河北省正定中学2010年高三数学第一次高考模拟考试(三)文-人教版.doc

河北省正定中学2010年高三年级一模模拟（三）
数学试题（文）

一、选择题
1．已知集合,,则为 （ ）
A． B． C． D．
2．某连队身高符合建国60周年国庆阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁19岁的士兵有15人，20岁22岁的士兵有20人，23岁以上的士兵有10人，若该连队有9个参加阅后的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．下列说法错误的是 （ ）
A．命题“若则”的逆否命题为：“若,则”．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．若且为假命题，则、均为假命题．
D．命题：存在使得．则：任意， 均有．
4．对于平面和共面的直线，下列命题中真命题的是 （ ）
A．若与所成的角相等，则； B．若，则
C．若 ，则 D． 若，则
5．已知，那么下列命题成立的是 （ ）
A．若、是第一象限角，则．
B．若、是第二象限角，则．
C．若、是第三象限角，则．
D．若、是第四象限角，则．
6．已知等差数列的前13项之和为，则等于 （ ）
A． B． C．—1 D．1
7．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知，其中三点共线，是线外一点，则满足条件的 （ ）
A．不存在 B．有一个 C．有两个 D．以上情况均有可能
9．已知棱长为3的正方体，长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动．则线段中点的轨迹与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
10．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，则所有不同的放法的种数为（ ） A．12 B．3 C．18 D．6
11．过轴上一点作圆的两条切线，切点分别为
若 则的取值范围是 （ ）
A． B． C．D．
12．已知则满足条件的点所形成区域的面积为
（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题：
13．已知等差数列中，成等比数列，则______ _．
14．若点为抛物线上一点，则点到直线距离的最小值为 。

15．下图（右）实线围成的部分是长方体（左）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是 ．

16．给出以下几个命题，正确的是 ．
①函数对称中心是；
②已知是等差数列的前项和 ，若,则;
③函数为奇函数的充要条件是；
④已知均是正数，且，则。
三、解答题
17．（本题满分10分）
已知向量，其中．
（1）试判断向量与能否平行，并说明理由？
（2）求函数的最小值．

18．（本题满分12分）
为预防病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：

A组
B组
C组
疫苗有效
673

疫苗无效
77
90

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0．33．
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
（3）已知,求不能通过测试的概率．

19．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点。
（1）求异面直线AE与A1C所成的角；
（2）若G为C1C上一点，且EG⊥A1C，试确定点G的位置；

（3）在（2）的条件下，求二面角A1-AG-E的大小

20．（本题满分12分）
已知数列满足，,（，）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列的前项和为，且恒成立，求的最小值．

21．（本题满分12分）
已知函数。
（1）当时，求函数的极小值；
（2）试讨论函数零点的个数。

22．（本题满分12分）
已知动圆过点，且与圆相内切．
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，D，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

参考答案

DDCDD CBCCC CA
13． 14． 15．3 16．②③④
17．解：
（1）若，则有．∵，∴．
∴，这与矛盾． ∴与不能平行．…………………4分
（2）∵
，……7分
∵，∴
∴．
当，即时取等号，
故函数的最小值为．……………10分
18．解：（1）在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率约为其频率
即 …………………………（3分）
（2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，
现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取个数为
………………………………（6分）
（3）设测试不能通过事件为A ，C组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y，z） 由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 ……………… （9分）
若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33
事件A包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个
故不能通过测试的概率为 …………………（12分）

19．解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线A
与A1C所成的角。设，则

中， 。

所以异面直线AE与A1C所成的角为。 ------------------4分
（2）．由（1）知，A1E1⊥B1C1,
又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱
⊥BCC1B1,又EG⊥A1C CE1⊥EG．
∠=∠GEC ~
即得
所以G是CC1的中点 ---------------------------- --8分
（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC．
又平面ABC⊥平面ACC1A1 EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG EQ⊥AG．∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
由EP=a,AP=a,PQ=,得
所以二面角C-AG-E的平面角是 ，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是 ------------------12分
20．

是以为首项，为公差的等差数列。 （4分）
（2）由（1）：
（6分）
①
则 ②
①—②，得

（9分）
由恒成立。
得恒成立，
是单增数列，
且
（12分）
21．解：
（1）当时，

1

+
0
-
0
+

增
极大值
减
极小值
增
∴………………………………………………………4分
（2） 当时，显然只有一个零点；

当时，在，递减；在递增，
则有三个零点。
当时，在，递增；在递减，
则只有一个零点。
当时，在R上是增函数，，∴只有一个零点。
当时，在，递减；在递增，
则只有一个零点。
综上所述：当时，只有一个零点；当时，有三个零点…12分
22．解：（1）圆， 圆心的坐标为，半径．
∵，∴点在圆内．
设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，
即．
∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为
, 则．∴．
∴所求动圆的圆心的轨迹方程为．…………………………………4分
（2）由 消去化简整理得：
设，，则……………………………………6分
△． ①
由 消去化简整理得：．
设，则,
△． ② ……………………………………8分
∵，∴，即，
∴．∴或．
解得或……… 10分
当时,由①、②得 ，
∵Z,，∴的值为 ，，;
当，由①、②得 ，
∵Z,，∴．
∴满足条件的直线共有9条．………………………………………………12分

用心 爱心 专心