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论数学开放题教学
摘 要：素质教育的核心是创新。开放题教学能充分激发学生的思维火花，培养学生的创新精神。开放题强调了学生获得解答的过程，体现了学生在教学活动中真正主体地位，从而极大地提高了学生的学习积极性。本文从新课的引入、课堂结构设计、例题习题的处理等方面探讨数学开放题教学。
关键词：开放题教学 创新意识 数学素养 发散思维

数学开放题作为一个具有时代特色的数学教育改革的亮点。已日益引起我国数学教育界的关注。数学开放题正是凭着其开放性、实践性、创新性在课改中体现新理念，实现新目标。
一、 数学开放题教学的意义
数学开放题教学是人们站在素质教育的高度上对数学教学改革的新探索。首先，它有利于培养学生的创新能力。“没有创新就没有发展”，不盲从权威、不迷信书本、不墨守成规是具有创新意识的科技人才的基本特征。其次，有助于培养学生对数学的积极态度`，调动学生学习的积极性，提高平常数学成绩较差学生的数学学习兴趣，帮助学生体验智力活动的欢乐，体验数学学科的灵感。此外，开放性问题的研究和教学，有利于教师转变教育观念，激发教育热情，摆脱一种浅层次的教学循环，体现教师自身的生命活力。
二、数学开放题教学的途径
实施数学开放题教学时，在新课的引入、课堂结构设计、例题习题的处理、课内外作业等方面应注意采取不同的形式，从而使学生积极参与到教学活动中，真正体现学生的主体地位和教师的主导作用。
1、 在新课引入中融入适合的开放题，激发学生的学习兴趣。爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师”。当学生有浓厚的兴趣时，也就有了学习的积极性。所以，首先通过设置兴趣问题、数学趣题等问题情景，激发学生的学习兴趣，激发学生的好奇心和求知欲。如：在讲高中一年级数学上册“对数”一节时，为引入“对数”这一概念，创设问题情景：“0.5mm厚的纸片折叠36次以后有多厚？你能想象一下吗？计算一下，你用了多长时间？如果给你的是这样一个数1.41436，你能用较短的时间计算出结果吗？”这样就引起了学生的兴趣和求知欲，也就调动了学生的积极性，同时也说明了“对数”的实用价值。
此外，还可采用“以旧引新”、“以用导学”、“故事引入”等创设问题情景的方式。总之，创设的问题情景要能引出新问题、新矛盾、产生新的思维冲击，留给学生一种悬念，增强求知欲。
2、 在课堂结构设计中融入开放性问题，让学生参与知识的形成过程。教师要为学生营造轻松、活泼的课堂氛围，鼓励学生大胆猜想、发现、论证，培养学生分析问题与解决问题的能力，形成较高的数学素养。例如：在讲高中二年级数学上册“抛物线”一节中，利用抛物线的焦点、准线、焦点弦等相关知识，可引入如下开放性例题：
例1 （如图）已知抛物线y2=2px (p>0).过焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点，P(x0,y0)是线段AB的中点。让学生尽可能地找出A、B、P的坐标满足的等量关系。
学生找到的不同关系有：
⑴ A、B两点在曲线上：y12=2px1 ，y22=2px2
⑵ 中点的坐标公式：x0= y0=
A
B
N
Q
P

y
M
O
⑶ A、B、P、F共线：
⑷ 焦点弦的斜率：
x
F
⑸ 中点P的轨迹：
⑹ 焦点弦的性质：
再进一步引导学生将“数”的开放转向“形”的开放，提出下列开放性问题：设抛物的准线为，分别过点A、B、P作x轴的平行线交于点M、N、Q.连结FM、FN、FQ、AQ、BQ.让学生尽可能多地找出图中各线段的垂直关系。（如上图）
学生找到的不同垂直关系有：
⑴ FM⊥FN ⑵AQ⊥BQ ⑶AQ⊥FM ⑷FM⊥BQ ⑸FQ⊥AB
到此，还可以大胆的与前面学的椭圆曲线、双曲线进行类比，你能发现哪些结论仍然成立？哪些结论有适当的改变？哪些结论不可能成立？这样既加深了知识点的联系和巩固，又培养了学生的发散思维与求同求异思维。
3、 改造例题、习题为开放性问题，为学生提供想象的空间。教师可以利用适量的具有代表性和典型性的例题、习题进行开放教学。譬如：（1）把结论开放，在给定的条件下探索结论多样性，以培养学生的发散思维和应用能力。（2）把条件开放，改变结论探究条件，编制开放题。培养学生的创新意识及逆向思维的能力。（3）一题多解，拓宽思维空间等等。此处以第（1）、（3）种为例：
例2 已知： 实数x、y满足请学生用不同的方法求的最值（最大值和最小值）
从满足的条件式子可看出“左边是平方和，且系数均为1，右边是正数”的特点，由此可以想到圆、三角恒等式及均值不等式的特征。因此可用以下三种方法：
① 数形结合法：设、则由圆心（-1，3）到直线的距离.从而的最大值和最小值分别是和
②三角换元法：设 则有 当时，取得最大值和最小值分别是和
③ 均值不等式法：利用基本不等式得 即于是可知取得最大值和最小值分别是和
学生在解决完此题，教师可以试着把结论开放，让学生会“变式”思维，从一题多变让学生掌握一类题，这样就达到了事半功倍的效果。如：让学生继续求以下各式的最大值和最小值。
① （为参数） ②
③ ④ 等等。
B
C
F
E
H
G
A
4、在处理课内外作业时也要适时给出一定的开放题，让学生有足够的时间和空间去思考，以培养学生的发散思维及独立解决问题的能力。如在讲了高中二年级下册，§9.2空间的平行直线与异面直线的例1后，给学生留一道作业题：
例3 设依次是空间四边形的
边上的点，
且
（1）、满足怎样的条件时，四边形是平行四边形，梯形；
（2）、要使四边形是矩形、菱形、正方形，我们还需要什么条件呢？
试证明你的结论。
贴近生活，特别是贴近生活中的数学是新课程中鲜明的一个特点。应用学生熟悉的东西讲数学，多举生活事例激发学生的学习兴趣，提高学生的学习热情，会让你收到意想不到的效果。譬如：在高中二年级下册讲“排列组合”时，课后就生活与数学的联系，给学生设置这样一个问题：
例4、存折的密码安全吗？
你到银行存款时，工作人员要你设定一个六位数的密码，以防止别冒领存款。
（1）、不同的六位数密码有多少个？
（2）、假如每30秒钟填写、核对一个密码，昼夜不停的工作，把所有密码都填写、核对一遍，需要多长时间？
（3）根据（1）、（2）计算出的结果，想想看，这六位数的密码为什么能够保密？
当得知不同的密码有个，把所有的密码都核对一次，大约需要347天时，学生们就会无不惊叹了。这个问题既解答了学生心中的疑问，又增强了学生应用数学的信心和意识，让学生觉得学有所用。
三、开放题教学要注意的问题
1、 教师对有关的问题，事先要作好充分的准备与估计。这样方能得心应手地对付课堂内可能发生的情况。在开放性课堂教学中，教师可以根据教学的需要，按照自己的意愿和特长，利用现代教学媒体建立信息资源库，开发教本课程，满足学生的学习需要，同时通过互联网络与教育通航实现资源共享。
2、 课堂上要让学生自己动手，让学生充分地通过自己的思考、互相交流、互相启发做出答案。如让初一的学生通过测量来探究三角形的内角和，殊不知学生在小学就已经知道结果，这样的活动只是让学玩玩而已，没有价值。如果教师换一种思路设计：“有一块缺了一个角的三角行玻璃板，你有什么办法得到所缺角的大小？”这个问题的答案是多种多样的，学生觉得有兴趣，探究才有价值。
3、 启发要得当，要善于从学生正确的、部分正确的或不正确的答案中，分析其思路、及时肯定成绩、指出不足、引导前进。教学中，教师要善于发现学生的思维闪光点，给予及时、适当的肯定和激励，让学生的积极性得以发挥。但一味的赏识是不够的。在一些课堂上，经常有一些教师对学生取得的一点成绩随意性地大夸其辞：“你很聪明”、“你回答得最好”，这种过多的“廉价”奖励过分注重形式，缺乏激励性，甚至会误导学生，以为自己的答案真的很好而沾沾自喜，习以为常，听不进不同意见，还可能导致学生浅尝辄止，不再深究。其实，学生一般能区分表扬的故意与否，对符合实际的批评多数客观对待。因此，不论是采取何种评价，都要注意理解学生的内心体验，把握一定分寸，是评价符合实际，让学生心悦诚服。
总之，在进行开放题教学中，应处理好学生的主体地位和教师的主导作用的关系，一切体现“教师引路”与“学生找路”在分析解题中的各自优势，作到放中有导、导中有放、导放适中。我们要从教学理念、教学内容、教学过程及教学空间等方面，全面进行开放性教学探究与实践。要使之成为数学教学改革中的一个“闪光点”，真正达到素质教育之目的。

参考文献
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[2] 张同语 《浅探数学开放题的教学》 教学纵横 2002/2 41-42
[3] 黄根初 数学开放题及其教学 2005/2

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