no上的,连接,并通过U副与动平台n,上的b,连接。并联模块中的每个U副均由转轴相互垂直且相交的R副组成,设Ri表示第i条分支上的第个R副。RY22nU,RX6ZdnRR123132PX,R133U,bP,12R12OR1131P,r3PR“121Zao0R/22CPoX。R111.a图1(2-RPU+U PU)+(RR)型混
16、联机构示意图Fig.1Sketch of(2-RPU+UPU)+(RR)typehybrid mechanism定义:并联模块中的各个运动副满足如下关系Riu Iaa,Ri I;,Ri ll Ri2,Ri2 R(i=,22023年农418机报学械业3),R31b,b,(i=1,3),R121|poa2,R121 1R122,R122 llR123,R123 I,R123 I Rj24,R124 I n oRR型串联模块由刚性连杆d、R2 和R2组成,连杆d始端与P,固连,末端点为P2,R2,和R22相交于P2。串联模块中的两个运动副和连杆、平台满足几何关系dIR21,R2,l n,,R2 1R
17、2 2 01.2混联机构末端耦合约束求解方法设A、B分别表示并联和串联模块,并联机构A的末端约束螺旋系为S,串联机构B的末端约束螺旋系为SB,则混联机构末端约束S可视为以上两螺旋系的交集,表示为17 S=SnSB(1)为解决式(1)的螺旋系求交问题,在此引人Grassmann-Cayley 代数。Grassmann-Cayley 代数是一个功能强大的数学工具,在并联机构/混联机构运动学和奇异性分析领域已有多个成功案例2122其交运算可应用于求解不同线性空间的交空间,可将其应用于两个螺旋系的求交运算。本文符号“V”和“”分别表示Grassmann-Cayley中的求并和求交运算。设V是实数域内的
18、l维向量空间,W是V的k维子向量空间,其标准基向量为wi,w 2,,,w l。若C是维向量空间V*k中的Plicker坐标向量,C可以通过对其子向量空间的标准基的外积运算表示为C=w,Vw,V.Vwk(2)在Grassmann-Cayley代数中,将C称为k阶extentor。设M和N分别是两个l维空间内的i阶和i阶梯extensor,M=m,Vm,V.Vm,(M=m,m,.m.),N=n,Vn,V.Vn,(N=nn.n,)。M 和N的求并运算可由其exteriorproduct表示为MVN=m,m,.m,n,n,n,(3)若i+jd,M和N的求交运算结果是一个i+j-d阶的 extensor
19、MN=sgn(o)m.(1)ma(2).mg(d-)n,n,.n,.ma(d-j+1)mm(4)(d-i+2)g(i)式(4)为GrassmannCa y l e y 代数的混续积公式,其中为行列式的简写,和运算是的所有排列组合,满足:(1)(2).g(d-j),(d-j+1)g(d-j+2).g(i)。1.3(2-RPU+U PU)+(RR)机构末端约束及自由度在点PoPiPz处分别建立坐标系/n,f(i=0,1,2),则in和nz分别对应基坐标系和末端坐标系,各坐标轴满足的几何关系为:X。l l a r a s,Ya,a s,Zn o,X,llbrb3,Y1b,b3,Z,1n,X,1R22
20、。设pPyiP为点p,在基坐标系in。下的坐标。由文献12 知,该机构的第1、3分支中,存在一过U副中心平行于分支中R副的约束力FA(i=1,3)和垂直于U副平面的约束矩T,第2 分支中存在过R121和R124交点c且平行于Ri22的约束力FA2。这5个约束螺旋线性相关,可取3个独立的约束力构成其约束螺旋系,3个约束力螺旋可表示为SA,=fi.(dA:fA.)T(5)其中fA:=RuldA=b,-P22(i=1,3)fA2=R122dA2=c-P2式中Ruk转动副R的方向矢量b,CP:一点b;、C、P,的位置矢量一约束力F的方向矢量dAi参考点P2到FA的矢径同样,在RR分支中,由约束螺旋的观
21、察法15知分支中存在过R副交点的3个约束力FBi(i=1,2,3)和一垂直于R2,和R22的约束矩TBl,对应的力螺旋可表示为SB=100000TSB2=010000T(6)SB3=001000T(SB4=000(R2,R2,)TT由独立螺旋组成的螺旋系可通过各独立螺旋的外积运算表示2 2】,则2-RPU+UPU机构约束螺旋系可表示为S=SAVSAVS(7)RR机构约束螺旋系可表示为S=SBIVSBVSB3VS(8)将式(7)、(8)代人式(4),则整体混联机构末端约束可表示为S=SAS=SA,SA2SRSAs=SASA2SBSA3-SSASSA2+SA,SA,SBSA=SSSS,SnA=SS
22、SmSmS4-SSBSB2SB4SB3+SSBSBSB4SB2-S,SB2SB3SB4JSB(9)式(9)为通过2 个约束螺旋系求并运算得到的混联机构末端约束的解析表达式。从另一角度而言,由于S可同时表示为S(S)各元素的叠加,因此可得SAASB=AAISAI+AA2SA2+AASAs=ABSBI+AB2Sm2+AB3SBs+AB4SB4(10)Xml十mlml21其中e-点P,到点b,的长度E式中点P到点a的长度0=T/6+(2 T/3)(isinonib.=ecosA0b.15i=1.2.3noRib,+P,由式(30)可得(30)e0(4d?+e1-4d(2p2+E)zml+(2p2+E
23、)由式(2 7))、(2 8)可得结合、(2 5),可得工(81mlml28结合式(2 0(21),可得27Py2dzE/2eyml结合(24),可得工(419胡波等:(2-RPU+UPU)+(RR)混联机构末端约束和运动耦合分析第10 期式中入i 入Bi常数基于螺旋理论可知2 3,SAI、S,和SAs构成三阶螺旋系,由于这3个螺旋不共面,其线性组合在一般情况下为带有节距的螺旋,因此可判定该机构的末端约束为1H型约束,其末端自由度为2 R2T1H型运动。2(2-RPU+U PU)+(RR)机构末端运动耦合解析设定 R为坐标系in,l 相对于基坐标系inol的旋转矩阵,R可表示为XliYlino
24、RXmiYmiZ,(11)mixniYni末端坐标系nz相对于基坐标系n。的旋转变化可表示为OR=ORR(12)n2n2其中cosQ-sing,cosQ2sind,sind2R=sin0cos0,cosO2-cos0,sing2n20sin02cos02(13)其中式中R-n相对于n,的旋矩阵n2点a;、b,在1n。中可表示为cosOa;=Esin(14)0其中2-RPU+UPU并联机构的杆长计算式为T;=Ib,-a,I(16)令Pxi、Py i、P.分别表示点p.在坐标系(n。l 的3个坐标值。在基坐标系1n。中p2可表示为P2=P,+dZ,(17)Z,=Z2ml2-RPU+UPU机构的末端
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