含Caputo-Fabrizio分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程Runge-Kutta方法的稳定性.pdf

该文针对一类带有C a p u t o F a b r i z i o分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程初值问题,利用线性插值技巧离散C a p u t o F a b r i z i o算子,结合求解常微分方程的数值方法,构造了求解该问题的R u n g e K u t t a方法,给出了在一定条件下方法的非线性稳定性结果关键词:非线性刚性泛函微分方程;C a p u t o F a b r i z i o分数阶算子;R u n g e K u t t a方法;稳定性;代数稳定性中图分类号:O 文献标志码:A文章编号:X()S t a b i l i t yo fR u n g e K u t t am e t h o d s f o rn o n l i n e a r s t i f f f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hC a p u t o F a b r i z i of r a c t i o n a l o p e r a t o rWENL i p i n g,Y ANGJ i n g w e i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n a lS c i e n c e,X i a n g t a nU n i v e r s i t y,X i a n g t a n ,C h i n a)A b s t r a c t:I no r d e r t os o l v e t h e i n i t i a l v a l u ep r o b l e mf o r a c l a s so fn o n l i n e a r s t i f f f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hC a p u t o F a b r i z i o f r a c t i o n a l o p e r a t o r s,t h eR u n g e K u t t am e t h o d s a r e c o n s t r u c t e db yd i s c r e t i z e d t h eC a p u t o F a b r i z i of r a c t i o n a l o p e r a t o ru s i n g l i n e a r i n t e r p o l a t i o nt e c h n i q u e sa n dc o m b i n e dw i t hn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s T h en o n l i n e a r s t a b i l i t y r e s u l t s o f t h em e t h o d s a r eg i v e nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s K e yw o r d s:n o n l i n e a rs t i f ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s;C a p u t o F a b r i z i of r a c t i o n a lo p e r a t o r;R u n g e K u t t am e t h o d s;s t a b i l i t y;a l g e b r a i cs t a b i l i t y引言近年来,分数阶微积分在科学工程领域的广泛应用引起了人们的极大兴趣在各种材料的记忆、反常扩散、信号处理、控制理论、黏弹性系统、柔软构造物体的震动控制、分数阶生物收稿日期:基金项目:国家自然科学基金()通信作者:文立平(),男,湖南宁乡人,教授 E m a i l:l p w e nx t u e d u c n神经元,以及自然界中多孔或裂断介质中溶质的反应和扩散、混沌现象等领域,分数阶微积分都是有用的数学工具比起传统的整数阶微积分模型,分数阶模型更能精确地模拟物质的记忆性和继承性近年来,分数阶微积分及分数阶微分方程的理论和数值方法的研究取得了非常丰富的成果,相关的专著和论文也层出不穷由于应用背景的差异使得分数阶微积分的定义也有多种形式,应用较广泛的分数阶导数和积分的定义有R i e m a n n L i o u v i l l e定义、G r i w a l d L e t n i k o v定义和C a p u t o定义等(参见文献 )这些定义都通过带奇异核的积分来描述分数阶的概念,这给理论研究和数值方法的研究带来了许多困难,例如弱奇异性核函数会导致方程的真解通常只具有低正则性这一性质使得普通的数值方法仅具有低阶收敛性,比如基于一致网格的多项式配置方法在求解这类方程时会出现阶障碍现象,经典谱方法也只具有十分有限的收敛速度为了描述不具备幕律行为的材料异质性,C a p u t o和F a b r i z i o在 年最先提出了C a p u t o F a b r i z i o分数阶导数算子(下文简称C F算子),这种定义是将传统的C a p u t o分数阶算子中的奇异核函数替换为非奇异核此后关于该算子的实际应用背景被广泛讨论并得到推广和应用例如,指数核会被引入到松弛过程建模的两类本构方程(C a t t a n e o型和J e f f r e y型)中,基于这个情况,H r i s t o v在文献 中使用了含指数核的C F算子将J e f f r e y型方程进行重构在文献 中H r i s t o v认为C F算子用于分析不遵循幕律行为的材料的建模会更好,况且在一些情形下,黏弹性材料的实验行为表现出很强的偏离幕律的特性,引用C F算子进行建模会对这些材料性质的描述更加充分,同时在线性黏弹性的框架之下研究分析了C F算子的物理背景,并演示如何使用非奇异衰减记忆修改其他本构方程在文献 中,由于应力松弛函数的P r o n y级数分解出现C F算子,且该算子不遵循幕律行为,H r i s t o v将其引入到线性弹性理论中,并提出将C F算子用于具有动力学特性的黏弹性材料的建模,而经典的分数阶算子并不适用这一特性此外,指数拉伸K o h l r a u s c h函数在概率理论中起到了核心作用,而C F算子恰好就是该函数的极限情况,不仅如此,在解释肌肉、骨骼、玻璃、介电材料与聚合物的松弛过程时,该函数也同样能被广泛应用同时文献 中指出,与使用整数阶的模型相比,使用C F算子的模型在表示物理行为上具有很大的优势,进而为中间(椭圆和抛物之间或抛物和双曲之间)行为建模提供了一种方法 C F算子还能够用不同的尺度描述物质的异质性和构型,描述材料的非均匀性和不同尺度的波动,这是具有奇异核的分数阶模型或经典局部理论所无法描述的 最近已经有诸多文献 对带C F算子的微 分方程的数 值方法进行了研究本文将研究 求 解 含C F分 数 阶 算 子 的 刚 性 泛 函 微 分 方 程 的R u n g e K u t t a方 法 的 非 线性稳定性令 ,和分别表示N维复空间CN上的内积和相应的范数考虑含C F分数阶导数的非线性泛函微分方程问题初值问题y(t)f(t,y(t),C FDty(t),tT,y()y,yCN()式中,f:,TCNCNCN是一个足够光滑的函数,且满足以下单边及经典L i p s c h i t z条件:R euu,f(t,u,v)f(t,u,v)uu,t(,T,u,u,vCN,()f(t,u,v)f(t,u,v)vv,t(,T,u,vvCN,()这里,是给定的常数且,C FDty(t)表示函数y(t)的阶C F导数,其定义如下第期文立平,等含C a p u t o F a b r i z i o分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程R u n g e K u t t a(参见文献 ):C FDty(t)ty(s)e(ts)ds,为方便计,将满足条件()和()的所有问题()组成的问题类记为D(,)方法的描述用于求解常微分方程(O D E s)的s级R u n g e K u t t a法可以表示为如下形式:Y(n)iynhsjai jf(tncjh,Y(n)j),i,s,yn ynhsjbjf(tncjh,Y(n)j),其中系数满足:sibi,sjai jci(,i,s记A(ai j)ss,bb,b,bsT,cc,c,csT,则方法可简记为(A,b,c)为方便计,称它为母方法(参见文献 )这里列出关于R u n g e K u t t a方法的几个重要的定义及性质定义 (参见文献 )如果b,M:d i a g(b)AATd i a g(b)b bT,则称R u n g e K u t t a法(A,b,c)是代数稳定的注 s级(s)G u a s s,R a d a uI A,R a d a uI I AR u n g e K u t t a法是代数稳定的现考虑求解问题()的数值格式,为此取步长h将区间,T剖分,tnn h为网格节点,tn,jtncjh,(cj,j,s)将R u n g e K u t t a法(A,b,c)应用于问题()得到求解泛函微分方程问题()的计算格式:Y(n)iynhsjai jf(tncjh,Y(n)j,K(n)j),i,s,yn ynhsjbjf(tncjh,Y(n)j,K(n)j),()式中:yn,Yj(n)分别是问题的真解y(tn),y(tn,j)的逼近;Kj(n)是K(tn,j)的逼近,其中K(tn,j):C FDty(tn,j)tn,jy(s)e(tn,js)ds为了构造Ki(n)的计算公式,分别考虑y(t)在 tj,tj(j,n)和 tn,tn,i(i,s)上的线性插值表达式:y(t)ttjtj tjy(tj)ttj tjtj y(tj)rj(t),ttj,tj,ttn,itntn,iy(tn)ttntn,itny(tn,i)rn,i(t),ttn,tn,i()式中,余项rj(t),rn,i(t)分别为rj(t)y(j)(ttj)(ttj),tj jtj;湘潭大学学报(自然科学版)年和rn,i(t)y(n,i)(ttn)(ttn,i),tnn,itn,i将表达式()代入K(tn,i)中可得C FDty(tn,i)tn,iy(s)e(tn,is)dsnktktk y(tk)y(tk)he(tn,is)dstn,itny(tn,i)y(tn)cihe(tn,is)dsrn,i hnk(y(tk)y(tk)e h(ncik)e h(ncik)()ci h(y(tn,i)y(tn)(e h ci)rn,i,()其中rn,inktktk rk(s)e(tn,is)dstn,itnr n,i(s)e(tn,is)ds()()本文中符号qp表示的和式中,当其上限q小于下限p时,其值约定为零对给定的常数h,定义函数a(x)(x)如下a(x)e h xe h(x),则有C FDty(tn,i)hnka(ncik)(y(tk)y(tk)ci h(y(tn,i)y(tn)e h ci()rn,injin,njy(tj)ci he h ci()y(tn,i)rn,i,()这里当n时in,h(a(ci)i),in,j h(a(cij)a(cij),jn,in,n ha(nci)()而当n时i,i h这里及下文中ici(e h ci),i,s在式()中,用yi,Y(n)i分别表示y(ti),y(tn,i)的近似,截去余项rn,i,得到K(tn,i)(i,s)的逼近K(n)i的表达式:第期文立平,等含C a p u t o F a b r i z i o分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程R u n g e K u t t aK(n)injin,njyji hY(n)i()引理 表达式()所表示的参数in,j有如下性质:)当jn时,in,j;)当n时njin,j()证明由a(x)的定义可知a(x)又由于a(x)he h x(e h),即a(x)单调递减,所以in,j,jn又当n时,njin,j|in,|n jin,j|in,n|h(|a(ci)i|a(ci)h(a(ci)i|),()由exx可知ici(e h ci)h,同时a(ci)e h cie h(ci)e h ci(e h)h由此式及式()可得式()引理 假设y(t)C(,T),则式()中的局部误差rn,i,n,满足rn,i Mnh()式中,MnMm a xtTy(t)引理的证明过程可参考文献 稳定性分析为了研究数值方法的稳定性,考虑问题()的扰动问题x(t)f(t,x(t),C FDtx(t),tT,x()x,xCN()将方法()应用于求解扰动问题()得到相应的离散格式X(n)ixnhsjai jf(tncjh,X(n)j,K(n)j),i,s,xn xnhsjbjf(tncjh,X(n)j,K(n)j),()湘潭大学学报(自然科学版)年式中,X(n)i,xn分别是x(tn,i),x(tn)的逼近;而K(n)j是K(tn,j):C FDtx(tn,j)tn,jx(s)e(tn,js)ds的逼近,其逼近格式类似式()给出:K(n)injin,njxji hX(n)i()引理 量K(n)i和K(n)i由式()和式()给出,则有K(n)iK(n)i m a xjnyjxj Y(n)iX(n)i()证明由于K(n)iK(n)i njin,nj(yjxj)i h(Y(n)iX(n)i)njin,njyjxj i hY(n)iX(n)injin,jm a xjnyjxj i hY(n)iX(n)i根据引理 可得式()为简便计,可表示wnynxn,W(n)iY(n)iX(n)i,K(n)iK(n)iK(n)i,F(n)if(tn,i,Y(n)i,K(n)i)f(tn,i,X(n)i,K(n)i)则由式()和式()有W(n)iwnhsjai jF(n)j,i,s,wn wnhsjbjF(n)j()且由引理 有K(n)i m a xjnwj W(n)i()定理 假设母方法(A,b,c)代数稳定,问题()D(,)且满足()yn,xn是差分方程()和()的解,则存在仅依赖于问题参数,以及方法本身的常数C,使得ynxn Cyx,()从而方法()是稳定的证明根据文献 的技巧(也参见文献 )并结合方法的代数稳定性可得wn wnhsibiR eW(n)i,F(n)i应用条件式(),式()及式()有wn wnh sibiW(n)ihsibiW(n)iK(n)i第期文立平,等含C a p u t o F a b r i z i o分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程R u n g e K u t t a wnh sibiW(n)ihsibiW(n)im a xjnwj W(n)i()由此可得wn wnhsibiW(n)ihsibim a xjnwj从而当时并注意到sibi有wn wnhsibim a xjnwj hm a xjnwj()令Zn m a xjnwj,则由式()可得Zn hZn hnZen h Z()取CeT,则有式()成立,定理得证注 定理 表明方法关于初值是稳定的,且稳定性不等式()中的系数不依赖于方程的右端函数关于第二个变量的L i p s c h i t z常数,即不依赖于问题的刚性注 定理 给出的结果是无条件稳定性,在更强一些的条件下能够得到如下的收缩性结果定理 假设母方法(A,b,c)代数稳定,且存在仅依赖于方法的常数CC,使得sibiW(n)iCwn Cwn,()问题()D(,)且满足:CC()yn,xn是差分方程式()和式()的解,则对任意步长h,存在仅依赖于C,C及问题参数,的正常数(h)(,),使得如下收缩性不等式yn xn (h)m a xjnynxn成立,由此可得方法式()是渐近稳定的证明根据定理 的证明过程的式(),有wn wnhsibiW(n)ihsibiW(n)i m a xjnwj对任给的,进一步有wn wnhsibiW(n)ih m a xjnwj()令(CC),注意到条件式()则有 这样,式()可得湘潭大学学报(自然科学版)年wn wnh(Cwn Cwn)h m a xjnwj wnh Cwn h Cm a xjnwj由此可得h Cwn h Cm a xjnwj或即wn (h)m a xjnwj,这里(h)h Ch C容易证明对任意步长h,都有(h),定理得证注 由文献 的第二部分可知,任何s级R a d a uI A、R a d a uI I A型及s时的L a b a t t I I I C方法都是代数稳定的,且满足条件式(),由此定理 对这些方法都是适用的数值试验考虑如下方程y(t)y(t)y(t)y(t)s i n(C FDty(t),t,y()()其中f(t)tts i nte tt/t/上述问题的真解为y(t)t,通过计算可取,则问题满足条件式()和式()为了观察方法的稳定性,设初值有一个扰动后问题的扰动解为x(t),以yn,xn分别表示数值方法求得的问题真解及扰动解的逼近现用级G u a s s方法分别对 ,以步长取h ,初始扰动为 时进行求解,将得到数值解ynxn的图像描绘于图和图中由以上试验结果可知,显然ynxn在,上是有界的,这与定理 中的结果是一致的第期文立平,等含C a p u t o F a b r i z i o分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程R u n g e K u t t a10.90.80.70.60.50.40.30.20.1010.90.80.70.60.50.40.30.20.1010310300.10.20.30.40.50.60.70.80.9时间00.10.20.30.40.50.60.70.80.91时间y=0.1,h=0.01y=0.1,h=1/500yn-znyn-zn图 时,h (左)和h (右)时ynxn的图像F i g I m a g e s o fynxna t ,h (l e f t)a n dh (r i g h t)10.90.80.70.60.50.40.30.20.1010.90.80.70.60.50.40.30.20.1010310300.10.20.30.40.50.60.70.80.9时间00.10.20.30.40.50.60.70.80.91时间y=0.5,h=0.01y=0.5,h=1/500yn-znyn-zn图 时,h (左)和h (右)时ynxn的图像F i g I m a g e s o fynxna t ,h (l e f t)a n dh (r i g h t)总结自从 年C a p u t o和F a b r i z i o提出了C a p u t o F a b r i z i o分数阶导数算子后,其理论研究和应用分析取得了许多新的进展,应用领域也在不断拓展本文给出了一类带有C a p u t o F a b r i z i o分数阶导数算子泛函微分方程的R u n g e K u t t a的非线性稳定性结果,进一步丰富了这类分数阶导数算子的应用及数值方法的研究成果参考文献M I L L E RK,R O S SB A ni n t r o d u c t i o nt ot h ef r a c t i o n a l c a l c u l u sa n df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sMN e wY o r k:J o h nW i l e y&S o n s,C A P UT O M,F A B R I Z I O M An e wd e f i n i t i o no f f r a c t i o n a l d e r i v a t i v ew i t h o u t s i n g u l a rk e r n e lJ P r o g r e s si nf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a t i o na n da p p l i c a t i o n s,():HR I S T OVJY T r a n s i e n th e a td i f f u s i o nw i t han o n s i n g u l a rF a d i n gm e m o r y:F r o mt h eC a t t a n e oc o n s t i t u t i v ee q u a t i o nw i t hJ e f f r e ysk e r n e l t ot h eC a p u t o F a b r i z i ot i m e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v eJT h e r m a ls c i e n c e,():湘潭大学学报(自然科学版)年HR I S T OVJY D e r i v a t i v e sw i t hn o n s i n g u l a rk e r n e l s f r o mt h eC a p u t o F a b r i z i od e f i n i t i o na n db e y o n d:A p p r a i s i n ga n a l y s i sw i t he m p h a s i so nd i f f u s i o nm o d e l sJ f r o n t i e r s i nc r a c t i o n a lC a l c u l u s,:HR I S T OVJY L i n e a rv i s c o e l a s t i cr e s p o n s e s:T h eP r o n yd e c o m p o s i t i o nn a t u r a l l yl e a d si n t ot h eC a p u t o F a b r i z i of r a c t i o n a l o p e r a t o rJ F r o n t i e r s i np h y s i c s,:HR I S T OVJY R e s p o n s e f u n c t i o n s i n l i n e a rv i s c o e l a s t i cc o n s t i t u t i v ee q u a t i o n sa n dr e l a t e df r a c t i o n a l o p e r a t o r sJM a t h e m a t i c a lm o d e l l i n go fn a t u r a l p h e n o m e n a,():T A R A S OVVE N on o n l o c a l i t y N of r a c t i o n a l d e r i v a t i v eJ C o mm u n i c a t i o n s i nn o n l i n e a rs c i e n c ea n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o n,:AN D E R S S E NRS,HU S A I NSA,L O Y RJ T h eK o h l r a u s c hf u n c t i o n:P r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n sJA n z i a mj o u r n a l,:C C V I VA S C RU ZLX,G ON Z LE Z G ON Z L E ZA,TAN E C O HE R N D N D E ZM A,e t a l T h e o r e t i c a l a n a l y s i so f am o d e l o fu i do wi nar e s e r v o i rw i t ht h eC a p u t o F a b r i z i oo p e r a t o rJ C o mm u n i c a t i o n s i nn o n l i n e a r s c i e n c ea n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o n,:AKMANT,Y I L D I ZB,B A L E ANUD N e wd i s c r e t i z a t i o no fC a p u t o F a b r i z i od e r i v a t i v eJ C o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s,():Z HANG M,L I U Y,L IH H i g h o r d e r l o c a ld i s c o n t i n u o u sG a l e r k i nm e t h o df o raf r a c t a lm o b i l e/i mm o b i l et r a n s p o r t e q u a t i o nw i t ht h eC a p u t o F a b r i z i of r a c t i o n a l d e r i v a t i v eJN u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s,:L I UZG,CHE NG AJ,L IXL As e c o n do r d e rC r a n k N i c o l s o ns c h e m ef o rf r a c t i o n a lC a t t a n e oe q u a t i o nb a s e do nn e wf r a c t i o n a l d e r i v a t i v eJA p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n,:L I UZG,CHE N GAJ,L IXL As e c o n d o r d e rn i t ed i f f e r e n c es c h e m e f o rq u a s i l i n e a r t i m e f r a c t i o n a l p a r a b o l i ce q u a t i o nb a s e do nn e wf r a c t i o n a l d e r i v a t i v eJ I n t e r n a t i o n a l j o u r n a l o f c o m p u t e rm a t h e m a t i c s,():L I U H,CHE N GAJ,YANHJ,e t a l Af a s t c o m p a c t n i t ed i f f e r e n c em e t h o d f o r q u a s i l i n e a r t i m e f r a c t i o n a l p a r a b o l i ce q u a t i o nw i t h o u t s i n g u l a rk e r n e lJ I n t e r n a t i o n a l j o u r n a lo fc o m p u t e rm a t h e m a t i c s,():Q I A OHL,L I UZG,CHE N GAJ Af a s t c o m p a c tn i t ed i f f e r e n c em e t h o d f o r f r a c t i o n a lC a t t a n e oe q u a t i o nb a s e do nC a p u t o F a b r i z i od e r i v a t i v eJM a t h e m a t i c a l p r o b l e m s i ne n g i n e e r i n g,():WE NLP,YU YX C o n v e r g e n c eo fR u n g e K u t t am e t h o d sf o rn e u t r a ld e l a yi n t e g r od i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJA p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n,:李寿佛刚性常微分方程及刚性泛函微分方程数值分析M湘潭:湘潭大学出版社 HA I R E RE,WANN E RG,N O R S E T TSP S o l v i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s I IM B e r l i n,H e i d e l b e r g:S p r i n g e r,B UR R AG EK,B UT CHE RJC N o n l i n e a r s t a b i l i t yo f ag e n e r a l c l a s so f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nm e t h o d sJB I Tn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s,():(责任编辑:夏金玉)第期文立平,等含C a p u t o F a b r i z i o分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程R u n g e K u t t a