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七年级数学家庭辅导-第二十三章-一元二次方程-华东师大版.doc
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第二十三章 一元二次方程 l 应知 一、基本概念 一元二次方程:两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。 一元二次方程的根:一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 【注意】由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的解,还要检验这些根是否符合题意,符合题意的才真正是实际问题的解. 二、基本法则 1. 解一元二次方程的方法 直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知,当时,,,当b<0时,方程没有实数根。 因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 配方法:配方法是将一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)变形为的形式,然后求解的方法。其理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有。配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。 公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式: 2. 解一元二次方程的步骤 ①因式分解法解一元二次方程的步骤: 首先把方程右边化为为零,左边通过因式分解化为两个一次因式乘积,由于两个一次因式相乘为零,第一个因式为零或第二个因式为零,可各解得一个根。 【注意】使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式,否则,将会失去一个根。 ②用配方法解一元二次方程的步骤: (1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式; (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解. 【注意】用配方法解一元二次方程,当二次项系数不为一时,一定要化为一,然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 ③用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,当b2-4ac≥0时,方程的解为x=,当b2-4ac<0时,一元二次方程无解。用公式法解一元二次方程时,一定要把一元二次方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,准确确定a、b、c的值。b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用"△"来表示,即△=b2-4ac,"△"读作"delta".一元二次方程的根的情况与判别式△的关系: 当△>0时,方程有两个不相等的实数根 ,当△=0时,方程有两个相等的实数根 ,当△<0时,方程没有实数根。 ④列一元二次方程解应用题的一般步骤:可概括为审、设、列、解、答。 ⑴审:弄清题目中涉及到的已知量与未知量,找出反映已知量与未知量等量关系的句子。 ⑵设:用x表示未知数,把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来。 ⑶列:利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程。 ⑷解:解一元二次方程,注意要检验所得的解是否满足题意。 ⑸答:写出答案。 3. 常用术语含意: 翻一番:即为原净收入的2倍。 平均年增长率:指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加,而增长的绝对数是不相同的。 l 应会 1. 会把一元二次方程化成为一般形式。 2. 会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3. 能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 l 例题 1. 求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程. 2. 用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6 3. 如图(a)、(b)所示,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动. (1) 如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟,使S△PBQ=8cm2. (2) 如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P 到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在 CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于 12.6cm2.(友情提示:过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则:) 4. 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率. 5. 某数学兴趣小组对关于x的方程+(m-2)x-1=0提出了下列问题. (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程. (2)若使方程为一元一次方程,m是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 6. 某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率. 7. 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡,甲种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,乙种贺年卡平均每天可售出200张,每张盈利0.75元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元,那么商场平均每天可多售出100张;如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元,那么商场平均每天可多售出34张.如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元,那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大. 8. 某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 9. 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车. (1)从刹车到停车用了多少时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s)? 10. 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头:小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里) l 参考答案 观察与分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可。 1. 证明:m2-8m+17=(m-4)2+1 ∵(m-4)2≥0 ∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0 ∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程 观察与分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4=(6x+7)+,x+1=(6x+7)-,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法。 2. 解:设6x+7=y 则3x+4=y+,x+1=y- 依题意,得:y2(y+)(y-)=6 去分母,得:y2(y+1)(y-1)=72 y2(y2-1)=72, y4-y2=72 (y2-)2= y2-=± y2=9或y2=-8(舍) ∴y=±3 当y=3时,6x+7=3 6x=-4 x=- 当y=-3时,6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以,原方程的根为x1=-,x2=- 观察与分析: (1)设经过x秒钟,使S△PBQ=8cm2,那么AP=x,PB=6-x,QB=2x,由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型. (2)设经过y秒钟,这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2.因为AB=6,BC=8,由勾股定理得:AC=10,又由于PA=y,CP=(14-y),CQ=(2y-8),又由友情提示,便可得到DQ,那么根据三角形的面积公式即可建模。 3. 解:(1)设x秒,点P在AB上,点Q在BC上,且使△PBQ的面积为8cm2. 则:(6-x)·2x=8 整理,得:x2-6x+8=0 解得:x1=2,x2=4 ∴经过2秒,点P到离A点1×2=2cm处,点Q离B点2×2=4cm处,经过4秒,点P到离A点1×4=4cm处,点Q离B点2×4=8cm处,所以它们都符合要求. (2)设y秒后点P移到BC上,且有CP=(14-y)cm,点Q在CA上移动,且使CQ=(2y-8)cm,过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则有 ∵AB=6,BC=8 ∴由勾股定理,得:AC==10 ∴DQ= 则:(14-y)·=12.6 整理,得:y2-18y+77=0 解得:y1=7,y2=11 即经过7秒,点P在BC上距C点7cm处(CP=14-y=7),点Q在CA上距C点6cm处(CQ=2y-8=6),使△PCD的面积为12.6cm2. 经过11秒,点P在BC上距C点3cm处,点Q在CA上距C点14cm>10, ∴点Q已超过CA的范围,即此解不存在. ∴本小题只有一解y1=7. 观察与分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 4. 解:设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%. 观察与分析:能. (1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0. (2)要使它为一元一次方程,必须满足: ①或②或③ 5. 解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2 m2=1 m=±1 当m=1时,m+1=1+1=2≠0 当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去) ∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0 a=2,b=-1,c=-1 b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9 x= x1=,x2=- 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=-. (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0 因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意. ②当m2+1=0,m不存在. ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意. 当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0, 解得:x=-1 当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=-. 观察与分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其它依此类推。 6. 解:设这种存款方式的年利率为x 则:1000+2000x·80%+(1000+2000x·8%)x·80%=1320 整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0 解得:x1=-2(不符,舍去),x2==0.125=12.5% 答:所求的年利率是12.5%. 观察与分析:原来,两种贺年卡平均每天的盈利一样多,都是150元;,从这些数目看,好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大,其实并非如此。 7. 解:(1)从题意可知,商场要想平均每天盈利120元,甲种贺年卡应降价0.1元. (2)乙种贺年卡:设每张乙种贺年卡应降价y元, 则:(0.75-y)(200+×34)=120 即(-y)(200+136y)=120 整理:得68y2+49y-15=0 y= ∴y≈-0.98(不符题意,应舍去) y≈0.23元 答:乙种贺年卡每张降价的绝对量大. 【注意】从以上一些绝对量的比较,不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律. 观察与分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,渠底为x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模。 8. 解:(1)设渠深为xm 则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2)m 依题意,得:(x+2+x+0.4)x=1.6 整理,得:5x2+6x-8=0 解得:x1==0.8m,x2=-2(舍) ∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m. (2)=25天 答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道。 观察与分析:分析:(1)刚刹车时时速还是20m/s,以后逐渐减少,停车时时速为0.因为刹车以后,其速度的减少都是受摩擦力而造成的,所以可以理解是匀速的,因此,其平均速度为=10m/s,那么根据:路程=速度×时间,便可求出所求的时间. (2)很明显,刚要刹车时车速为20m/s,停车车速为0,车速减少值为20-0=20,因为车速减少值20,是在从刹车到停车所用的时间内完成的,所以20除以从刹车到停车的时间即可. (3)设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs.由于平均每秒减少车速已从上题求出,所以便可求出滑行到15米的车速,从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度,再根据:路程=速度×时间,便可求出x的值。 9. 解:(1)从刹车到停车所用的路程是25m;从刹车到停车的平均车速是=10(m/s) 那么从刹车到停车所用的时间是=2.5(s) (2)从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8(m/s) (3)设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs,这时车速为(20-8x)m/s 则这段路程内的平均车速为=(20-4x)m/s 所以x(20-4x)=15 整理得:4x2-20x+15=0 解方程:得x= x1≈4.08(不合,舍去),x2≈0.9(s) 答:刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s. 观察与分析:(1)因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形,△DFC也是等腰直角三角形,AC可求,CD就可求,因此由勾股定理便可求DF的长. (2)要求补给船航行的距离就是求DE的长度,DF已求,因此,只要在Rt△DEF中,由勾股定理即可求。 10. 解:(1)连结DF,则DF⊥BC ∵AB⊥BC,AB=BC=200海里. ∴AC=AB=200海里,∠C=45° ∴CD=AC=100海里 DF=CF,DF=CD ∴DF=CF=CD=×100=100(海里) 所以,小岛D和小岛F相距100海里. (2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里, EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里 在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程 x2=1002+(300-2x)2 整理,得3x2-1200x+100000=0 解这个方程,得:x1=200-≈118.4 x2=200+(不合题意,舍去) 所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里。- 配套讲稿:
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