非瞬时脉冲抽象微分方程非局部问题温和解的存在性.pdf

收稿日期：2023-03-23基金项目：安徽省教学研究项目（2022jyxm0849）；安徽省质量工程项目（2022zygzts056）.作者简介：丁敏敏，女，安徽无为人，安徽中医药大学医药信息工程学院讲师（安徽 合肥 230000）.丁敏敏：非瞬时脉冲抽象微分方程非局部问题温和解的存在性2023 年第 8 期第 44 卷总第 341 期学 报非瞬时脉冲抽象微分方程非局部问题温和解的存在性丁敏敏摘要：文章对非瞬时脉冲抽象微分方程，运用不动点定理和逼近技巧，研究了非局部条件下的该方程温和解的存在性，运用逼近解的方法，解决了算子在零点处的紧性困难问题，最终证实并求得温和解.关键词：非瞬时脉冲抽象微分方程；非局部问题；不动点定理；逼近解中图分类号：O175文献标志码：A文章编号：1008-7974（2023）08-0032-06DOI：10.13877/22-1284.2023.08.006本文研究如下的非瞬时脉冲抽象微分方程 x(t)=Ax(t)+f(t,x(t),t (si,ti+1,i=0,1,p;x(t)=gi(t,x(t),t (ti,si,i=1,2,p;x(0)=(x);（1）其中：A:D(A)X X是 Banach 空间中强连续半群T()的生成元，0=t0=s0 t1 s1 t2 0时T(t)是紧的），这里，M1 0，T M1.利用半群的性质，类似于文献 14 的证明方法，可以得到下面的结论.引理 1 假设条件(a)成立，f:J X X是Caratheodory 函 数，定 义 映 射Qf:PC(Ji,X)C(Ji,X)为Qfu(t)=sitT(t-s)f(s,u(s)ds，i=1,2,p,则Qf是紧映射.令|DIi=u C(Ii,X):u(ti)=v(ti)+,u(t)=v(t)，t Ii，i=1，2，p，v D PC(J,X)，|DJi=u C(Ji,X):u(si)=v(si)+,u(t)=v(t),t Ji,i=0,1,2,p,v D PC(J,X)，则有引理 2 成立.引理 2 集合D PC(J,X)在PC(J,X)是预紧的，当且仅当集合|DIi在C(Ii,X),i=1,2,p和集合|DJi在C(Ji,X),i=0,1,2,p是预紧的.下面给出 Banach 空间Y的有界子集上的非紧性 Hausdorff 测度()的一些性质，这里，()=inf 0,在Y中具有有限-网.引 理 315设Y是 一 个 实 Banach 空 间，B,C Y有界，以下性质成立：B是预紧的当且仅当(B)=0；(B)=(B)=(convB)，其 中，B和convB分别表示B的闭包和凸包；当B C时，(B)(C)；当B+C=x+y:x B,y C，有(B+C)(B)+(C)；(B C)max (B),(C)；(B)=|,R;如果映射T:D(T)Y Z关于常数k是 Lipschitz 连续，则当Z是 Banach 空间时，对于 任 何 有 界 闭 子 集B D(Q)，有(TB)k(B).对于任意有界闭子集C W，如果(TC)k(C)且0 k 0,存在一个l L1(J,R+)，使 得 对 于 所 有 的x Yl，t J，有f(t,x)l(t).(c):PC(J,X)X是一个连续映射，它将Yr映射到一个有界集.此外存在=r(0,t1)，332023 年第 8 期学 报使 得 对 任 何u,v Yr，有(u)=(v)，这 里u(s)=v(s),s ,b.(d)gi:PC(J,X)X,i=1,2,p是 全 连 续映射，它将Yr映射到一个有界集.(e)对r 0，有maxgi,M21(r)+M1rL1，M1gi+M1rL1 1是PC(J,X)上的一个序列，limm +um=u.由假设条件(b)、(c)、(d)和控制收敛定理，可知(um)(u),gi(s,um(s)gi(s,u(s),f(s,um(s)f(s,u(s),s J,um,u X,和num(t)-nu(t)gi(t,um(t)-gi(t,u(t),t Ii,i=1,2,p;M21(u)-(um)+M10tf(s,um(s)-f(s,u(s)ds;t J0;M1gi(si,um(si)-gi(si,u(si)+M1sitf(s,um(s)-f(s,u(s)ds,t Ji,i=1,2,p;则limm +Tnum=Tnu，即n在PC(J,X)上是连续的.其次，证明nYn Yr，根据假设条件(a)、(b)、(c)、(d)、(e)，对于任意的u YrPC(J,X)，可得到nu(t)gi r,t Ii,i=1,2,p;M21()u+M1rL1 r,t J0;M1gi+M1rL1 r,t Ji,i=1,2,p.根据(e)可知，nYn Yr，进而可得Yr是凸闭的.下面证明n在PC(J,X)上是紧算子.定义算子Qf:Yr C(Ji,X)为(Qfu)(t)=sitT(t-s)f(s,u(s)ds,t Ji,i=0,1,p.根据引理 1，知Qf:Yr C(Ji,X)是紧的.记T()1nT(t)(u),t J0;T(t-si)T()1ngi(si,u(si),t Ji,i=0,1,2,p;T()1ngi(t,u(t),t Ii,i=1,2,p;（4）由（a）、（c）、（d）易得（4）的紧性.因此n是紧的.利用 Schauder 不动点定理，得到算子n在Yr上有一个不动点u，即u(t)是非局部问题（2）的温和解.定义解集D,D(t),D(t+)如下：D=un PC(J,X):un=nun,n 1,D(t)=un(t):un D,n 1,t 0,b,D(t+)=un(t+):un(t+)=lims t+un(s),un D,t (0,b),n 1.（5）引理 5 假设(a)、(b)、(c)、(d)、(e)成立，则在X上|DJ0(t)是相对紧的，|DJ0在J0上等度连续.此 外，|DIi(t)，|DJi(t)分 别 在C(Ii;X)、34丁敏敏：非瞬时脉冲抽象微分方程非局部问题温和解的存在性C(Ji;X)上是预紧的.证明 对un0|DJ0,n 1，un D，有un0(t)=T(t)T()1n(un)+0tT(t-s)f(s,u0(s)ds,t J0.（6）令t (0,t1,0,un0|Dj0,n 1.根 据 假设条件(a)、(b)、(d),存在 (0,t)，使得对于任意的n 1，有un0(t)-T()un0(t-)=t-tT(t-s)f(s,u0(s)ds M1t-tl(s)ds ，（7）则根据T()的紧性，知|DJ0(t)是相对紧的.对于|t J0,DJ0(t)是相对紧的和预紧的.则存在一个有限族 vi,i=1,2,k|DJ0(t)，使 得 对 于 任 意|un0 DJ0，有i0 1,2,k，()M1+1un0(t)-vi13，另 一 方 面，选 择如上，使得当|un0 DJ0，M1tt+f(s,u0(s)ds 3，（8）则对|un0 DJ0，有un0(t+)-un0(t)un0(t+)-T()un0(t)+T()un0(t)-un0(t)M1tt+f(s,u0(s)ds+T()un0(t)-T()vi0+T()vi0-vi0+vi0-un0(t)M1tt+f(s,u0(s)ds+T()vi0-vi0+(M1+1)un0(t)-vi0，（9）即当t J0,|DJ0是等连续的.考虑集合|DI1 C(I1;X)，对于un1(t)|DI1，当un D,n 1时，有un1(t)=T(t-t1)T()1ng1(t,un(t),t I1;un1(t1+)=T()1ng1(t1,un(t1).（10）对 于t I1，由T()1n的 紧 性，可 得 出T(t-t1)T()1ng1(t,un):un D,n 1在X中 是相对紧的.对 于t1 s t s1,当t s时，易 得T(t-t1)T()1ng1(t,un):un D,n 1在X中 具有一致连续性.从而在I1上T(t-t1)T()1ng1(t,un):un D,n 1是等度连续的，且在C(I1;X)中是预紧的.类似地，|T(t-ti)T()1ngi(t,un):un D,n 1Ii,|T(t-si)T()1ngi(si,un(si):un D,n 1Ji,分别在C(I1;X),C(Ji;X),i=1,2,p,中是预紧的.由式（5）可知，对于t Ji,i=1,2,p，有T(t-si)T()1ngi(si,u(si)+sitT(t-s)f(s,u(s)ds在C(Ji;X)中是预紧的.定理 1 假设(a)、(b)、(c)、(d)、(e)成立，则方程（1）至少有一个温和解.证明 为证明方程（2）的解集D在PC(J;X)中是预紧的，即证明在X上D(0)是相对紧的，且根据引理 2 和引理 3 在t=0处D是等连续的.当un D，n 1令u n(t)=un(t),t ,t1,un(),t 0,（11）352023 年第 8 期学 报其中如假设(c)定义.则根据假设条件(c)，(un)=(u n).根 据 引 理 5，令limn un=u PC(J;X)，根据(c),(d),i=1,2,p和半群T(t)的连续性，可知在X中D(0)、D(ti)是相对紧的.当t (0,t1)Ii Ji,i=1,2,p且D(0)，D(ti)，D(si)，i=1,2,p,在X中都是相对紧的，则当t 0,t ti,t si,i=1,2,p时，有un(t)-un(0)0,un(t)-un(ti)0,un(t)-un(si)0.（12）因此D(0),D(ti),D(si),i=1,2,p,在X中等度连续.D在PC(J;X)中是预紧的.假 设limn un=u PC(J;X)，根 据 引 理 4温和解的定义，则un(t)=gi(t,un(t),t Ii,i=1,2,p;T()1nT(t)(un)+0tT(t-s)f(s,un(s)ds,t J0;T(t-si)gi(si,un(si)+sitT(t-s)f(s,un(s)ds;t Ji,i=1,2,p.（13）当n 时，对式（13）两边同取极限，可得limn un(t)=u(t)=gi(t,u(t),t Ii,i=1,2,p;T(t)(u)+0tT(t-s)f(s,u(s)ds,t J0;T(t-si)gi(ti,u(si)+sitT(t-s)f(s,u(s)ds;t Ji,i=1,2,p.（14）根据定义 1，u是（1）的温和解.3结语本文利用不动点定理和逼近解理论，证实了非局部条件下非瞬时脉冲抽象微分方程温和解的存在性，并求得温和解，推广和补充了已有的一些结果.参考文献：1 HERN E E，DONAL O R.On a new class of abstract impulsive differential equations J.P Am Math Soc，2012，141（5）：1641-1649.2 PIERRI M，HENR Y H R，ANDR E.Global solutionsforabstractdifferentialequationswithnon-instantaneous impulses J.Mediterr，2016，13（3）：1685-1708.3YANG D，WANG J R.Integral boundary valueproblems for nonlinear non-instantaneous impulsive differential equationsJ.Appl Math Comput，2017，55（4）：59-78.4 KHALIQ A，REHMAN M U.On variational methods to non-instantaneous 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University of Chinese Medicine，Hefei 230012，China）Abstract：In this paper，the fixed point theorem and the approximation technique are used to study theexistence of the mild solution for the non-instantaneous impulsive abstract differential equations.The difficult problem of compactness of the operator at zero point is solved by using the approximation method.Finally，the mild solution is confirmed and obtained.Keywords：non-instantaneous impulsive differential equations；nonlocal problem；fixed point theorem；techniques of approximate solutions 37