广义Robertson-Walker时空中具有高阶平均曲率的完备类空超曲面.pdf
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1、广义R o b e r t s o n W a l k e r时空中具有高阶平均曲率的完备类空超曲面张宁(河南工学院 理学部,河南 新乡 )摘要:研究了浸入广义R o b e r t s o n W a l k e r时空IMn中具有高阶平均曲率的完备类空超曲面.在合适的几何假设下,适当地限制高阶平均曲率的比值,通过应用S t o k e s定理的推论给出了该外围空间中类空超曲面的唯一性结果.关键词:广义R o b e r t s o n W a l k e r时空;完备类空超曲面;高阶平均曲率中图分类号O 文献标识码:A文章编号:()引言L o r e n t z i a n流形是微分流形的
2、重要分支,无论在数学还是广义相对论方面都具有重要的意义,一直以来被众多的几何学家和物理学家关注和研究.此方面的研究也是基于L o r e n t z i a n流形中的类空超曲面在广义相对论中的重要性.事实上,L o r e n t z i a n几何是广义相对论的几何语言,而其中的类空超曲面扮演着重要的角色.例如,在E i n s t e i n场方程的初值公式中,甚至可以说类空超曲面决定了空间的结构.近年来,越来越多的学者研究L o r e n t z i a n流形上类空超曲面的性质,而这个主题的两个基本问题是类空超曲面的存在性和唯一性.最早关于类空超曲面唯一性的研究是C a l a b
3、 i于 年为了证明B e r n s t e i n C a l a b i猜想,意外得到了L o r e n t z i a n M i n k o w s k i空间Rn中的类空超曲面具有很好的B e r n s t e i n t y p e性质.更准确地说,C a l a b i证明了L o r e n t z i a n M i n k o w s k i空间Rn(n)中的极大完备类空超曲面必为类空超平面.此外,C h e n g和Y a u 将上述结果推广至任意维.之后,许多几何学者在更一般的外围空间上考虑相似的刚性结果.L o r e n t z i a n M i n k o
4、w s k i空间的自然推广是一类L o r e n t z i a n乘积流形IMn,其中Mn是n维黎曼流形,IR是一个开区间.一些学者研究L o r e n t z i a n乘积空间IMn中的极大超曲面,或者更一般的具有常平均曲率的类空超曲面,得到了C a l a b i B e r n s t e i n t y p e结果,例如文献 .事实上L o r e n t z i a n乘积空间IMn是一类L o r e n t z i a n流形,即广义R o b e r t s o n W a l k e r时空(简记为G RW时空)IMn的特殊 情 形.最 早 关 于 广 义R o b
5、 e r t s o n W a l k e r时 空 中 类 空 超 曲 面 的 研 究,是 年A l i a s R o m e r o S a n c h e z得出G RW时空中具有常平均曲率的紧致类空超曲面是类空超平面的结果.在此之后,许多学者研究G RW时空IMn中具有k阶平均曲率k,n的紧致类空超曲面(或者更一般的完备非紧致类空超曲面)并在特定的融合条件下得到其唯一性定理,例如文献 .近年来,关于浸入广义R o b e r t s o n W a l k e r时空中类空超曲面的研究已经取得丰硕的成果.本文主要研究广义R o b e r t s o n W a l k e r时空
6、IMn中完备类空超曲面的唯一性,通过适当地限制高阶平均曲率的比值HkHk,kn,并对外围空间添加合适的几何条件,利用S T Y a u 的关于S t o k e s第 卷第期 年月河南工学院学报J o u r n a l o fH e n a nI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g yV o l N o M a y 收稿日期:基金项目:河南工学院博士科研启动基金(KQ )作者简介:张宁(),女,河南杞县人,讲师,博士,主要从事微分几何研究.定理的推广结论,得到广义R o b e r t s o n W a l k e r时空中关于完备类空超曲面的一些新的C
7、 a l a b i B e r n s t e i n t y p e结果,即在合适的几何假设下,此外围空间中完备类空超曲面是类空片.本文结构如下:第一部分给出广义R o b e r t s o n W a l k e r时空及其类空超曲面的一些概念与结论;第二部分证明R o b e r t s o n W a l k e r时空中的完备类空超曲面的唯一性;第三部分将第二部分所得的唯一性结果推广到广义R o b e r t s o n W a l k e r时空中.广义R o b e r t s o n W a l k e r时空及其类空超曲面设Mn是n维连通的黎曼流形,IR是开区间且被赋予
8、度量d t.令:IR是正定的光滑函数.记Mn:IMn是被赋予如下L o r e n t z i a n度量的扭曲乘积流形,I(d t)(I)M(,M),其中I和M分别为在I和M上的投影.事实上,(M,M)和(I,dt)分别被称为Mn的纤维和基,且称为扭曲乘积函数(详细见文献 第章),在这种情况下,称Mn为广义R o b e r t s o n W a l k e r时空,简记为G RW时空;特别的,如果纤维Mn的截面曲率为常数,那么称Mn为R o b e r t s o n W a l k e r时空,简记为RW时空.下面,我们考虑类空超曲面:nMn,其中n是n维可定向的连通黎曼流形.对于任意
9、点tI,设t:/t是定义在Mn上的类时单位向量场,则(t)t是Mn上闭的共形类时向量场.并且(t)t可以确定Mn的一个叶层tMnt:tMn,即一个完备的全脐的常平均曲率类空超曲面.在此情况下,称Mnt为Mn的一个类空片.由于t是类时的单位向量场,则在n上存在唯一的一个与t具有相同时间定向的类时单位法向量场N,即满足N,t.利用C a u c h y S c h w a r z不等式,可得N,t.此外,我们定义函数:N,t为n的角度函数.令A:()()是类空超曲面n上关于N的形状算子,并且其特征值,n为n的主曲率.此外,对于形状算子A,n上存在n个代数不变量,即关于A特征值的r阶初等对称函数Sr
10、,定义为Sriiriir,r,n,S且n上的r阶平均曲率Hr被定义为nrHrSr()故H,H是n的平均曲率.定义A相对应的牛顿变换Pr:()()为P,PrnrHrIA Pr,r,n对于每一个Pr可定义其相应的二阶线性微分算子Lr:C()C(),则对任意fC()有Lr(f)t r(Prf)()其中f:()()是自共轭线性算子且等价于f的H e s s i a n算子.此外,由()式可知,Lr是椭圆算子当且仅当Pr是正定的,特别的L.令、分别为n和Mn上的L e v i C i v i t a联络.n的高度函数为h(I)|n:nI,经过简单计算可得II,ttt故,h在n上的梯度为h(I)tt N且
11、|h|()其中,()是向量场沿n的切丛,而|为向量场在上n的范数.为了证明我们的结果,先给出需要的引理.引理 设:nIMn是浸入G RW时空IMn中的类空超曲面.令h是高度函数,(t)是张宁:广义R o b e r t s o n W a l k e r时空中具有高阶平均曲率的完备类空超曲面扭曲乘积函数(t)的原函数,则Lr(h)(h)(l o g)(h)Prh,hcr(h)Hr(h)(h)Hr Hr()Lr(h)cr(h)Hr(h)Hr)()其中cr(nr)nr定义设:nIMn是G RW时空中的类空超曲面.如果选取合适的高斯映 射N,使得所有的主曲率ki(p),in同号,则称点pn为椭圆点.
12、此外,G RW时空中IMn中的类空块是指如下类型的区域:t,tMn(t,p)IMn:ttt下面的两个引理给出了算子Lr,r是椭圆算子应该满足的几何条件.引理设:nMn 是G RW时空Mn 中的类空超曲面,如果在n上H,则L是椭圆算子(选取合适的高斯映射N).引理设:nMn 是G RW时空Mn 中的类空超曲面.如果选取合适的高斯映射N使n上存在一个椭圆点,并且Hk,kn,则Lj是椭圆算子,等价于Pj是正定的(对于合适的高斯映射N,若j是奇数),其中jk.下面的引理给出了浸入G RW时空中的类空超曲面上存在椭圆点的条件.引理 设:nIMn是浸入G RW时空IMn中的类空超曲面.如果(h)在点pn上
13、取得局部最小值并且满足(h(p),则点p为n的椭圆点.为了证明唯一性,还需应用以下结论:S t o k e s定理的拓展形式,我们将其呈列如下,其中L()为n上的勒贝格可积函数.引理 设X为n维完备非紧致的可定向黎曼流形n上的光滑向量场,使得d i vX在n上不变号.若|X|L(),则有d i vX.引理 设u是n维完备黎曼流形n上的非负光滑的次调和函数,若|u|L(),则u是常数.R o b e r t s o n W a l k e r时空中的唯一性首先,我们给出R o b e r t s o n W a l k e r时空中有关唯一性的结果.定理设:nIMn是浸入R o b e r t
14、s o n W a l k e r时空IMn中的完备类空超曲面且包含于一类空块中.如果(h)在点pn上取得局部最小值且满足(h(p);并且在n上平均曲率H有界,HrHr,rn;此外|h|L().假设以下两个条件中的任意一个成立:(i)ks u pI()(h)和Hr Hr(h)(i i)ki n fI()(h)和Hr Hr(h)其中k为纤维Mn的常截面曲率,则n为类空片.证明:首先,根据公式()可知.其次,根据引理,可知n上存在椭圆点,由椭圆点的定义和等式()可得H.我们注意到若第二基本形式|A|在n上有界,则Pr在n上有界.利用H有界和H,结合等式|A|nHn(n)H,可得|A|在n上有界,从
15、而n上存在常数C,使得|Pr(h)|C(h)|h|L()此外d i v(Pr(h)(h)d i v Pr,hLr(h)当Mn具有常截面曲率k,则直接计算可得d i v(Pr(h)(nr)k()(h)(h)Pr h,hcr(h)Hr(h)Hr Hr()河南工学院学报 年第期因为HrHr,rn,则高阶平均曲率Hr与Hr 异号.当Hr,Hr 时,考虑到椭圆点的存在性,利用引理和引理可得r为偶数且Pr 是负定的.考虑假设条件(i),可知在n上d i v(Pr(h).进一步,根据引理,可知d i v(Pr(h),代入公式(),可得,即n为类空片.另一方面,当Hr,Hr 时,再次利用引理和引理,可得r为奇
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