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第五章 方差分析
统计假设测验只适用于单个样本或两个样本。当样本个数k≥3时，则需要采用另一种统计分析方法，即方差分析。
第一节 方差分析基础(基本原理)
假设有k个样本(组),每个组(样本)有n个观察值，则经过初步整理的数据形式如表5.1。
表5.1 k×n数据结构表
组别
(样本)
观察值
和
平均
1
2
3
…
j
…
n
1

…

…

2

…

…

3

…

…

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
i

…

…

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
k

…

…

一、自由度和平方和的分解

∵ (平均数的第一条性质)
∴
同理有：

以上各式等号左右两边分别相加，得：

上式一般表示为：

其中表示总平方和，由观察值之间的差异而引起的变异；表示组间平方和或样本间平方和，是由组间或样本间的不同而引起的变异；表示组内平方和，是由相同的组或样本内的不同观察值间的差异而引起的变异，由于相同的组或样本处于相同的条件下，因此组内平方和实际上表示由随机误差引起的变异，所以组内平方和又称误差平方和。
这种将总的平方和分解成组间平方和与误差平方和的过程和方法称为平方和的分解，随着变异来源的进一步增加，还可以分解成不同的部分。
在平方和的分解式子中，各部分的计算公式如下：

则
需要指出的是，在组间平方和中除了组间固有的差异引起的变异外，还包含有随机误差引起的变异在内。
与平方和的分解相对应，自由度也分解成相应的部分，即：，其中，，而。
平方和和自由度分解的目的是为了计算相应的均方，根据南均方的概念和定义，即有：
，，，其中表示总的变异程度大小，也可用表示；一般表示由处理效应和随机误差共同引起的变异程度大小，也可用表示；表示单纯由随机误差引起的变异程度大小，也可表示。

例5.1 设有三个葡萄品种，随机抽样，每品种各测定5株的单株果重，问品种间的单株果重有无显著差异？

表5.1.1 葡萄不同品种单株果重(㎏)
品种
单 株 果 重
和
平均
甲
11
6
12
8
6
43
8.6
乙
12
16
21
13
16
78
15.6
丙
13
12
8
3
6
42
8.4

163
10.9

解：(1)自由度和平方和的分解

二、F测验
在一个平均数为μ，方差为σ2的正态总体中，随机抽取两个独立样本，分别求得其均方和，将和的比值定义为F，即：

此F值具有的自由度df1和的自由度df2。如果在给定的df1和df2下按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F值而构成一个F分布。其分布曲线如图5.1：

从图5.1中可以看出，F分布具有如下特征：
1. F分布是具有平均数和取值区间为[0,∞]的一组曲线；
2. F分布某一特定曲线的形状仅决定于参数和；
3. 在或时，曲线呈反向J型，而，曲线呈偏态。
F分布某一特定区间的概率可以从统计表中查出。从本课程教材P361附表5中可以查出在α=0.05和α=0.01的F临界值(需注意的是，附表5属一尾概率表)。
在试验结果中，由于处理间均方内还包含有部分误差均方所引起变异，总体方差也一样，因此只有处理间总体方差大于误差总体方差时才能确定处理间有真实差异存在。要判断处理间有没有真实差异，需要经过F测验( ，)来确定。
，然后根据dft和dfe查F临界值表得F0.05和F0.01，然后进行比较。
当F≥F0.01时，表示处理间方差极显著大于误差方差，此时处理间有极显著差异存在,此时在F值的右上角标上两个“*” ；
当F0.01>F≥F0.05时，表示处理间方差显著大于误差方差，处理间有显著差异存在，此时在F值的右上角标上一个“*”；
当F<F0.05时，表示处理间方差和误差方差相同，处理间没有显著差异，即处理间的差异完全由随机误差所引起，此时在F值的右上角不标任何符号。
根据比较结果，一般要求列出方差分析表，其基本形式如下表。
表5.2 ×××方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F
F0.05
F0.01
样本间

F
F0.05
F0.01
误差

例如例5.1的F测验如下：
(2) F测验
表5.1.2 葡萄不同品种单株果重方差分析表
变异来源
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
品种间
168.1333
2
84.067
6.74*
3.89
6.93
误差
149.6000
12
12.467

结果表明，不同品种间的单株果重有显著差异。
当F测验有显著或极显著差异时，仅表示样本(处理)间在整体上有差异，但这种差异到底来自于哪些样本(处理)间，在此并不清楚，需要进行多重比较以明确产生差异的具体原因。
三、多重比较
即样本(处理)间的两两比较，其目的是分析样本(处理)间产生差异的具体原因。
(一)、最小显著差数法(LSD法)
最小显著差数法的实质是t测验，其测验步骤如下：
1. 计算平均数差数标准误

当时，则

2. 计算最小显著差数()
当时接受HA，即

则，即

其中tα通过误差自由度dfe查附表4获得。
3. 进行平均数差数的比较
按样本(处理)平均数从大到小排列，列梯形表计算平均数差数的绝对值，然后分别以和为标准进行比较。
当时，表明两个样本(处理)间差异极显著，在相应差值的右上角标上两个“*” ；当时，表明差异显著，在相应差值的右上角标上一个“*” ；当时，表明差异不显著，在相应差值的右上角不标任何符号。
如例5.1的LSD法比较过程如下：
(3)
则
表5.1.3 葡萄不同品种单株果重差异显著性比较
品种

-8.4
-8.6
乙
15.6
7.2**
7.0**
甲
8.6
0.2

丙
8.4

表5.4结果表明，甲和乙、乙和丙品种的单株果重间有极显著差异，而甲和丙两品种间没有显著差异。
由于最小显著差数法的实质是t测验，而t测验最多只能用于两个样本(处理)的比较，当样本数(处理数)k≥3时，该法的标准较低，易犯第一类错误，因此难以保证试验结果的可靠性。但如果每一个样本(处理)只需与对照进行比较，而样本(处理)间不需进行比较时，可以采用此法。
(二)、新复极差法(SSR法)
该法在不同样本(处理)间采用不同的比较标准，可以用于多个样本(处理)间的两两相互比较。其基本步骤如下：
1. 计算标准误(SE)

2. 计算最小显著极差
，即

其中SSR0.05和SSR0.01均根据误差自由度dfe查教材P371附表8查得(其中秩次距p从2一直取到和k相同)。
3. 进行平均数差异显著性比较
同LSD法一样列梯形表，计算样本(处理)平均数两两间的差数的绝对值，然后进行比较。同样，当时，表明两个样本(处理)间差异极显著，在相应差值的右上角标上两个“*” ；当时，表明差异显著，在相应差值的右上角标上一个“*” ；当时，表明差异不显著，在相应差值的右上角不标任何符号。
如例5.1的SSR法比较过程如下：
(3)
根据计算出表5.1.4。
表5.1.4 葡萄不同品种单株果重比较LSRα值
P
SSR0.05
SSR0.01
LSR0.05
LSR0.01
2
3.08
4.32
4.87
6.83
3
3.23
4.55
5.10
7.19

表5.1.5 葡萄不同品种单株果重差异显著性比较
品种

-8.4
-8.6
乙
15.6
7.2**
7.0**
甲
8.6
0.2

丙
8.4

表5.1.5结果表明，甲和乙、乙和丙品种的单株果重间有极显著差异，而甲和丙两品种间没有显著差异。
(三)、q法
该法的测验步骤与SSR法相同，其区别在于计算LSRα时根据误差自由度dfe查教材P368附表7。其中：
，即

如例5.1的q法测验过程如下：
表5.1.6 葡萄不同品种单株果重比较LSRα值
P
q0.05
q0.01
LSR0.05
LSR0.01
2
3.08
4.32
4.87
6.83
3
3.77
5.05
5.96
7.98

表5.1.7 葡萄不同品种单株果重差异显著性比较
品种

-8.4
-8.6
乙
15.6
7.2*
7.0**
甲
8.6
0.2

丙
8.4

表5.1.7结果表明，甲和乙的单株果重间有显著差异差异，乙和丙品种有极显著差异，而甲和丙两品种间没有显著差异。
从以上分析过程和结果可以看出，在LSD法、SSR法和q法三种测验方法的比较中，当k=2时，三种方法的测验精度相同，并且只需F测验即可得出结论；当k≥3时，三种方法的测验精度不同，其中LSD法最低，只适用于每个样本(处理)分别只与对照的比较，而q法精度最高，SSR法居中。在具体的试验中应根据试验的目的和要求选用合适的方法，在田间试验中，由于试验结果受环境因素的干扰较大，误差较大，因此大多数均采用SSR法进行多重比较。
四、多重比较结果的表示方法
(一)、列梯形表法
该法如表5.1.3、表5.1.5、表5.1.7，根据“*”的有无和“*”数量的多少来分析判断有没有显著差异或差异显著性的程度，比较直观，但所占篇幅较大，在样本(处理)数较多时不宜采用。
(二)、划线法
按平均数的大小从小到大将所有样本(处理)进行横向排列。凡是差异不显著的，则在相应的样本(处理)正面划一条直线连接，而差异显著的，则不用直线连接。例子见教材P107。
该法直观，简单方便，但不能用于样本(处理)较多时的表示。
(三)、标记字母法
该法是目前科技文章中最常用的一种方法。在应用时，用小写字母a、b、c、…等表示α=0.05的水平，而用大写字母A、B、C、…表示α=0.01的水平。操作过程如下：
1. 将全部样本(处理)按平均数的大小从大到小依次纵向排列；
2. 在0.05水平下，在第一个样本(处理)后面标上小写字母a；
3. 将该样本(处理)的平均数依次与其后面的平均数进行比较，差异不显著时标上相同的字母a，再与下一个样本(处理)的平均数进行比较，依次进行，差异不显著的都标上相同的字母a，一直到有显著差异为止并返回。此时与第一个样本(处理)平均数没有显著差异的亲本(处理)后面暂时不标字母。
4. 然后以第二个样本(处理)后面标上小写字母b，并以其为标准依次与下面的样本(处理)的平均数进行比较，差异不显著的都标上相同的字母b，到差异显著的样本(处理)时不标字母并返回再以第三个样本(处理)标c开始，再依次进行比较，一直到最后一个样本(处理)后面标上字母(最后一个样本(处理)后面只有一个字母)为止。
5. α=0.01的水平和α=0.05的水平字母标记的方法相同，区别在于前者是用大写字母而后者用小写字母，同时前者是以极显著为标准而后者用显著作为标准。
字母标完后，根据有没有相同的字母来分析判断样本(处理)间的差异显著性，有相同小写写字母的样本(处理)间没有显著差异，没有相同大写字母的样本(处理)间有极显著差异，而没有相同小写字母而有相同大写字母的样本(处理)间有显著差异。

字母的标记最好是在有差异显著性结果的梯形表的基础上进行，否则要兼顾比较分析和标记字母就很容易出错。
如下面两个表格中的结果。
表5.1.8 水稻不同药剂处理苗高差异显著性(SSR法)
药剂
苗高
()
-14
-18
-23
D
29
15**
11**
6*
B
23
9**
5*

A
18
4

C
14

表5.1.9 水稻不同药剂处理苗高差异显著性(SSR法)
药剂
苗高
(cm)
差异显著性
5%
1%
D
29
a
A
B
23
b
AB
A
18
c
BC
C
14
c
C
另外，如果有梯形表的差异显著性结果，则可用计个数的方法来标记字母。该法基于规范的梯形表。方法是某一字母所需标记的个数是梯形表中不带“*”(在α=0.01水平上为“**”)的差值个数加1。
在以标记字母法表示多重比较结果时，要求所标字母要简练，即的所用的字母数越少越好，按以上方法所标记的字母，可能需要进一步的精简处理，其方法如下：
1. 除第一样本(处理)和最后一个样本(处理)外，其余样本(处理)后的某一个字母若在纵向上只出现一次并且在横向上其前面还有它字母时，则该字母可以去除；
2. 如果某一个字母所代表的差异显著性完全可以由其前面的某一个字母表示，则该字母可以省略；
3. 最后一个处理中多于一个的字母全部去除。
某一个字母精简后，其后的字母按顺序向前提升以保证字母的连续性。

第二节 完全随机设计试验资料的方差分析
一、单因素试验(单向分组资料)
(一)、处理间重复次数相等的方差分析
详见本章第一节，在此不赘述。
(二)、处理单果重复交粶相等的方差分析
1. 自由度和平方和的分解特点

2. 多重比较特点

例5.2 今调查元帅苹果短枝型1号、2号和普通型、小老树枝条节间的平均长度，期货结果如表5.2.1，试比较其差异显著性。
表5.2.1 元帅苹果不同类型树枝条节间长度
类型
枝 条 节 间 长 度 (cm)
总和
平均
短枝型1号
1.8
1.8
1.7
1.9
1.7
1.8
10.7
1.78
短枝型2号
1.6
1.8
1.8
1.9
1.9

9.0
1.80
普通型
2.4
2.4
2.2
2.1
2.4
2.3
13.8
2.30
小老树
1.5
1.4
1.7
1.4

6.0
1.50

39.5
1.88
解：(1)自由度和平方和的分解

(2)F测验
表5.2.2 元帅不同类型树枝条节间长度方差分析表
变异来源
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
类型间
1.7241
3
0.5747
42.89**
3.20
5.18
误差
0.2283
17
0.0134

结果表明，不同类型树枝条节间长度间有极显著差异。
(3)多重比较

表5.2.3 元帅不同类型树枝条节间长度比较LSRα值
P
SSR0.05
SSR0.01
LSR0.05
LSR0.01
2
2.98
4.10
0.152
0.209
3
3.13
4.30
0.160
0.219
4
3.22
4.41
0.164
0.225
表5.2.5 元帅不同类型树枝条节间长度差异显著性(SSR法)
类型
节间长度
(cm)
差异显著性
5%
1%
普通型
2.30
a
A
短枝型2号
1.80
b
B
短枝型1号
1.78
b
B
小老树
1.50
c
C

表5.2.4 元帅不同类型树枝条节间长度差异显著性(SSR法)
类型
节间长度
()
-1.50
-1.78
-1.80
普通型
2.30
0.80**
0.52**
0.50**
短枝型2号
1.80
0.30**
0.02

短枝型1号
1.78
0.28**

小老树
1.50

结果表明，普通型与其它三种类型的节间长度有极显著差异，短枝型1、2号与小老树间也有极显著差异，而两种短枝型间则没有显著差异。
二、两因素试验(两向分组资料)
(一)、处理组合内只有单个观察值
如果有A、B两个试验因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，则共有ab个处理组合。如果每个组合内只有1个观察值，则共有ab个观察值。
表5.3 无重复两因素完全随机设计数据结构表
A因素
B因素
A因素总和
A因素平均
1
2
3
…
j
…
b
1

…

…

2

…

…

3

…

…

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
i

…

…

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
a

…

…

B因素总和

…

…

B因素平均

…

…

则有

根据平方和的分解原理，有：

即
总平方和
，
A因素平方和

B因素平方和

误差平方和

在处理组合内只有单个观察值的两因素试验中，试验误差与互作效应是混杂的，因此只有当A×B互作效应不显著时，才能正确估计误差，从而获得可靠的结论。
F测验的方差分析表如表5.17。
表5.4 无重复两因素完全随机设计方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F
F0.05
F0.01
A因素
SSA
dfA
sA2

F0.05(dfA,dfe)
F0.01(dfA,dfe)
B因素
SSB
dfB
sB2

F0.05(dfB,dfe)
F0.01(dfB,dfe)
误差
SSe
dfe
se2

经F测验，如果A因素的不同水平间有显著或极显著差异，则对A因素进行多重比较；如果B因素的不同水平间有显著或极显著差异，则对B因素进行多重比较。
A因素的多重比较：
，
B因素的多重比较：
，
根据多重比较的结果，选取两个因素各自的最佳水平组合成全试验的最佳组合。
例5.3 将A1、A2、A3、A44种生长素，并用B1、B2、B33种时间浸渍菜大豆品种种子，45d后测得各处理平均单株干物重(g)于表5.3.1。试作方差分析。
表5.3.1 生长素处理大豆的试验结果(g)
生长素(A)
浸渍时间(B)
TA

B1
B2
B3
A1
10
9
10
29
9.7
A2
2
5
4
11
3.7
A3
13
14
14
41
13.7
A4
12
12
13
37
12.3
TB
37
40
41
118

9.2
10.0
10.2

9.83

解：方差分析如下
(1) 平方和与自由度的分解

(2) F测验
表5.3.2 生长素处理大豆试验结果方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F
F0.05
F0.01
生长素间
177.0000
3
59.0000
78.67**
4.76
9.78
浸渍时间间
2.1667
2
1.0834
1.44
5.14
10.92
误 差
4.5000
6
0.7500

从表5.3.2中可以看出，不同生长素处理的大豆单株干物重间存在极显著差异，而不同浸渍时间之间则没有显著差异。
(3) 多重比较
由于只有不同生长素间存在显著差异，因此只需对生长素的不同水平进行多重比较，方法如下：

()
表5.3.3 生长素处理大豆试验干物重比较的LSRα值
P
SSR0.05
SSR0.01
LSR0.05
LSR0.01
2
3.46
5.24
1.73
2.62
3
3.58
5.51
1.79
2.76
4
3.64
5.65
1.82
2.82

表5.3.4 生长素处理大豆试验干物重比较差异显著性
生长素
干物重
()
-3.67
-9.67
-12.33
A3
13.67
10.00**
4.00**
1.33
A4
12.33
8.66**
2.66**

A1
9.67
6.00**

A2
3.67

从表5.3.4中可以看出，除了A3和A4间没有显著差异外，其余各生长素处理的大豆干物重间均有极显著差异。
表5.3.5 生长素处理大豆试验干物重比较差异显著性
生长素
干物重
(g)
差异显著性
5%
1%
A3
13.67
a
A
A4
12.33
a
A
A1
9.67
b
B
A2
3.67
c
C
从表5.3.5中可以看出，除了A3和A4间没有显著差异外，其余各生长素处理的大豆干物重间均有极显著差异。
(二)、处理组合内有重复观察值
如果有A、B两个试验因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，则共有ab个处理组合。如果每个组合内有n个观察值，则共有abn个观察值，其数据结构见教材P120表6.28。
方差分析的特点如下：
，其中
总平方和 ，
处理组合平方和
误差平方和
而有，其中
A因素平方和
B因素平方和
A×B互作平方和

，其中

同样有：，其中

表5.5 有重复两因素完全随机设计方差分析表
变异来源
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
处理组合

A因素

B因素

A×B互作

误差

同理，当F测验显著或极显著时要进行多重比较，一般可针对以下两种情况分别进行。
1. 当差异不显著时，需对有显著或极显著差异的A因素或B因素分别进行多重比较，而不必对处理组合进行多重比较。此时有：
1.1 A因素平均数的比较

1.2 B因素平均数的比较

最后根据多重比较结果，选用A因素的最佳水平和B因素的最佳水平构成最佳处理组合。
2. 当差异显著或极显著时，则只需对处理组合进行多重比较，而不必对A因素和B因素的平均数进行多重比较。此时有：

第三节 随机区组试验设计的方差分析
一、单因素试验
(一)、方差分析
单因素的随机区组试验设计的方差分析可以参照组合内只有单个观察值的两因素完全随机设计的方法进行，其中将试验因素看成是A因素、区组看成是B因素，因此k个处理、n个区组的单因素随机区组试验设计结果方差分析有：

处理平方和

区组平方和

误差平方和

，，，
从平方和和自由度的分解可以看出，由于SSr主要是由土壤差异或其它环境条件的差异所引起的变异，同时平方和均属于非负数，当区组变异从总变异中分离出来之后必然可以降低误差的份量，从而降低误差。
表5.6 单因素随机区组设计试验结果方差分析表
变异来源
平方和
自由度
均方
F
F0.05
F0.01
处理
SSt
dft
st2

F0.05(dft,dfe)
F0.01(dft,dfe)
区组
SSr
dfr
sr2

F0.05(dfr,dfe)
F0.01(dfr,dfe)
误差
SSe
dfe
se2

例5.4 5种方法贮藏红星苹果试验，以果肉硬度为试验指标，随机区组设计，各处理分别为A(加活性炭0.01%)、B(加活性炭0.03%)、C(加活性炭0.05%)、D(加活性炭0.07%)和E(空白对照)，试验结果见表5.4.1，试分析各处理间的差异显著性。
表5.4.1 小包装贮藏红星苹果果肉硬度(磅)
处理
区组
处理总和
处理平均
1
2
3
4
A
11.7
11.1
10.4
12.9
46.1
11.52
B
8.9
6.4
8.6
9.8
33.7
8.42
C
9.0
9.9
9.2
11.7
39.8
9.95
D
9.7
10.0
9.3
11.2
40.2
10.05
E
12.2
8.9
7.8
8.0
36.9
9.22
区组总和
51.5
46.3
45.3
53.6
196.7

解：(1)自由度和平方和的分解

(2) F测验
表5.4.2 小包装贮藏红星苹果果肉硬度方差分析表
变异来源
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
处理间
21.1030
4
5.276
3.34*
3.26
5.41
区组间
9.6535
3
3.218
2.03
3.49
5.95
误差
18.9890
12
1.582

测验结果表明，不同处理间的果肉硬度有显著差异，而区组间没有显著差异。
注：区组间如果差异不显著，表明试验条件比较一致，此时用完全随机设计和随机区组设计的作用和结果相同；如果区组间差异显著，表明试验条件差异比较大，此时用随机区组设计比完全随机设计的精确度高。一般情况下无需对区组间进行F测验和多重比较。
当区组间没有显著差异时，一般要求将区组的平方和SSr和自由度dfr分别合并到误差平方和和自由度中，然后按照完全随机设计的方差分析方法进行统计分析。
(3) 多重比较(SSR法)

表5.4.3 小包装贮藏红星苹果果肉硬度比较LSRα值
P
SSR0.05
SSR0.01
LSR0.05
LSR0.01
2
3.08
4.32
1.94
2.72
3
3.23
4.55
2.03
2.87
4
3.33
4.68
2.10
2.95
5
3.36
4.76
2.12
3.00

表5.4.4 小包装贮藏红星苹果果肉硬度差异显著性(SSR法)
处理
果肉硬度
()
-8.42
-9.22
-9.95
-10.05
A
11.52
3.10**
2.30*
1.57
1.47
D
10.05
1.63
0.83
0.10

C
9.95
1.53
0.73

E
9.22
0.80

B
8.42

结果表明，A和B处理间果肉硬度有极显著差异，A和E两处理间有显著差异，其余各自处理均无显著差异。
表5.4.5 小包装贮藏红星苹果果肉硬度差异显著性(SSR法)
处理
果肉硬度
(磅)
差异显著性
5%
1%
A
11.52
a
A
D
10.05
ab
AB
C
9.95
ab
AB
E
9.22
b
AB
B
8.42
b
B
结果表明，A和B处理间果肉硬度有极显著差异，A和E两处理间有显著差异，其余各自处理均无显著差异。
(二)、缺区估计
方差分析是基于线性模型的基本假定，即，其中：
为全试验的总体平均数；
为处理效应，即某一处理所引起的试验指标的增大或减小的部分，其数值为，为第i个处理的总体平均数；
为区组效应，即某一区组由于土壤肥力或其它环境条件的差异所引起的试验指标的增大或减小的部分，其数值为，其中为第j个区组的总体平均数；
为该观察值误差的总体平均数。
在田间实际试验中，需要用全试验的样本平均数作为的估计值；作为的估计值；作为的估计值；作为的估计值。因此上述线性模型可以转化为：

如果由于无法控制的因素引起某些小区的观察值丢失，可以采用数理统计学的原理估算出相应小区的数值，然后再进行方差分析，在一定程度上可以进行补救，即缺区估计。
缺区估计的基本原理是假定所缺失的小区的随机误差为0，即，则上述线性等式可转化为：

其中为缺区所在的处理总和，可用计算，为缺区所在的处理除缺区外的观察值总和。
为缺区所在的区组总和，可用计算，为缺区所在的区组除缺区外的观察值总和。
为小区的观察值总和，可用计算，为除缺区外的所有观察值总和。因此有：

如果缺失两个小区的数据，可用同样原理建立以下方程组进行估计：

缺区的数据估计出来后，将估计值代入相应的小区中进行方差分析，需要注意的是，由于估计值是没有误差的理论值，在进行自由度的分解时，总自由度和误差自由度均要减去缺区数，同时由于数据本身的精确度较低，因此多重比较常采用LSD法。
缺区估计运用统计学的方法消除了客观上本应该存在的误差，导致结果的精确度降低，可靠性较差，因此不能用缺区估计的方法代替田间的实际观察测定。
二、两因素试验
如果有A、B两个试验因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，则共有ab个处理组合。试验共有n个区组按随机区组设计，则共有abn个观察值。则平方和和自由度的分解如下：
，其中
总平方和 ，
处理组合平方和
区组平方和
误差平方和
而有，其中
A因素平方和
B因素平方和
A×B互作平方和

，其中

同样有：，其中

表5.7 两因素随机区组设计方差分析表
变异来源
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
处理组合

区 组

A因素

B因素

A×B互作

误差

详细分析过程见教材P249例13.1。

第四节 拉丁方试验资料的方差分析
一、方差分析
设有k个处理，按拉丁方进行设计，则横向有k个区组，纵向也有k个区组，则平方和和自由度的分解如下：

即，其中：
总平方和

处理平方和

横向区组平方和

纵向区组平方和

误差平方和

从误差平方和的计算可以看出，由于和分别代表横向区组和纵向区组由于土壤肥力或其它环境条件的差异所引起的变异大小，同时和均为非负数，误差平方和在随机区组设计的基础上进一步降低，具有双向控制土壤差异的作用，具有更高的试验精确度。
，，，

例5.5 番茄品种5个，采用5×5拉丁方设计，小区田间排列及其产量如图5.2，试进行方差分析。
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅱ
B
36
E
32
A
31
D
27
C
28
Ⅲ
D
29
A
32
E
28
C
25
B
28
Ⅳ
E
27
D
30
C
25
B
23
A
26
Ⅴ
A
32
C
30
B
23
E
26
D
27
Ⅰ
C
35
B
36
D
30
A
30
E
30
图5.2 番茄品比试验拉丁方设计排列图及其产量(㎏)
解：根据图5.2结果，初步整理如表5.5.1和表5.2.2。
表5.5.1 番茄品比试验纵、横区组产量统计(㎏)
横向区组
纵向区组
Tr
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅰ
36
32
31
27
28
154
Ⅱ
29
32
28
25
28
142
Ⅲ
27
30
25
23
26
131
Ⅳ
32
30
23
26
27
138
Ⅴ
35
36
30
30
30
161
Tc
160
137
131
139
159
726

表5.5.2 番茄品比试验各品种产量统计(㎏)
品种
品种总和(Tt)
平均()
A
31+32+26+32+30=151
30.2
B
36+28+23+23+36=146
29.2
C
28+25+25+30+35=143
28.6
D
27+29+30+27+30=143
28.6
E
32+28+27+26+30=143
28.6

726
29.04
(1)自由度和平方和的分解

(2)F测验
表5.5.3 番茄品比试验小区产量方差分析表
变异来源
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
品种间
9.76
4
2.44
0.82
3.26
5.41
横向区组间
118.16
4
29.54
9.95**
3.26
5.41
纵向区组间
143.36
4
35.84
12.07**
3.26
5.41
误差
35.68
12
2.97

结果表明，5个番茄品种间的小区产量没有显著差异，而纵、横区组的差异均达到极显著水平，说明试验地的肥力水平差异极大。
如果处理间的F测验结果是显著或极显著差异，同样需要按前面的方法进行多重比较以明确产生差异的具体来源；而纵、横区组一般可以不作F测验，更不需进行多重比较，但如果试验目的本身是要了解试验地的肥力差异性则除外。
当只有一个方向的区组差异达到显著或极显著水平时，试验可采用随机区组设计，在统计分析上一般要求将相应部分的平方和和自由度合并到误差项中，再按随机区组设计的