勾股定理及其逆定理的综合应用.doc

17.2 勾股定理的逆定理
一、填空
1． 的两边分别为5，12，另—边c为奇数，且a ＋ b ＋ c是3的倍数，则c应为_________，此三角形为________．
2．三角形中两条较短的边为a ＋ b，a － b（a>b），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．
3．若 的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋l0c，则此三角形是_______三角形，面积为______．
4．已知在 中，BC＝6，BC边上的高为7，若AC＝5，则AC边上的高为 _________．
5．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．
6．一个三角形的三边分别为7cm，24 cm，25 cm，则此三角形的面积为_________。
二、选一选
7．给出下列几组数：① ；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（    ）．
A．①②    B．③④    C．①③④  D．④
8．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（    ）．
A．1，2，3    B．4，5，6C．12，13，14D．9，40，41
9．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（    ）．
A．8个    B．10个  C．11个    D．12个    
10．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（   ）；
A．锐角三角形    B．直角三角形C．钝角三角形    D．等腰三角形
三、解答题
11．如图18－2－5，在 中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求 的周长和面积．

12．已知 中，AB＝17 cm，BC＝30 cm，BC上的中线AD＝8 cm，请你判断 的形状，并说明理由 ．
13．一种机器零件的形状如图18－2－6，规定这个零件中的 A和 DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图（单位：mm），这个零件符合要求吗?
14．如图18－2－7，四边形ABCD中， ，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

15．为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽千家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问，当年结婚时，两个人各是多少岁?现在共有子女几人?（在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁）
16．有一只喜鹊正在一棵高3 m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24 m且高为14 m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m／s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。
四、思维拓展   
17．给出一组式子：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402=412，…
（1）你能发现关于上述式子的一些规律吗?   
（2）请你运用规律，或者通过试验的方法（利用计算器），给出第五个式子．
18．我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；
（3）请证明你所发现的规律．

答案
1．13；直角三角形  2． 3．直角；6  4．8．4  5．直角三角形；勾股定理的逆定理  6．184 cm2
7．D  8．D  9．D  10．B
11．周长为48，面积为84．  提示：根据勾股定理的逆定理可知 为直角三角形，故AD BC，再根据勾股定理可得BD＝6，从而可求解．   
12． 为等腰三角形．
理由：在 中，AB＝17cm，AD＝8 cm，BD＝15 cm，
AB2＝AD2＋BD2
为直角三角形．
在 中，AC2=AD2＋CD2=82＋152＝172cm2
AC＝17 cm，
为等腰三角形．
13．符合．
14．连接AC，得 ，由勾股定理知AC＝5，
AC2＋CD2＝52＋122＝169＝132＝AD2， ACD＝ 
S四边形ABCD=S ABC＋S ACD＝ 
                         = 6＋30＝36．
15．詹克21岁，凯丽20岁，现在共有11个子女．
16．如图，由题意知AB＝3 m，CD=14－l＝13 m，BD＝24 m．过A作AE CD于E，则CE=13－3=10 m，AE=BD=24 m．在 中，AC2＝CE2＋AF=102＋242=262 m2， AC＝26 m， 26÷5=5．2 s， 它至少需要5．2 s才能赶回巢中．

17．（1）①每个等式中的三个底数都正好组成一组勾股数；
②每个等式中的最小的底数恰好是连续的奇数；
③最大的底数比第二大的底数大1；
④第二大的底数是偶数，最大的底数是奇数；
⑤这些等式中的底数都是代数式m2－n2，2mn，m2＋n2，当m和n取不同正整数时得到的数．
（2）第五个式子应当是m=6，n＝5时，所得的三个底数的平方和，即112＋602＝612．
18．（1）（48，14，50）．
（2）设n≥2，且n为整数，勾股数组的规律为 （n2－l，n2，n2＋1）．  
（3） （n2－1）2＋（2n）2＝n4－2n2＋1＋4n2＝（n2＋1）2，
以n2－1，2n，n2＋l为三边长的三角形为直角三角形．