2013年肇庆市一模理科数学试题及答案.doc

肇庆市中小学教学质量评估
2013届高中毕业班第一次模拟试题
数 学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题
卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设（是虚数单位），则
A． B． C． D．
2．集合，，则
A． B． C． D．
3．已知向量．若为实数，，
则
A． B． C． D．
4．公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 ，则=
A．1 B．2 C．4 D．8
5．某程序框图如图1所示，则输出的结果S=
A．26 B．57 C．120 D．247
6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示，
则其侧视图的面积为
A． B．
C． D．
8．在实数集R中定义一种运算“”，具有性质：①对任意；②对任意；③对任意；函数的最小值为
A． B．3 C． D．1

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9～13题）
9．不等式的解集是__▲__.
10. 2个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间时说：“我们公司要从面试的人中招3个人，你们都被招聘进来的概率是” .根据他的话可推断去面试的人有__▲__个（用数字作答）.
11．若圆与直线相切，其圆心在轴的左侧，则m=__▲__.
12．在中， ，BC=2，，则的面积等于__▲__.
13．已知不等式组表示一个三角形区域（包括三角形的内部及边界），则实数的取值范围为__▲__.

（ ） ▲
14．（坐标系与参数方程选做题） 已知直线为参数）与直线相交于点，又点，则__▲__.
15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，C为AD与圆的交点，圆心到的距离为，，则的长为__▲__.

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数在时取得最大值2.
（1）求的最小正周期；
（2）求的解析式；
（3）若，，求的值.

17.（本小题满分13分）
因台风灾害，我省某水果基地龙眼树严重受损，为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案，每种方案都需分四年实施．若实施方案1，预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案2，预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第三年与第四年相互独立，令表示方案实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?

18.（本小题满分13分）
如图5，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB，，C是弧AB的中点.
（1）证明：BC^平面PAC；
（2）证明：CF^BP；
（3）求二面角F—OC—B的平面角的正弦值.

19. （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆O相切.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；
（3）设与轴交于点Q，不同的两点R、S在上，且满足，求的取值范围.

20.（本小题满分14分）
已知Sn是数列的前n项和，且，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项；
（3）设数列满足，求证：当时有.

21．（本小题满分14分）
若，其中．
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）当时，若，恒成立，求的取值范围．

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2013届高中毕业班第一次模拟试题
数 学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
B
B
C
A
B
7A解析：侧视图的底边长为边长为的正三角形的高，长度为，侧视图的高为，所以其面积为
8B解析：根据条件③，对于任意的有，
∴取得得①②得对任意实数都成立，代入上式得：这就是运算的定义,将其代入题目检验符合①②③，
∴，当且仅当时“=”成立，即函数的最小值为3.

二、填空题
9. 10. 21 11. 12.
13. 14. 15. 3
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（1）的最小正周期为 （2分）
（2）由的最大值是2知，， （3分）
又，即， （4分）
∵，∴，∴，∴ （5分）
∴ （6分）
（3）由（2）得，
即，∴， （7分）
∵，∴ （8分）
∴ （9分）
（10分）
∴ （12分）

17．（本小题满分13分）
解：（1）ξ1的分布列为
ξ1
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P1
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
（3分）
ξ2的分布列为
ξ2
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P2
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（6分）
（2）由（1）可得ξ1＞1的概率P（ξ1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3， （7分）
ξ2＞1的概率P（ξ2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32， （8分）
∵P（ξ2＞1）＞P（ξ1＞1），∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大. （9分）
（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意，
利润A =（0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 +（0.15 + 0.15）×20 = 14.75（万元） （10分）
利润B =（0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20 = 14.1（万元） （11分）
∵利润A＞利润B，∴实施方案1平均利润更大. （13分）

18．（本小题满分13分）
（1）证明：∵PA^平面ABC，BCÌ平面ABC，
∴BC^PA. （1分）
∵ÐACB是直径所对的圆周角，
∴，即BC^AC. （2分）
又∵，∴平面. （3分）
（2）证明：∵PA^平面ABC，OCÌ平面ABC，
∴OC^PA. （4分）
∵C是弧AB的中点， ∴DABC是等腰三角形，AC=BC，
又O是AB的中点，∴OC^AB. （5分）
又∵，∴平面，又平面，
∴. （6分）
设BP的中点为E，连结AE，则，
∴. （7分）
∵，∴平面. 又平面，∴. （8分）
（3）解：由（2）知平面，∴，， （9分）
∴是二面角的平面角. （10分）
又∵，，∴， （12分）
∴，即二面角的平面角的正弦值为. （13分）

19．（本小题满分14分）
解：（1）由直线与圆相切，得，即. （2分）
由，得，所以， （3分）
所以椭圆的方程是. （4分）
（2）由条件，知，即动点M到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是. （7分）
（3）由（2），知，设，
∴ （8分）
由，得 （9分）
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立.
（11分）
又 （12分）
∵，∴当，即时， （13分）
故的取值范围是. （14分）

20．（本小题满分14分）
解：（1）由得 ， （1分）
， （2分）
由得 （3分）
（2）当时，由 ① ，得 ② （4分）
①－②得，化简得，
∴（）. （5 分）
∴，，……， （6 分）
以上（）个式子相乘得（） （7 分）
又，∴ （8 分）
（3）∵，，，
∴是单调递增数列，故要证：当时，，只需证. （9分）
（i）当时 ，，显然成立； （10分）
（ii）当时，
∵，，
∴，∴. （11分）
∴
（12分）
∴. （13分）
综上，当时有. （14分）

21．（本小题满分14分）
解：（1）当，时，， （1分）
∵，∴当时，， （2分）
∴函数在上单调递增， （3分）
故 （4分）
（2）①当时，，，
，，∴f（x）在上增函数， （5分）
故当时，； （6分）
②当时，，，（7分）
（i）当即时，在区间上为增函数，
当时，，且此时； （8分）
（ii）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数， （9分）
故当时，，且此时；（10分）
（iii）当，即时，在区间[1，e]上为减函数，
故当时，. （11分）
综上所述，函数的在上的最小值为（12分）
由得；由得无解；得无解； （13分）
故所求的取值范围是． （14分）