中考数学总复习 锐角三角函数.doc

2011届初三锐角三角函数中考总复习(提高版)
【例1——特殊的锐角三角函数值】填写表格：

30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

【反馈】①已知∠A是锐角，且sinA=，那么90°—∠A等于 ．
②当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
【例2——与三角形的有关计算】已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
【反馈】①如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为 ．
②在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，AB=2，则AC= ．
【例3——锐角三角函数之间的关系】若sin28°=cosα，则α= ．
【反馈】①直角三角形两锐角的正切函数的积为 ．
②在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA是方程5-14x+8=0的一个根，则sin A ，tan A ．
③tan2°·tan4°·tan6°…tan88°
【例4——锐角三角函数的计算】sin230°+cos245°+sin60°·tan45°
【反馈】①
②先化简．再求代数式的值． 其中a＝tan60°－2sin30°．
【例5——解直角三角形】在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24cm，cosA＝，求这个三角形的周长．
【反馈】已知：如图，在Rt△中，，．点为边上一点，且，．求△周长．（结果保留根号）
【例6——方位角】如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障．已知港口A处在处的北偏西37°方向上，距B处20海里；C处在A处的北偏东65°方向上．求B、C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
参考数据：
65°
37°
北
北
A
C
B
65°
37°
北
北
A
C
B
D

【反馈】①为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）
C
A
B
60°
45°
北
北

②某地有一居民楼，窗户朝南,窗户的高度为hm，此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大．小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD．要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠和∠的相应数据：∠=24 °36′，∠=73°30′，小明又得窗户的高AB=．
若同时满足下面两个条件，(1)当太阳光与地面的夹角为时，要想使太阳光刚好全部射入室内：(2)当太阳光与地面的夹角为时，要想使太阳光刚好不射入室内，请你借助下面的图形，帮助小明算一算，遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？(精确到0.01m)
以下数据供计算中选用
【例7——俯角、仰角】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，
看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，C
A
B
这栋高楼有多高？
（结果精确到0.1 m，参考数据：）
【反馈】①如图，线段分别表示甲．乙两建筑物的高，，从点测得点的仰角为60°从点测得点的仰角为30°，已知甲建筑物高米．
（1）求乙建筑物的高；
（2）求甲．乙两建筑物之间的距离（结果精确到0.01米）．
（参考数据：）

D
乙
C
B
A
甲

②坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子.
（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华，用测角仪测出看塔顶的仰角，在点和塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角，然后用皮尺量出．两点的距离为m,自身的高度为m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结果保留整数）.

图1
图2

（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的长为m（如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：
Ⅰ在你设计的测量方案中，选用的测量工具是： ；
Ⅱ要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？
【例8——坡度】庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
【反馈】①我市某区为提高某段海堤的防海潮能力，，背水坡度由原来的1:1改成1:2，，求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字．
(提供数据:)
②云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水面，点E在DC上，测得背水坡AB的长为18米，倾角∠B=30°，迎水坡CD上线段DE的长为8米，∠ADC=120°．
（1）请你帮技术员算出水的深度（精确到0.01米，参考数据）；
（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？（精确到0.01米）
【例9——几何综合型】如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，E
M
N
O
C
B
A
F

交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F.
（1）求证：△ACO∽△NCF；
（2）若NC∶CF＝3∶2，求sinB 的值.
【反馈】①已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)当BC＝4，时，求⊙O的半径．
②（请量力而行！）已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： ．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，
求tan∠ACP的值．
【例10——大综合型】（请量力而行！）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
【反馈】（请量力而行！）如图10，以点M（—1，0）为圆心的圆与轴、轴分别交于点A、B、C、D，直线与⊙M相切于点H，交轴于点E，求轴于点F。
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图11，弦HQ交轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；
（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交轴于点N。是否存在一个常数，始终满足MN·MK，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。
答 案
【例1】

30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

1

【反馈】①30°
②D
【例2】A
【反馈】①2
②
【例3】62°
【反馈】①1
②，
③1
（点拨：直角三角形两锐角的正切函数的积为1）
【例4】+
【反馈】①3．
②．
【例5】60
【反馈】
【例6】之间的距离约为21.6海里．
【反馈】①我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置
②BC的长约为，CD的长约为．
【例7】这栋楼高约为152.2 m．
【反馈】①
②（1）太子灵踪塔的高度为.
（2）Ⅰ测角仪．皮尺；Ⅱ站在P点看塔顶的仰角．自身的高度．
【例8】李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．
【反馈】①完成这工程约需土方2.4×103m3.
②（1）；（2）
【例9】（1）略；（2）sinB=3/4
【反馈】①（1）略；（2）BO=
②（1）如图1 连接AD

∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°
∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM
（2）AE=2MD
（3）如图2 连接AD、EP ∵AB=AC
∠ABC=60°D ∴△ABC为等边三角形
又∵D为BC中点 ∴AD⊥BC ∠DAC=30
BD=DC=AB
∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM
∴△ABE∽△DBM
∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP
∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60°
∴△BEP为等边三角形
∴EM⊥BP ∴∠BMD=90° ∴∠AEB=90°
∵D为BC中点 M为PB中点 ∴DM//PC
∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB
过N作NH⊥AC，垂足为H
在
【例10】（1）CE=．
（2）设BC=BD=，∠ACB=90°,∴，∴=4 ，BC=BD=4，
过D作DH⊥BC交BC于H,如图2，∴DH∥AC,∴,∴,
∴,
同理可得,∵DH∥AC,∴,,∴CP=4, ∵∠ECP=90°,
∴=．
（3）如图3，当时，设CE=，∴CP=3,由（2），
∴设BD=，∴，，，，
∴，∴，
∴=m＋1＋x＋1＋3m－3x=3x＋3．
【点拨】此题还有其它解法，过D作一垂线交线段AC，此法也较为容易
【反馈】（1）如图①，OE=5，，CH=2
（2）如图②，连接QC、QD，则，
易知，故，
，，由于，
；
（3）如图③，连接AK，AM，延长AM，
与圆交于点G，连接TG，则
，
由于，故，；
而，故
在和中，；
故；
;
即：
故存在常数，始终满足=4
图②
F
F
图①

F
图③
1

【点拨】此题还有其它解法，连BM、BN、AH，易证B、M、H三点共线，且AH平行于x轴，证得△BMN相似△KMB。