分数阶广义Birkhoff系统的Mei对称性及其守恒量.pdf
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1、分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性及其守恒量王璐1,张毅2*(1.苏州科技大学数学科学学院,江苏苏州215009;2.苏州科技大学土木工程学院,江苏苏州215011)摘要:研究分数阶广义 Birkhoff 系统的对称性和守恒律.首先,根据分数阶广义 Pfaff-Birkhoff 原理,建立分数阶广义 Birkhoff 系统的运动微分方程;其次,基于动力学函数在经历群的无限小变换后仍然满足原方程的不变性,给出分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性的定义和判据方程;再次,建立并证明该系统的 Mei 对称性定理,给出分数阶 Mei 守恒量.整数阶广义 Birkhoff
2、 系统、分数阶 Birkhoff 系统和分数阶 Hamilton 系统Mei 对称性定理是其特例,最后举例以说明定理的应用.关键词:分数阶微积分;广义 Birkhoff 系统;Mei 对称性;Mei 守恒量中图分类号:O316文献标志码:A文章编号:02587971(2023)04084609分数阶微积分的历史可追溯到 Newton 和 Leibniz 创立微积分的时代,但第 1 部关于分数阶微积分的专著直到 1974 年才问世,作者是 Oldham 和 Spanier1.由于在描述自然现象时所体现出的历史依赖性和空间全域性特征,分数阶微积分为描述具有能量耗散的、涉及记忆性和全局相关性的、复杂
3、物理和力学过程提供了新颖的数学工具.自 20 世纪 90 年代以来,分数阶微积分已被广泛应用于物理学、力学和工程等诸多领域2-6.Riewe7-8将分数阶微积分引入非保守耗散问题的动力学建模.随后 Agrawal9、Baleanu10-11、Atanackovi12-13和 Cresson14等从不同角度研究了分数阶变分问题及其 Noether 对称性.张毅等15-18提出并研究了分数阶 Pfaff 变分问题和分数阶 Birkhoff 系统的 Noether 对称性和 Lie 对称性.广义 Birkhoff 方程是一类带有附加项的 Birkhoff 方程19.由于附加项的调节作用,广义 Bir
4、khoff 系统更易于建构.例如,著名的 VanderPol 方程的 Birkhoff 化比较困难,但将其化成广义 Birkhoff 方程就很容易20.近年来,广义Birkhoff 系统动力学的研究已取得新的进展,如:梯度系统与运动稳定性21-23、变分积分子24、分数阶Noether 定理25-26、时间尺度情形27-28等.本文将进一步研究分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性与Mei 守恒量.Mei 对称性是指动力学函数在经历群的无限小变换后仍然满足原方程的不变性29,它可直接导致与经典 Noether 守恒量以及 Hojman 守恒量不同的 Mei 守恒量30-36.文中
5、依据分数阶广义 Pfaff-Birkhoff 原理建立分数阶广义 Birkhoff 方程,给出分数阶 Mei 对称性的判据,证明分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性定理并给出其若干特例.1分数阶导数及其基本性质Caputo 型、Riemann-Liouville 型和 Rieze 型是常见的分数阶微积分类型37.为方便读者,这里对分数阶导数做一些简单介绍.f(t)g(t)a,bCaDtf(t)设函数和在区间上连续可积,Caputo 型分数阶左导数定义为CaDtf(t)=aI1tddtf(t)=1(1)wta(t)ddf()d.(1)收稿日期:2022-01-15;接受日期:20
6、22-10-08;网络出版日期:2022-10-21基金项目:国家自然科学基金(11972241);江苏省自然科学基金(BK20191454);江苏省研究生科研创新计划(KYCX21_3002).作者简介:王璐(1997),女,江苏人,硕士生,主要研究力学中的数学方法.E-mail:.*通信作者:张毅(1964),男,江苏人,教授,博士生导师,主要研究分析力学.E-mail:.云南大学学报(自然科学版),2023,45(4):846854JournalofYunnanUniversity:NaturalSciencesEditionDOI:10.7540/j.ynu.20220003CtDbf
7、(t)Caputo 型分数阶右导数定义为CtDbf(t)=tI1bddtf(t)=1(1)wbt(t)ddf()d,(2)()0 1式中:是 Euler-Gamma 函数,是导数的阶,且.f(t)g(t)a,bf(a)=f(b)=0设和是区间上的光滑函数,且,则分数阶分部积分公式为wbag(t)CaDtf(t)dt=wbaf(t)CtDbg(t)dt(3)和wbag(t)CtDbf(t)dt=wbaf(t)CaDtg(t)dt.(4)1当时,分数阶导数则退化为经典导数,即aD1tf(t)=CaD1tf(t)=CtD1bf(t)=ddtf(t),(5)0 1f(a)=0如果,且,则有ddtCaD
8、tf(t)=CaDtddtf(t)=CaD+1tf(t).(6)2分数阶广义 Birkhoff 系统的运动微分方程2na=a(t)B=B(t,av)R=R(t,av)=(t,a),=1,2,2n下面研究由个变量构成的分数阶广义 Birkhoff 系统.设 Birkhoff 函数为,Birkhoff 函数组为,附加项为,其中.设分数阶 Pfaff 作用量为S=wt2t1R(t,av)Ct1DtaB(t,av)dt,(7)分数阶 Pfaff-Birkhoff 原理可表示为S=0.(8)原理(8)可推广到以下形式wt2t1(R(t,av)Ct1DtaB(t,av)+Wdt=0,(9)式中:W=(t,
9、av)a,(10)且满足交换关系和边界条件Ct1Dta=Ct1Dta,CtDt2a=CtDt2a,(11)a?t=t1=a?t=t2=0.(12)由原理(9)及交换关系(11)和边界条件(12),易得wt2t1RaCt1Dta+tDt2RBa+adt=0,(13)t1,t2a(=1,2,2n)注意到积分区间的任意性以及的独立性,得RaCt1Dta+tDt2RBa+=0,(14)1称方程(14)为 Caputo 导数下分数阶广义 Birkhoff 方程,当时,方程(14)退化为整数阶广义 Birkhoff方程RaRa aBaRt+=0.(15)第45卷王璐等:分数阶广义 Birkhoff 系统的
10、 Mei 对称性及其守恒量8473分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性ta引入时间 和变量的无限小变换t=t+t,a(t)=a(t)+a,(=1,2,2n),(16)其展开式为t=t+0(t,a),a(t)=a(t)+(t,a),(=1,2,2n).(17)由式(16)和式(17)得到a=a at=(a0),(=1,2,2n),(18)BRBR在变换(16)下,动力学函数,和变换为,和,有R=R(t,a)=R(t,a)+X(0)(R)+O(2),B=B(t,a)=B(t,a)+X(0)(B)+O(2),=(t,a)=(t,a)+X(0)()+O(2),(19)式中:X(0)=0
11、t+a.(20)定定义义 1对于分数阶广义 Birkhoff 系统(14),若RaCt1Dta+tDt2RBa+=0(21)成立,则变换(16)称为 Mei 对称性的.于是有:判判据据 1如果变换(16)满足如下判据方程X(0)(R)aCt1Dta+tDt2X(0)(R)X(0)(B)a=X(0)(),(22)则变换(16)相应于分数阶广义 Birkhoff 系统(14)的 Mei 对称性.4分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性定理下面给出 Caputo 导数下分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性定理.G=G(t,av)0,定定理理 1对于分数阶广义 Birkh
12、off 系统(14),如果存在规范函数使无限小生成元满足如下结构方程X(0)X(0)(R)Ct1DtaX(0)X(0)(B)+X(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)0+X(0)(R)Ct1DtCt1Dt(a0)+0Ct1Dt a+X(0)()(a0)+G=0,(23)则该系统存在如下形式的 Mei 守恒量I=X(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)0+wtt1X(0)(R)Ct1D(a0)(a0)CDt2X(0)(R)d+G.(24)848云南大学学报(自然科学版)http:/第45卷证明证明dIdt=ddtX(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)0+X(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)
13、ddt0+X(0)(R)Ct1Dt(a0)(a0)CtDt2X(0)(R)+G=0X(0)(R)av avCt1Dta+0X(0)(R)tCt1Dta+0X(0)(R)Ct1Dt a0X(0)(B)av av0X(0)(B)t+X(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)0+X(0)(R)Ct1Dt(a0)(a0)CtDt2X(0)(R)+G.(25)根据判据方程(22)和结构方程(23)得到dIdt=X(0)X(0)(R)Ct1DtaX(0)X(0)(B)+X(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)0+X(0)(R)Ct1DtCt1Dt(a0)+0Ct1Dt a+X(0)()(a0)+GX(0)(
14、R)aCt1DtaX(0)(B)a+CtDt2X(0)(R)+X(0)()+X(0)(R)aCt1DtaX(0)(B)a+CtDt2X(0)(R)+X(0)()a0=0.(26)证毕.式(24)可称为分数阶广义 Birkhoff 系统(14)的 Mei 守恒量,它是由 Mei 对称性导致的.5讨论由判据 1 和定理 1 可分别得到整数阶广义 Birkhoff 系统、分数阶 Birkhoff 系统和分数阶 Hamilton 系统的 Mei 对称性的判据和 Mei 对称性定理.15.1整数阶广义 Birkhoff 系统当时,判据 1 和定理 1 成为判判据据 2对于整数阶广义 Birkhoff 系
15、统(15),假设变换(16)满足判据方程X(0)(R)aX(0)(R)a aX(0)(B)aX(0)(R)t=X(0)(),(27)则变换(16)相应于该系统的 Mei 对称性.定定理理 2对于整数阶广义 Birkhoff 系统(15),假设变换(16)满足判据方程(27),则该系统存在如下形式的 Mei 守恒量I=X(0)(R)X(0)(B)0+G,(28)G=G(t,a)式中:规范函数满足如下结构方程X(0)X(0)(R)aX(0)X(0)(B)X(0)(B)0+X(0)(R)+X(0)()(a0)+G=0.(29)判据 2 和定理 2 是整数阶广义 Birkhoff 系统(15)的 Me
16、i 对称性的判据和 Mei 对称性定理.5.2分数阶 Birkhoff 系统当附加项不存在时,方程(14)退化为RaCt1Dta+tDt2RBa=0,(30)这是分数阶 Birkhoff 方程.此时判据 1 和定理 1 成为判判据据 3对于分数阶 Birkhoff 系统(30),若变换(16)满足以下判据方程X(0)(R)aCt1Dta+tDt2X(0)(R)X(0)(B)a=0,(31)第45卷王璐等:分数阶广义 Birkhoff 系统的 Mei 对称性及其守恒量849则变换(16)相应于该系统的 Mei 对称性.定定理理 3对于分数阶 Birkhoff 系统(30),若变换(16)满足判据
17、方程(31),则该系统存在如下形式的Mei 守恒量I=X(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)0+wtt1X(0)(R)Ct1D(a0)(a0)CDt2X(0)(R)d+G.(32)G=G(t,av)其中,规范函数满足以下结构方程X(0)X(0)(R)Ct1DtaX(0)X(0)(B)+X(0)(R)Ct1DtaX(0)(B)0+X(0)(R)Ct1DtCt1Dt(a0)+0Ct1Dt a+G=0.(33)qkpkH=H(t,qk,pk)5.3分数阶 Hamilton 系统Hamilton 系统可看作 Birkhoff 系统的特殊情形.设广义坐标为,广义动量为,Hamilton 函数为.令a=
18、q(=1,2,n),pn(=n+1,n+2,2n),(34)同时 Birkhoff 函数组也分为相应的两组,R=p(=1,2,n)0(=n+1,n+2,2n),(35)B=H,(36)则分数阶 Hamilton 原理为wt2t1(pkCt1DtqkH)dt=0,(37)因此,分数阶 Birkhoff 系统(30)可退化为Ct1Dtqk=Hpk,CtDt2pk=Hqk,(k=1,2,n),(38)式(38)为分数阶 Hamilton 正则方程.引入无限小变换t=t+0(t,qs,ps),qk(t)=qk(t)+k(t,qs,ps),pk(t)=pk(t)+k(t,qs,ps),(k=1,2,n)
19、,(39)0kk其中,为无限小生成元.由判据 1 和定理 1,可得到判判据据 4对于分数阶 Hamilton 系统(38),若变换(39)满足判据方程X(0)(ps)pkCt1DtqsX(0)(H)pk=0,X(0)(ps)qkCt1Dtqs+CtDt2X(0)(pk)X(0)(H)qk=0,(k=1,2,n),(40)式中:X(0)=0t+kqk+kpk,(41)则变换(39)相应于该系统的 Mei 对称性.850云南大学学报(自然科学版)http:/第45卷定定理理 4若变换(39)满足判据方程(40),则分数阶 Hamilton 系统(38)存在如下形式的 Mei 守恒量I=X(0)(p
20、k)Ct1DtqkX(0)(H)0+wtt1X(0)(pk)Ct1D(k qk0)(k qk0)CDt2X(0)(pk)d+G,(42)G=G(t,p,q)式中:规范函数满足以下结构方程X(0)X(0)(pk)Ct1DtqkX(0)X(0)(H)+X(0)(pk)Ct1DtqkX(0)(H)0+X(0)(pk)Ct1DtkCt1Dt(qk0)+0Ct1Dt qk+G=0.(43)定理 4 是 Caputo 导数下分数阶 Hamilton 系统(38)的 Mei 对称性定理.式(43)可称为分数阶 Hamilton系统(38)的 Mei 守恒量.6算例例例 1设分数阶 Birkhoff 系统的
21、Birkhoff 函数和 Birkhoff 函数组分别为B=12(a3)2+a2,R1=a3,R2=a4,R3=0,R4=0,(44)1=0,2=0,3=0,4=a4,(45)求解该系统的 Mei 对称性及相应的 Mei 守恒量.首先,将式(44)和式(45)代入分数阶广义 Birkhoff 方程(14)中,得到方程CtDt2a3=0,CtDt2a41=0,Ct1Dta1a3=0,CtDt2a2a4=0,(46)X(0)(B)=a33+2,X(0)(R1)=3,X(0)(R2)=4,和X(0)(R3)=X(0)(R4)=0,X(0)(1)=X(0)(2)=X(0)(3)=0,X(0)(4)=4
22、.(47)将式(46)和式(47)代入判据方程(22)得到4a1Ct1Dta23a1a32a1+CtDt23=0,2a2+CtDt24=0,4a3Ct1Dta232a3=0,4a4Ct1Dta22a44=0,(48)方程(48)有解0=1,1=0,2=12(a3)2,3=a3,4=0.(49)将生成元(49)代入结构方程(23),得G=0,(50)从而可以得到相应的守恒量I=a3Ct1Da112(a3)2+wtt1a3Ct1D(a1)+a1CDt2a3d=const.(51)1将时,式(51)写成I=12(a3)2=const.(52)第45卷王璐等:分数阶广义 Birkhoff 系统的 Me
23、i 对称性及其守恒量8517结论文章将 Mei 对称性方法推广到分数阶广义 Birkohff 系统,给出了分数阶广义 Birkohff 系统的 Mei 守恒量.主要贡献在于:一是依据 Mei 对称性的定义,得到了分数阶广义 Birkohff 系统 Mei 对称性的判据方程(22).二是建立并证明了 Mei 对称性定理(定理 1),得到了 Mei 守恒量(24).三是讨论了 3 种特殊情形:整数阶广义 Birkhoff 系统、分数阶 Birkhoff 系统和分数阶 Hamilton 系统.文章结果可进一步推广至其它类型的分数阶模型,如广义分数阶导数算子38-39等.参考文献:OldhamKB,S
24、panierJ.ThefractionalcalculusM.SanDiego:AcademicPress,USA,1974.1PodlubnyI.FractionaldifferentialequationsM.SanDiego:AcademicPress,USA,1999.2KilbasAA,SrivastavaHM,TrujilloJJ.TheoryandapplicationsoffractionaldifferentialequationsM.Amsterdam:El-sevierBV,2006.3陈文,孙洪广,李西成,等.力学与工程问题的分数阶导数建模M.北京:科学出版社,2010
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