“模型思想”在2022年新高考全国Ⅱ卷中的应用探析.pdf

“模型思想”在 年新高考全国卷中的应用探析福建师范大学附属福清德旺中学（）周丹福建省福清市进修学校（）林新建 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的素养 数学模型是借用数学的语言讲述现实世界中的数量、图形有关的故事，使数学走出了自我封闭的世界，构建了与现实世界的桥梁 在解题过程中，“模型思想”的建立，能帮助我们更好地挖掘模型或者建构模型，从而将复杂的问题化归转化为简单的数学模型进行求解，进一步培养学生的核心素养，在教学中具有实际的意义 以下就“模型思想”在 年新高考全国卷中的应用作一探析，以飨读者一、挖掘模型应用“模型思想”在题中挖掘所蕴藏的数学模型，借助找出的数学模型简化运算，将问题轻松解决例（第 题）已知向量珗（，），珒（，），珒珗珒，若 珗，珒珒，珒，则（）解析：由向量珗（，），珒（，），珒珗珒，得珒（，），珗 ，珒 由珗，珒 珒，珒得 珗，珒 珒，珒，即珗 珒珗 珒 珒 珒珒 珒，化简得()，解得实数 ，故选 评析：该求解过程中规中矩，此时如果能有模型观念，应用“模型思想”来识别或者建构模型，将为解题带来很多便利，此题中珒 可以用不共线得两个向量珗，珒 线性表示，因此可以建构一个平行四边形模型进行求解，再由 珗，珒珒，珒可将模型优化成菱形进行求解解析：因为珗（，），珒（，），则 珗，珒，在平面直角坐标系中作 珗，珒，设珒 ，由珒珗珒 知，四边形 是平行四边形，又 珗，珒珒，珒，得四边形 是菱形，因此 ，即 珗珒珒，得 评析：本题中强调用数学的眼光去直观想象并进行数学抽象，一步步地抽象出菱形模型，是“模型思想”的应用，整个过程进行逻辑推理，培养了学生的数学眼光、数学思维和数学核心素养例 （第 题）若 ，满足 ，则（）解析 ：由 ，可得（）（槡），令 ，槡 ，则槡 ，槡 ，槡 （），故 错，对（槡 ）（槡 ）槡 （），故 对，错 综上，选 、以上的解法利用了三角函数进行求解判断，化简过程较易出错，此时如果能借助基本不等式常用模型 ()进行化归转化，就可以轻松判断结果解析：要判断 的大小，可将 化为()，有()()()()，即()，当且仅当 时取等号，故 ，故选，不选 ；要判断 的大小，由 得 ，即，当且仅当 时取等号，故 ，故选 不选 综上，选 、例（第 题）已知直线 与椭圆在第一象限交于，两点，与 轴、轴分别相交于 年第 期中学数学研究，两点，且 ，槡，则 的方程为分析：由 可知，线段 中点与线段 中点重合，这样就可以将问题抽象为中点重合模型进行求解解析：由 可知线段中点与线段 中点重合 设 （，），（，），线段 的中点为，()，则有，由，整理得 ，得 设直线 的方程为 ，则（，），（，），（，），又 ，解得槡，槡，槡槡，化为 ，解得 的方程为槡，即 槡 槡 评析：本题通过数学抽象，抽象出中点重合的模型，注重对数学运算的考查，中点模型的给出可以简化运算，而圆锥曲线简化运算实际上是基于数学抽象和逻辑推理下的运算简化，进一步也培养了学生的数学抽象和逻辑推理素养二、建构模型应用“模型思想”，借助一些现有模型特征构建满足题意的新模型，或通过观察、分析数学式子特征，建构适当的模型，帮助问题更好、更快地解决例 （第 题）已知函数 （）的定义域为 ，且 （）（）（）（），()，则 （）（）解析 ：（）（）（）（），令 ，得 （）（）（），即 （）（）（），（）（）（），（）（）（），（）（），则 （）（）（），（）的周期为 ，又()令 ，得()()()()，得()又（）（）（），()()()，()()()，()()()()，()()()()，()()()()，（），（）（）（）（）（）()()()()，故选 评析：利用常规的赋值法经过多次的迭代得出函数 （）的周期，再将一个周期内得每个函数值求出，最后代入求解，此种方法是对赋值法的考查，需要多次的迭代和计算，用时较长，这是一题选择题，只要能找出一个满足条件的数学模型，简单的代入求解即可本题可由余弦函数积化和差公式：()()，令()，可抽象出 （）（）（）（）模型，通过待定系数法，建构出函数()模型进行求解解析 ：设()()，代入 （）（）（）（）得 ，又()，代入()得 或 ，取，故()，易得周期为 ，且()，()，()，()，()，()，（）（）（）（）（）()()()()评析：本解法先通过对模型的初步识别，发现这个模型与两角和余弦公式的模型类似，由此受到启发，通过待定系数法建构合理的建模，实现从特殊到一般，再从一般到特殊的转化，实际上也是数学抽象的培育过程例 （第 题）已知函数 （）（）当 时，讨论 （）的单调性；（）当 时，（），求 的取值范围；（）设 ，证明：槡槡槡 （）分析：（）要证这个不等式，观察发现不等式左边为前 项和，因此可把右边式子也拆成前 项和：中学数学研究 年第 期()()()()()，这样就将问题转化为证明槡()要证明这个不等式，不等式左右两边要有一致性，观察发现，此不等式左边槡()槡槡槡槡；右边 ()槡()槡故此时令 槡()，不等式就转化为证明 （），这样就找到了我们要建构的一个简单的模型：()（），只需通过求导很容易可证得()，那么问题就迎刃而解解析：（）令()（），则()()，()在 ，()上单调递增，()()，（）令槡，则 有槡槡 槡，得槡 （），故槡 （），槡 （）（）（），即槡槡 槡 （），得证评析：引导学生分析观察数学式子，猜测探究适当的数学结论，给出解释或证明，培养学生直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学建模核心素养三、结语“模型思想”的培养，不止可以帮助学生快速地挖掘或建构合理的模型来解决问题，从而有效地简化求解途径，还能通过数学建模的过程，提高学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力在“模型思想”的培养过程中，教师要引导学生用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去概括，进一步使学生掌握必备的基础知识和关键能力，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等素养参考文献 吴秋萍、林新建“模型思想”在全国卷三角试题中的应用探析 ，福建中学数学，：檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻 数学建模视角下与导数有关的不等式问题妙解路径福建省永春县教师进修学校（）郑坚帜具有“（）（），（）（），（）（）”等特征式的不等式求解客观题，常利用函数单调性求解不等式，是近几年高考命题的一种热点题型，主要考查利用函数的单调性与奇偶性等函数性质求解不等式，考查转化思想与运算求解能力，本文从求导公式出发，将 （）（），（）（），（）（）的外形结构特征与导数运算法则相结合，合理构造相关的可导函数，建立数学模型，利用函数的性质进行解题，探讨了三类与导数有关的不等式问题妙解路径第一类 构造 （）（）（，且 ）函数模型 年第 期中学数学研究基金项目：年泉州市基础教育教学改革专项课题“新高考视角下高中数学质优生小班化提升实践研究”（立项编号：）