点稳定子为Fsub20_sub的5度无核2-正则Cayley图.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2023,12(8),3495-3500 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2023.128347 文章引用文章引用:茹昕,赵路清.点稳定子为 F20的 5 度无核 2-正则 Cayley 图J.应用数学进展,2023,12(8):3495-3500.DOI:10.12677/aam.2023.128347 点稳定子为点稳定子为F20的的5度无核度无核2-正则正则Cayley图图 茹茹 昕昕*，赵路清，赵路清 云南民族大学数学与计算机科学学院，云南 昆明 收稿日期：2023年7月1日；录用日期：2023年7月23日；发布日期：2023年8月1日 摘摘 要要 在具有较高对称性的图中，正则在具有较高对称性的图中，正则Cayley图是一类特殊的对称图。称一个图图是一类特殊的对称图。称一个图 为为2-正则图，如果正则图，如果 的全自的全自同构群同构群Aut 作用在作用在2-弧集上正则。本文给出了点稳定子为弧集上正则。本文给出了点稳定子为F20的的5度无核度无核2-正则正则Cayley图图的部分分类。的部分分类。关键词关键词 无核，无核，2-正则，正则，Cayley图图 Core-Free Pentavalent 2-Regular Cayley Graphs with Vertex Stabilizer F20 Xin Ru*,Luqing Zhao School of Mathematics and Computer Sciences,Yunnan Minzu University,Kunming Yunnan Received:Jul.1st,2023;accepted:Jul.23rd,2023;published:Aug.1st,2023 Abstract Among graphs with higher symmetry,regular Cayley graphs are a special class of symmetric graphs.A graph is called 2-regular if its full automorphism group Aut acts regularly on its 2-arcs.In this paper,it is given that a partial classification of core-free pentavalent 2-regular Cay-ley graphs with the vertex stabilizer F20.Keywords Core-Free,2-Regular,Cayley Graph Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/Open AccessOpen Access*通讯作者。茹昕，赵路清 DOI:10.12677/aam.2023.128347 3496 应用数学进展 1.引言引言 为方便研究，本文假设所有的图都是有限、简单、连通和无向的。设是一个图，V、E、Arc和Aut分别代表图的顶点集、边集、弧集和全自同构群，val表示图的度数。设AutX，s 是一个正整数。一个图被称为是(),X s-弧传递的，如果 X 传递作用在的 s-弧集上，其中，s-弧是一个由1s+个顶点组成的()1s+-数组，且对于11,iii vv+，满足()1,iivvE。称图为 s-弧正则图，如果它的全自同构群在其弧集上是正则的。设 G 是有限群，其单位元素是 1，一个图被称为 G 的一个 Cayley 图，如果在 G 中有一个子集 S，满足1S，且1SS=，使得(),|,VG Es sggG sS=其中11|SssS=。我们用()Cay,G S表示 Cayley 图，Cayley 图的度数为S，另外，G 可以被看作Aut的一个正则子群，其中 G 右乘作用在V上。为了方便，我们仍然用 G 代表这个正则子群，则 Cayley图是点传递的；相反，一个点传递图是群 G 的一个 Cayley 图，当且仅当Aut包含同构于 G 的一个正则子群。一个Cayley图()Cay,G S被称为G的一个正规Cayley图，如果G是()()Aut Cay,G S的一个正规子群；称()Cay,G S是无核的，如果 G 在某些()()Aut Cay,XG S中是无核的，即()Core:1XXx XGG=。正则 Cayley 图是一类对称性较高的点传递图，代数图论中对这类图的研究一直是一个热门问题。图论学者最初从 3 度 1-正则图开始研究，R.Frucht 在文献1中构造出第一个 3 度 1-正则图的例子；Li 和 Lou等在文献2中证明了如果一个 5 度的(),1X-正则 Cayley 图不是正规的或双正规的；Ling 和 Lou 在文献3中给出了连通无核5度1-传递Cayley图的特征和分类；Li和Lou在文献4中给出了7度无核1-正则Cayley图的一个分类；奇素数度的 1-正则 Cayley 图的完全分类及其相关结论可参见文献5；另外，关于 5 度图的更多性质和分类结果可参见文献6 7 8 9 10。本文主要针对点稳定子为 F20的 5 度无核 2-正则 Cayley 图进行研究和分类，考虑前 10 种共轭类的情况，得到以下主要结果：定理定理 1.1 设()Cay,G S=是无核 5 度 2-正则 Cayley 图，()1Aut是 1 在Aut中的稳定子，且同构于F20，则下列之一成立：1)同构于表 1 中的一个图；2)存在一个Aut的子群 X，使得GX，且 G 在 X 中无核。进一步，G 和 X 的描述见表 2。Table 1.Core-free pentavalent 2-regular Cayley graphs with vertex stabilizer F20 表表 1.点稳定子为 F20的 5 度无核 2-正则 Cayley 图 Aut G 225:S 223:S 引理 3.1()554AA:45AA 引理 3.1 Table 2.Candidates for core-Free pentavalent 2-regular Cayley graphs with vertex stabilizer F20 表表 2.点稳定子为 F20的 5 度无核 2-正则 Cayley 图的候选 X G 备注()10104AA:910A:S 引理 3.2 10210:S 929:S 引理 3.3 202A:192A:引理 3.4 至少 2 个图 茹昕，赵路清 DOI:10.12677/aam.2023.128347 3497 应用数学进展 2.预备知识预备知识 设X是有限群，H是X的无核子群，对于一个元素gXH，定义图()Cos,X H g=，顶点集:X H是 H 在 X 中的右陪集，使得 Hx 和 Hy 相邻当且仅当1yxHgH，则AutX 在它的弧集上传递，其中X 右乘作用在:X H上，这样的图叫做陪集图，且连通当且仅当,H gX=，的度为:gH HH。另外，若有一个正则子群 G，则()Cay,G GHgH。对于一个无核 X-弧传递 Cayley 图()Cay,G S=，其中()AutGX，设vV，vHX=是 v 在 X中的稳定子群，假设Hn=，考虑 X 在:X G上的右乘作用，则 X 是对称群nS的一个子群，在这个作用下，H 是nS的一个正则子群，且 G 是 X 中1,2,in的一个稳定子，不失一般性，我们可以假设 G稳定 1。由(文献11，命题 3.2)，我们有以下结论：引理引理 2.1 设()Cay,G S=一个无核 X-弧传递 Cayley 图，()AutGX，设vV，vHX=是 v在 X 中的稳定子群，假设Hn=，则 X 是nS的一个子群，且 H 正则作用在1,2,n上。另外，若 S 包含一个对合，则()()()S1SNNnnKHHHK，()Cos,X H，,XH=，|11GX=，|11SH H=。对于连通 5 度(),X s-传递图，由文献12和13，我们有以下引理：引理引理 2.2 设是一个 5 度(),X s-传递图，AutX，且1s，设vV，F20表示 20 阶的 Frobenius群，则：1)如果vX是可解的，则80vX，且3s，其中，(),vXs在表 3 中；2)如果vX是不可解的，则92235vX，且25s，其中，(),vXs在表 4 中。Table 3.The soluble vertex stabilizer 表表 3.可解的点稳定子 s 1 2 3 vX 51020,D,D 20202F,F 204F Table 4.The insoluble vertex stabilizer 表表 4.不可解的点稳定子 s 2 3 4 4 vX 55A,S 45AA,()452AA:,45SS()ASL 2,4,()AGL 2,4,()A L 2,4,()A L 2,4()62:L 2,4 vX 60，120 720,1440,2880 960,1920,2880,5760 23040 3.主要结论主要结论 设()Cay,G S=是无核 5 度 2-正则 Cayley 图，则 S 中一定包含一个对合，由引理 2.1 可知，H 是nS的一个正则子群。我们可以假设20,FHa b=，其中()()()()1 13 7 202 15 6 183 12 10 164 14 9 19a=()5 11 8 17，()()()()()1 15 8 192 12 7 173 14 6 204 11 10 185 13 9 16b=。假设Pa=，则()()Cay,Cos,G SX H，其中()()()2020S1SNNKHPK，20,XHS=，|11GX=，|11SH H=。由 Magma(文献14)易计算出有 846 种选择，它们在()20SNH中被分为 159 种共轭类。本文仅考虑前 10 种共轭类，它们的代表元如下：茹昕，赵路清 DOI:10.12677/aam.2023.128347 3498 应用数学进展 ()()()()14 5 8 9 11 14 19,7 1=()()()()()211 17 12 16 13 20 14 19 15,18=()()()()()()()34 5 8 9 11 19 12 16 13 20 14 17 1,5 18=()()()()()()()()42 63 104 95 8 11 17 12 16 14 19 1,5 18=()()()()()()()()52 34 56 108 9 11 14 12 15 16 18 1,7 19=()()()()()6 2 63 104 95 80,13 2=()()()()()()()()72 63 104 85 9 11 19 12 16 14 17 1,5 18=()()()()()()()()()82 153 124 145 11 6 18 8 179 19 10 16 1,3 20=()()()()()()()()()92 153 124 11 5 146 18 8 199 17 10 16 1,3 20=()()()()()()()()()102 183 164 175 196 15 8 149 11 10 12.13 20=现在设1,2,20=，,jjXH=，()Cos,jjjXH=，其中1,2,10j=。设|11jjGX=，|11jjSHH=。注意到，H 是jX的一个正则子群，jG是jX作用在上的 1 的点稳定子。由此，jjXG H=，且1jGH=，则jG正则作用在:jXH上，进而得()Cay,jjjG S=。本文主要结论如下：引理引理 3.1 对于1,2,6j=，如果j是 2-正则图，则：1)3j=，2323:SG ，2325Aut:S ，1333333,Sa b bc=，且()333Cay,G S；2)5j=，545AAG，()5554AutAA:，11555555,Sa ab b=，且()555Cay,G S；其中()()()()()()()33 47 8 11 20 12 19 13 16 14 17 15 18a=，()()()()()32 5 4 36 9 8 7 11 18 13 20 12 19 15 16 14 17b=，()()()()()()()32 36 7 11 18 12 20 13 16 14 17 15 19c=，()()()()52 5 46 10 8 11 13 14 15 12 16 17 19 18 20a=，()()()()52 5 36 9 8 11 12 13 15 14 16 18 19 20 17b=。证明：证明：首先，我们可由 Magma(文献14)分别计算出Autj和jG的阶以及jS中的元素。对于一个顶点jvV，由 Magma(文献14)计算得，()()16AutAut40vv=，()2Aut2880v=，()4Aut120v=，则由引理 2.2，这些图都不是 2-正则图。当3j=时，由 Magma(文献14)计算可得，3G有一个 4 阶的正规子群是初等交换群22，且它的补与3S同构；3Aut存在一个正规子群是初等交换群22，它的补是一个 120 阶的非交换群，易验证其与3S同构。所以，我们得2323:SG ，2325Aut:S 。当5j=时，由 Magma(文献14)易得，5G的阶为 720，它有 6 个正规子群，其中阶为 12 的正规子群和阶为 60 的正规子群的交为 1，且这两个正规子群分别同构于4A和5A，从而得545AAG。另外，5Aut有一个阶为 3600 的正规子群，它显然同构于55AA，且它的补是阶为 4 的交换群，与4同构，因此()5554AutAA:，引理得证。引理引理 3.2 7910A:SG，()710104AA:X，且1777777,Sa b bc=，其中()()()()()()73 45 67 8 12 19 13 15 16 18a=，()()()()72 5 4 3 8 7 6 9 11 12 13 15 16 18 17 14 19 20b=，()()()()()()72 34 106 7 11 18 12 14 17 20c=。证明：证明：假设7j=，由 Magma(文献14)可以直接计算出 Cayley 子集7S中的元素，且7G有一个同构于9A的正规子群，它在7G中的补同构于10S，进而我们得7910A:SG。茹昕，赵路清 DOI:10.12677/aam.2023.128347 3499 应用数学进展 另外，由于77,Xa b=，我们由 Magma(文献14)可以计算出7X的正规子群有 4 个，其中一个正规子群的阶为 3292047360000，易验证它是10A和10A的直积，进一步地，我们得到它的补与4同构，最终我们有()710104AA:X，引理得证。引理引理 3.3 9829:SG ，108210:SX ，且888888,Sa b c d=，其中()()()()()()85 196 12 11 20 13 18 14 17 15 16a=，()()()()()()83 179 15 11 16 12 20 13 19 14 18b=，()()()()()()82 168 14 11 19 12 18 13 17 15 20c=，()()()()()()84 18 10 11 12 17 13 16 14 20 15 19d=。证明：证明：假设8j=，由 Magma(文献14)，我们可以直接计算出 Cayley 子集8S中的元素，且8G有一个阶为 512 的正规子群是初等交换群，即92，它在8G中的补的阶为 362880，易验证其与9S同构，从而得9829:SG 。进一步地，因88,Xa b=，我们可得8X有 9 个正规子群，由 Magma(文献14)验证其中一个阶为1024 的正规子群是初等交换群102，它的补同构于10S，从而得108210:SX ，引理得证。引理引理 3.4 910192A:GG，910202A:XX，且1999999,Sa b bc=，1101010101010,Sabbc=，其中()()()()()()()()93 45 196 127 8 11 20 13 16 14 17 15 18a=，()()9 2 5 4 3 16 12 19 15 8 7 6 9 14 17 11 18 13 20b=，()()()()()()()()92 34 186 7 10 11 12 20 13 16 14 17 15 19c=，()()()()()()()()103 45 126 197 8 11 20 13 16 14 17 15 18a=，()()102 5 4 3 14 17 8 7 6 9 16 12 19 15 11 18 13 20b=，()()()()()()()()102 34 11 6 7 10 18 12 20 13 16 14 17 15 19c=。证明：证明：首先，我们可以由 Magma(文献14)直接计算出 Cayley 子集9S和10S中的元素。假设9j=，由 Magma(文献14)，我们可以得到9G的 3 个正规子群，易验证9G的非单位真正规子群是单群，且与19A同构，它在9G中的补同构于2，因此9192A:G。另外，因99,Xa b=，我们可由 Magma(文献14)计算出9X的阶和正规子群，从而得到9X的非单位真正规子群同构于20A，它的补与2同构，因此9202A:X。进一步，由 Magma(文献14)，我们有910GG，且910XX，引理得证。对于点稳定子为 F20的无核 5 度 2-正则 Cayley 图，其 Cayley 子集 S 中包含的对合在()20SNH中共有 159 种共轭类，本文在定理 1.1 中仅描述前 10 种共轭类的情况。综合引理 3.1、引理 3.2、引理 3.3和引理 3.4 的证明，定理 1.1 得证。参考文献参考文献 1 Frucht,R.(1952)A One-Regular Graph of Degree Three.Canadian Journal of Mathematics,4,240-247.https:/doi.org/10.4153/CJM-1952-022-9 2 Li,J.J.,Lou,B.G.and Zhang,X.J.(2013)Finite 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