大学物理(许瑞珍_贾谊明)第14章答案.doc

第十四章　波动
O P
L
x
习题14－1图
14－1 如本题图所示，一平面简谐波沿ox轴正向传播，波速大小为u，若P处质点振动方程为，求：（1）O处质点的振动方程；（2）该波的波动方程；（3）与P处质点振动状态相同质点的位置。
解：（1）O处质点振动方程：
y0 = A cos [ ω（t + L / u）+φ]
（2）波动方程
y0 = A cos { ω[t- （x - L ）/ u+φ}
（3）质点位置
x = L ± k 2πu / ω （k = 0 , 1, 2, 3……）
14－2 一简谐波，振动周期T=1/2s，波长l＝10m，振幅A=0.1m，当t=0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波源重合，且波沿ox轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）t1＝T/4时刻，x1=l/4处质点的位移；（3）t2 ＝T/2时刻，x1=l/4处质点的振动速度。
解：（1） y = 0.1 cos ( 4πt - 2πx / 10 )
= 0.1 cos 4π（t - x / 20 ） (SI)
（2） 当 t1 = T / 4 = 1 / 8 ( s ) , x1 = λ/ 4 = 10 / 4 m处
质点的位移y1 = 0.1cos 4π（T / 4 - λ/ 80 ）
= 0.1 cos 4π(1 / 8 - 1 / 8 ) = 0.1 m
（3） 振速
t2 = T / 2 = 1 / 4 (S) ,在x1 = λ/ 4 = 10 / 4( m ) 处质点的振速
v2 = -0.4πsin (π-π/ 2 ) = - 1.26 m / s
习题14－3图
14－3 一简谐波沿x轴负方向传播，圆频率为，波速为u。设时刻的波形如本题图所示，求该波的表达式。
解：由图可看出，在t=0时，原点处质点位移
y0＝－A，
说明原点处质点的振动初相，因而波动方程为

14－4　本题图表示一平面余弦波在t＝0时刻与t＝2s时刻的波形图，求：
(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波方程。
解：由图可知：
原点处质点的振动初相；
习题14－4图
波长　，波速　；
因而圆频率　，
(1) 原点处质点的振动方程

(2) 波方程　　
14－5已知一平面简谐波的方程为
(1) 求该波的波长l，频率n 和波速度u的值；
(2) 写出t＝2.2s时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置。

14－6 波源作简谐振动，周期为，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u＝400m/s的速度沿直线传播。求：（1）距离波源8.0m处质点P的运动方程和初相；（2）距离波源9.0m和10.0m处两点的相位差。
解：在确知角频率、波速和初相的条件下，波动方程

位于 xP = 8.0 m处，质点P的运动方程为

该质点振动的初相。而距波源9.0 m和 10.0 m两点的相位差为

如果波源初相取，则波动方程为

14－7 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率。若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）。求距离波源5.0m和10.0m处的能流密度。
分析：波的传播伴随着能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度 。
解：由分析可知，半径r处的能疏密度为

当 r1 = 5.0 m、r2 = 10.0 m时，分别有

14－8　一弹性波在媒质中传播的速度u=103m/s，振幅A=1.0´10-4m，频率n =103Hz，媒质的密度为r=800kg/m3。求：（1）波的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积S=4.0´10-4m2的总能量。
解：（1）由能流密度I的表达式得

(2)在时间间隔内垂直通过面积 S的能量为

S3
O
S1
S2
习题14－9图

14－9 如本题图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O点相遇；若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3振动方程分别为y1＝Acos(ωt+π/2)，y2＝Acosωt和y3＝2Acos(ωt -π/2)，且S2O＝4l，S1O＝S3O＝5l（l为波长），求O点的合振动方程。（设传播过程中各波振幅不变）
解：每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O点的振动方程可写成
A2
A1
π/4
A3
A=ΣAi
0
y
y1 = A1 c o s (ωt +π/ 2 )
y2 = A 2c o s ωt
y3 = A3 c o s (ωt -π/ 2 )
其中A1 = A2 =A， A3 = 2A , 在O点，三个振动叠加，利用振幅矢量图及多边形加法（如图）
可得合振动方程 y =
习题14－10图
14－10 本题图中和是波长均为的两个相干波的波源，相距3/4，的位相比超前。若两波单独传播时，在过和的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是，则在、连线上外侧和外侧各点，合成波的强度分别为多少？
解：在的外侧，两波源引起的分振动的相位差
，
合振动振幅，波的强度；
在外侧，，所以I=0 。
14－11在弦线上有一简谐波，其表达式为 （SI）。为了在此弦线上形成驻波，并且在x＝0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，求其表达式。
解：设另一波的波动方程为

则驻波方程为

x＝0处为波腹，
取k＝0处，则

习题14－12图
14－12　如本题图所示，和为同位相的两相干波源，相距为L，P点距为r；波源在P点引起的振动振幅为，波源在P点引起的振动振幅为，两波波长都是，求P点的振幅。
解：两列波传到P点时的相位差
，
因而P点振幅

习题14－13图

14－13　如本题图所示，S为点波源，振动方向垂直于纸面，和是屏AB上的两个狭缝，＝a。⊥AB，并且＝b。x轴以为坐标原点，并且垂直于AB。在AB左侧，波长为；在AB右侧，波长为。求x轴上干涉加强点的坐标。
解：在坐标为x的P点，两列波引起的分振动的位相差为

代入干涉加强的条件

解出干涉加强点的坐标为

14－14　设入射波的方程式为，在x＝0处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无能量损失，求：（1）反射波的方程式；（2）合成的驻波的方程式；（3）波腹和波节的位置。
解：（1）反射点是固定端，反射时有半波损失，且振幅不变，所以反射波的方程式为

（2）合成的驻波的方程式为

（3）波腹位置满足 ，
波节位置满 ， 。
习题14－15图
14－15　如本题图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密介质的反射面。波由P点反射，OP=3λ/4，DP=λ/6。在t＝0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波和反射波的振幅皆为A，频率为。）
解：以O点为坐标原点，设入射波方程式为

在P点引起的振动方程为

反射时有半波损失，，反射波方程式为

合成驻波方程式为

由题设条件t＝0时x＝0处y＝0，，所以，

又，代入上式，得D点的振动方程

14－16　一平面简谐波的频率为500Hz，在空气中（r＝1.3kg/m3）以u＝340m/s的速度传播，到达人耳时，振幅约为A＝1.0×10-5m。试求波在耳中的平均能量密度和声强。
解：波在耳中的平均能量密度

声强就是声波的能流密度，即

这个声强略大于繁忙街道上的噪声，使人耳已感到不适应。一般正常谈话的声强约为左右。
14－17　面积为1.0m2的窗户开向街道，街中噪声在窗户的声强级为80dB。问有多少“声功率”传入窗内？
分析：首先要理解声强、声强级、声功率的物理意义，并了解它们之间的相互关系。声强是声波的能流密度I，而声强级L是描述介质中不同声波强弱的物理量。它们之间的关系为，其中 为规定声强。L的单位是贝尔（B），但常用的单位是分贝（dB），且1B = 10 dB。声功率是单位时间内声波通过某面积传递的能量，由于窗户上各处的I相同，故有。
解：根据分析，由可得声强为

则传入窗户的声功率为

14－18　若在同一介质中传播的、频率分别为1200Hz和400Hz的两声波有相同的振幅。求：（1）它们的强度之比；（2）两声波的声强级差。
解：（1）因声强，则两声波声强之比

（2）因声强级，则两声波声强级差为

14－19　一警车以25m/s的速度在静止的空气中行驶，假设车上警笛的频率为800Hz。求：（1）静止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率；（2）如果警车追赶一辆速度为15m/s的客车，则客车上的人听到的警笛声波的频率是多少？（设空气中的声速u =330m/s）
分析：由于声源与观察者之间的相对运动而产生声多普勒效应，由多普勒频率公式可解得结果。在处理这类问题时，不仅要分清观察者相对介质（空气）是静止还是运动，同时也要分清声源的运动状态。
解：（1）根据多普勒频率公式，当声源（警车）以速度运动时，静止于路边的观察者所接收到的频率为

警车驶近观察者时，式中前取“-”号，故有

警车驶离观察者时，式中前取“+”号，故有

（2）声源（警车）与客车上的观察者作同向运动时，观察者收到的频率为

14－20　一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m/s的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地面以65m/s的速率向左运动。设空气中声速为331m/s。求：（1）声源在空气中发出的声音的波长；（2）反射回的声音的频率和波长。
解： （1）在声源运动的前方

在声源运动的后方

（2）反射面接收到的频率为

反射后声音的频率为

波长为