高维旋转曲面.pdf

数学杂志Vol.43(2023)J.of Math.(PRC)No.4高维旋转曲面李颖，李志凤(西北大学数学学院；西北大学非线性科学研究中心，陕西西安7 10 12 7)摘要：本文考虑欧氏空间中一种余一维的高维旋转曲面，通过发展出一种全新的复合映射、维数分解与分块矩阵递推法，我们系统性地研究了同它的面积和曲率有关的一系列问题.当母函数是多元函数时，这种高维旋转曲面的概念尚属首次提出.我们给出了这种高维旋转曲面的面积公式以及它的一些简单应用.我们发现：在任一直径方向上，单位球面的面积分布和低一维单位球体的体积分布完全相同，并且当维数趋于无穷时它们的密度函数的极限都是狄拉克函数，通过研究相应面积泛函的变分问题，我们得到了所谓的极小旋转曲面方程我们证明了：满足极小旋转曲面方程的母函数对应的旋转曲面的平均曲率等于零这种极小旋转曲面方程推广了传统的极小曲面方程，并且为非参数极小曲面理论提供了新的更一般的研究框架；通过计算径向对称解对应的常微分方程，我们研究了它的一些简单的特解.我们也简单讨论了相应的预定平均曲率和预定高斯曲率问题.关键词：高维旋转曲面；极小旋转曲面方程；单位球面的面积分布；平均曲率；极小曲面方程MR(2010)主题分类号：14Q10；53A 10；53A 0 5；53A 0 70175.29;0186.1;0172文献标识码：A1 引言本文在欧氏空间中引入几类余一维的高维旋转曲面的概念，进而着重研究了同它们的面积和曲率有关的一系列问题；其中许多结果可以很容易地推广到高余维情形，为了叙述方便与讨论集中起见，我们只讨论余一维的情形.作为对一般三维空间中旋转曲面的推广，我们引进了所谓的RSn-2型旋转曲面和Rh Sn-k-1 型旋转曲面，其中后者可以视作前者的一种推广而囊括前者.设IC R 是有界闭区间，fECi(I,R+)，所谓的 RSn-型旋转曲面基本上就是指超曲面S:=(r,y)e R:f(a)=lyl,a e I c R,y e Rn-1).我们说S是函数f的图像在Rn空间中绕着轴旋转形成的曲面我们的第一个结果是计算出了RSn-型旋转曲面的面积公式中图分类号：0 17 6.1;文章编号：0 2 55-7 7 97(2 0 2 3)0 4-0 356-2 1ISI=|sn-2/V1+f(a)2 fn-2(a)dac,2元其中Sn-22表示n一2 维单位球面的面积.在计算旋转曲面面积时我们发展出了n-1一种全新的复合映射、维数分解与分块矩阵递推法，运用它们，我们可以方便地写出相关曲面*收稿日期：2 0 2 2-10-15作者简介：李颖（1995-)，女，河南，研究生，主要研究方向：偏微分方程与微分几何.通讯作者：李志夙（198 4-)，男，陕西，副教授，主要研究方向：偏微分方程与微分几何.接收日期：2 0 2 3-0 2-13No.4的参数表达式，并且可以比较清晰且容易地计算出相应的雅可比矩阵、雅可比行列式、第一、第二基本型、平均曲率以及高斯曲率等等，这在本文是一种统一且行之有效的方法（参见下文一般RSn-k-1型旋转曲面的面积和曲率的相关介绍部分).应用该面积公式，我们检验了像一般数学分析教科书里（参见1-5)传统的三维空间中旋转曲面那样，对RSn-2型旋转曲面沿对称轴“分割求和取极限”用高维圆台侧面微元逼近求面积的可行性同时，应用它，我们也顺道计算出了等底等母线长的高维圆锥和高维圆柱的侧面积比是1：n一1，其中n是空间维数；这其实对应我们熟悉的经典情形：等底等高的圆锥和圆柱的体积比是1：3.此外，我们研究了高维旋转曲面在对称轴方向上的面积分布，其中最有趣的情况是球面我们知道在三维空间中，当球的半径固定时，球冠或球台的表面积与其高成正比我们的计算表明，这种分布只有当空间维数是三维时才是正比关系；事实上，单位球面在任一直径方向的面积分布当维数增加时呈现向中间聚集的趋势，并且在维数趋于无穷时面积分布的密度函数的极限是狄拉克函数重要的是：在任一直径方向上，n+1维单位球面的面积分布和n维单位球体的体积分布完全相同（例如，非常简单的例子，二维球面的面积分布和一维“球体”/直线段的“体积”/长度分布都是恒同分布)，当维数趋于无穷时它们的密度函数的极限都是狄拉克函数.一般来讲，我们上述所谓的RSn-2型旋转曲面，其实是很容易想到的（甚至人们通常也认为是唯一可能的）一种对三维空间中经典旋转曲面的推广，并且我们也的确看到一些这样的文献例如，在文章快要完成时，我们发现文献6，7 均有涉及这样的几何体，前者证明这种极小旋转曲面夹在两个超平面之间，后者研究了常高斯曲率旋转曲面；读者可以通过阅读对比，体会我们计算方法的独有特点但实际上，还可以构造出更广泛类型的高维旋转曲面.比如，正如本文后半部分所做的那样，可以把旋转时所依据的母函数由一元函数推广到多元函数.设2，Z1,1-1.若R是开区域，:RR是二阶连续可微的非负函数，我们所谓的RSn-k-1型旋转曲面基本上就是指超曲面S:=(a,y)e R:u(a)=lyl,a E c Rh,y E Rn-k).可以认为曲面S是函数u的图像在Rn空间中“绕着”它的k维线性子空间Rk“旋转”n-k-1维形成的曲面.同样借助上文所言的RSn-2型旋转曲面情形我们发展出的复合映射、维数分解与分块矩阵递推法，我们计算出了RSn-k-1型旋转曲面的面积公式进一步地，通过研究相应面积泛函的变分问题，我们得到了与经典极小曲面方程对应的偏微分方程，即我们所谓的极小旋转曲面方程un-k-1divDu)-(n-k-1)V1+Du/2aun-k-2=0.(V1+IDul2显然，当k=n-1时，极小旋转曲面方程简化为经典的极小曲面方程在满足相同边值条件的母函数中，面积最小的RSn-k-1型旋转曲面的母函数满足极小旋转曲面方程；通过计算 RSn-k-1型旋转曲面的第一第二基本型以及平均曲率易知，满足极小旋转曲面方程的母函数对应的旋转曲面的平均曲率等于零，即极小旋转曲面平均曲率为零这说明极小旋转李颖等：高维旋转曲面ISI=Sn-k-11V1+|Du(a)P2aun-k-1(a)da.J357358曲面方程是一种非常有研究价值的偏微分方程。这里计算旋转曲面的第一第二基本型与曲率的方法，与前面的计算一脉相承，也是我们发展出的复合映射、维数分解与分块矩阵递推法；读者可将其与文献7 中相应的传统方法进行比较极小旋转曲面方程的解的存在唯一性、正则性以及刚性定理这些更重要的问题，是本文力有不逮的地方；我们其他一些初步的研究结果表明，它比传统的极小曲面方程困难，但是也遵循一些统一的原则通过计算径向对称解对应的常微分方程，研究一些简单的特解，本文最后简单讨论了相应的预定平均曲率和预定高斯曲率问题.术语符号本文用Rn表示n维欧式空间；任给向量ER，lc l表示它的标准欧氏范数（即所有分量平方和的开方)；detA表示矩阵AERnxn的行列式；I表示k阶恒等矩阵；坐标向量一般均视作列向量；向量或矩阵右上方的角标T表示其转置；如果集合SCRn的豪斯多夫维数是s维，则ISI表示集合S的s维豪斯多夫测度，在特定场合我们也称之为体积或者面积；B=【ER：a l r 表示球心在原点，半径为的维开球；Sh=aBH+1=eR+1:lal=)表示k维单位球面，即R+1中单位球B+1的边界曲面；关于它们的体积或面积，下述公式经常被用到（其中I，B表示欧拉积分函数)：#1B=(1+)0BI|=k|B|=并且我们会发现性质LB-1B-2=Sn-1在本文中拥有一些奇妙的应用.本文正文分为两大节：第二节和第三节.第二节主要讲RSn-2型旋转曲面，分为四个小节。在第2.1小节，我们首先给出一般参数曲面面积的一个确切定义，然后引入RSn-2型旋转曲面的概念，最后用一种复合映射、维数分解与分块矩阵递推法推导它的面积公式；应用这个公式，我们在第2.2 小节，验证旋转曲面的面积沿轴分割用高维圆台侧面微元逼近的可行性；在第2.3小节，研究高维圆锥和圆柱的侧面积比；最后在第2.4小节，研究单位球面在直径方向上的面积分布情况及其相关问题.第三节主要讲 RkSn-k-1型旋转曲面，分为三个小节在第3.1小节，我们引入一种更广泛的RSn-k-1型旋转曲面的概念，并且使用复合映射、维数分解与分块矩阵递推法推导它的面积公式；在第3.2 小节，我们研究相应面积泛函的变分问题，得到极小旋转曲面方程，并且研究了它的径向对称解；最后在第3.3小节，我们使用复合映射、维数分解与分块矩阵递推法计算旋转曲面的平均曲率和高斯曲率，证明了极小旋转曲面的平均曲率为零；也初步研究了相应的曲率方程。2 RSn-2型旋转曲面2.1 由一般参数曲面面积的定义，到 R Sn-型旋转曲面的定义以及它的面积关于欧氏空间中一般曲面面积的定义，通常的数学分析教科书1-4，8，9都是安排在多元函数积分学章节，作为积分学的一部分，由ISI=1d S定义，再通过引入参数方程化曲数学杂志2元（Sn2元BVol.432元2No.4面积分为重积分来计算；或者直接由后者来定义，其本质是通过参数表达式计算曲面上每点处的一组自然的切向量所生成的平行体的体积微元，然后再对其进行积分.定义2.1（参数曲面的面积）设Rn中的k维光滑曲面S的参数方程是一阶连续可导的单射2 CRkS CR,t,则称S=2为曲面S的(k维)面积.这样定义有很大的便利之处，比如我们可以很容易用它来直接计算高维旋转曲面的面积.三维空间中旋转曲面的概念是众所周知的，高维的对应事物有哪些类型，文献中论及的并不多，我们首先给出一种常见的比较能够自然而然想到的旋转曲面的定义.定义2.2（RSn-型旋转曲面）设 R（n 2)中的曲线c与直线l在 Rn中的同一个平面（二维子空间）上，并且c在I的单侧若对任给的点PEc，都存在唯一的点QEl,使得P,Q都在过P与l垂直的n1维超平面p上，则在p上与Q的距离同P与Q距离相等的点的集合，是以Q为心，以P-Q|为半径的n-2 维球面 Sp=(Q)。我们称所有SP20(Q)的并集为 Rn中的一个RSn-型旋转曲面，并称直线1为它的旋转轴，称曲线c为它的旋转母线.李颖等：高维旋转曲面det(at:at,)dt=/det(Dta)TDtadtS2S=UsPa(Q)QEl359CSiP-Q:（Q）不失一般性，下面我们只讨论Rn空间中旋转轴是i轴（或称轴)，旋转母线是i轴上函数图像的旋转曲面我们的第一个结果是下面的RSn-型旋转曲面面积定理.定理2.3设ICR是有界闭区间，EC1(I,R+)，则Rn空间中函数f的图像绕着轴旋转形成的（即以轴为旋转轴，以区间I上函数f的图像为旋转母线的）RSn-型旋转曲面S:=(a,y)e R:f(a)=lyl,a E I c R,y E Rn-1)的面积为IS/=|Sn-22元“2其中Ssn表示n一2 维单位球面的面积.注高维旋转体的体积是简单的事实上，我们可以利用球柱逼近由微元法得到对应的体积公式V=|Br-1|J,fn-1(a)da.V1+f(c)2 fn-2(c)dac,360证我们根据参数曲面的面积定义2.1直接给出定理2.3的证明。注意到RSn-2型旋转曲面的拓扑结构正是ISn-2,我们可以通过复合映射来得到它的参数表达式数学杂志Vol.43I QI Sn-2S cR,一y其中EI CR,Q:=(0,2)(0,).:(0,)C Rn-2,(sin On-2 sin On-3.in 01)1sin On-2 sin On-3 .cos 012EQC Rn-2.U=U(y=f()u(0)E Rn-1.E Sn-2 c Rn-1,sin On-2 cos On-3cos On-2根据定义，我们需要计算雅可比矩阵8(c,)J:=3(,0)其中 Du=Dou E R(n-1)x(n-2),则雅可比行列式0(,0)E Rnx(n-1)f()u(0)fDufTdetdetdet(1+012f2det0=V1+f fn-2 in-3 0 m-2 in-n-in 02,(1+10l2f20f(Do)Tf2(Du)TDuffuTDu(ffa(Du)Tuf2(Du)TDu0=V1+fafn-2Vdet(Du)TDun-1其中我们用到了 lu|=1和(Du)T=0,后者是因为 Sn-Rn-1,k=1n-1lo/2=1，两边同时求导，便有2 O:u=0，(D u)=0;另外，VdetDu)D=k=1sinn-3on-2sinn-4On-3sinQ2正是标准的n2 维球面坐标变换的雅可比行列式，参见下面的注记2.1.No.4因此，RSn-2型旋转曲面的侧面积S李颖等：高维旋转曲面Vdet(JTJ)d(e,a)IxQV1+fafn-2Vdet(Du)TDujdeda/det(Du)T DudeV1+f2fn-2da1+f2.fn-2 dad361+f(c)2fn-2(c)dc.(sin 0n-2(0)注 2.1 计算 Vdet(Du)T Du).因为=v(0)=所以0(U1,Un-1DU=0(01,0n-2)E R(n-1)x(n-2),ERn-1,其中cos On-2(sin On-3.sin 01)01sin On-3.cos Q12E Rn-3.2E Rn-2sin On-3 cos On-4cos n-3sinOn-20(0)cOs On-2sinOn-2Ducos On-2 0-sin On-2)0sin On-2(Do)T(Du)T Du=cOs On-2 UTsin?On-2(Du)T Dusin On-2 cos On-2uT Dusin?0n-2(Du)T Du001(sin?O n-2 .sin?03 sin?O20.00E IR(n-2)(n-2),0-sin n-2sin On-2 Cos On-2(Da)T)cos2 0n-2 UTu+sin?en-2)sin?0m-2.in?0300sin On-2Du0cos On-2 U-sin On-2)sin 0n-200100.00：362因此以及数学杂志Vdet Du)T Du=sin-3 0n-2 sinn-4 0n-3.sin?3 sin 02,det(Du)T Dude?2元?元Vol.43?元元JoJOJo2元sin62d02二Jon-3=2元IB2，2=1Josin0gdo3JoJon-3()(2)i+11=2元i=1sinn-3 On-2do n-22元 1T(4)2dS,72其中我们使用了欧拉函数的定义和转换关系I(p)r(q)B(p,Q)=2.2RSn-2型旋转曲面的面积沿轴分割用高维圆台侧面微元逼近的可行性在上一小节，我们按照定义计算了RSn-型旋转曲面的面积，即直接计算参数曲面的雅可比行列式，然后积分；这种方法的本质其实是切空间体积微元法回顾三维空间中旋转曲面面积的计算，在一般的数学分析教科书（参见1-4）中，这些内容都是出现在一元函数定积分的应用章节.在那里，人们把旋转曲面的旋转轴分割成若干段，每一段上用一个小圆台的侧面去近似原曲面的相应片段，并且不加证明地认为：如果这个逼近的极限存在，那它就是该旋转曲面的面积。我们不禁要问，这样做一般来讲正确吗？即这种方法对于相应的高维情形，例如我们所谓的RSn-2型旋转曲面，也成立吗？答案是肯定的，我们这一小节就主要来讨论这个问题.Rn-1f()PmPoPPf(ei-1)06ER如上图，考虑区间I:=a,b 的任意一个分割=o12.m=b.对每一个i=0,1,2,.,m，记a;:=ai一ai-1，记P,:=（a i,f(i)为各分点处函数f的图像上对应的点，并用l；表示直线段P-1P,的长度，用s；表示沿着函数图像的曲线段Pi-1P,的长度.m显然，区间a,b之间函数于的图像曲线的总长度s=si：人们通常用l，来近似si，并用i=1它们的有限和的极限limmax(Ari:1im)-0。1l；来计算或者定义曲线总长度s（如果这样可行No.4就称其为可求长曲线).将直线段Pi-1P,绕轴“旋转”，得到的曲面是一个“高维圆台”（可以参考我们定义2.2 给出的高维旋转曲面的定义）的侧面，记其为T.同上述曲线弧长的情形类似，我们有命题2.4极限max(Ari:li 0,存在 0,使得当一l时,I fn-2(a)-fn-2(y)l.又因为i,ni E(ci-1,ci),所以当maxa;:1 i m)时,我们有 I;-nil|ci-1-il=i,以及mZ V1+f(n)(fn-2(s.)-fn-2(mn)Aa;emax V1+f(a)Aaii=1V1+f()2(b-a)0(maxi:1im)0).因此mlimmax(Ari:1i的维开球若存在：0,R)R+，使得u()=(lcl)满足上述的极小旋转曲面方程，则(r)满足二阶常微分方程(3.1)1+2或等价地rbprr+(1+2)(k-1)bpr-(n-k-1)r)=0.证 记m:=n-k-1.因为Du()=(lal)/1+|Du+tDbl2(u+tab)n-k-1da/1+IDu/2bdrr(k-1)dr=n-k-1,1+Dul2=1+,bdacun-k-1DuDuNdsJanV1+IDul2Du+(n-k-1)V1+|Du/2un-k-2372所以数学杂志Vol.43um0=div1+IDu|2:div-m/1+d&gm-11+kdmorV1+o+rV1+-mV1+020m-1mom-1d?+smprr _ mb,(1+d+rbr0rr)rV1+gm-1ddrrV1+(1+dm-1(rrr+(1+2)(k-1)bbr-(n-k-1)r),(1+02)3/2(其中第三个等式我们使用了下面的求散度的公式：kdiv(lal)a)=Z.(lel)a)=Zi=1Du-mV1+Dul2um-1r2(1+$2)3/2(k-1)drK1kdmdr-mV1+d2am-1rV1+df(ll)+f(lal)=lf(lal)+kf(lal)=rfr+kf,其中 f:I C R R,r=|al,aE Rk.即得所证.注另外一种算法是先展开散度，然后代入径向函数的各阶导数即-mV1+Du/2um-10=divmum-1|Dul+umuV1+IDul22um1+IDu|2mV1+Dul2um-1um(Du)TD?uDu(1+|Dul2)3/2ummV1+dm-1V1+(Du)TD?2uDuu1+IDul2Pk-1)rD(k一m1+d&rrm1+m(3.2)T?mNo.4其中第四个等式我们使用了u(ac)=(lal),r=al,Du=(lalD?u=(lacl)注当n=3,k=1时，方程(3.1)化简为rr=1,容易解得(r)=CcoshC为常数)，这正是经典的悬链面的情形进一步地，对于任给的n2，当k=1时（这其实就是 RSn-2 型极小旋转曲面)，方程(3.1)化简为prr=(n2)(1+2)，该方程可以降阶求解，对于该类情形，文献中是有一些结论的，参见 6 .3.3 R Sn-k-1 型旋转曲面的平均曲率与高斯曲率我们知道，若函数u：CRnR的图像，在满足给定边界条件的所有函数类中，面积最小，则u满足极小曲面方程而这又等价于u的图像在Rn+1中的平均曲率等于零这一节我们来说明极小旋转曲面也有类似的性质首先，我们来计算一般 RSn-k-1型旋转曲面的平均曲率.定理 3.设Z2,Z,11,则以函数RR为母函数的RSn-k-1型旋转曲面在Rn中关于单位法向量的平均曲率1(1+Dul2)u-(D u)T D?u D uH=(n-1)V1+Dul21div(n-1)un-k-1证采用同定理3.2 完全一样的设定与记号，我们有0(c,)(,0)(c,0)则我们可以计算第一基本型和它的逆分别为Ik+Du(Du)TG=JTJ=0Du(Du)T1+IDu/20李颖等：高维旋转曲面(k-1)ru=d r r+Dudiv/1+IDul21+Dul2un-k-1Du)-(n-k-1)V1+Du/2un-k-21+Du|2Iku()v(Du)TuDu0u2(Du)TDu0(Du)T Du)-1)3731+IDul2=1+2,(C0,n-k-10DuuE Rnx(n-1)0u(Du)TE IR(n-1)x(n-1)374其中我们使用了Tu=1因为JT-Du(a)对应的第二基本型.由于 D(r,0)N(0)本型其中我们使用了 TDu=0.综上可得数 学杂志u=0，所以我们不妨先考虑法向量N：=D?u00DuD?u0HN=-JTD(a,0)N:0(1+/Dul)Ik-Du(Du)TG-1H=1+Dul20Vol.43，因此，对应于N的第二基-u(Du)T DuD?u0In-k因此，对应于法向量Ntr(G-1Hn)HN=n-1由公式HN=82(,)1(,0)?N=(as(e,)知,同法向量 JN=(e,0)N(,0)对应的第二基本型和平均曲率分别为HfN=H和HfN=fHn.因此,1HN/INI=(n-1)V1+|Dul2注（1)对应于法向量N=(n-1)u-k-1 的平均曲率un-k-1HN=+IDu(1+Dul2)Au-(Du)T D?uDu1+IDu|2un-k-1divDu-(n-k-1)V1+Dul2 un-k-2,V1+IDul2这正是我们由变分法计算出来的极小旋转曲面方程的左端，可以参照(3.2).(2)对应于单位法向量N/INI的高斯曲率的平均曲率1(1+Dul2)u-(D u)T D?u D un-11+|Du/2(1+|Dul2)u-(D u)T D?u D u1+IDu|2(n-1)un-k-1V1+|Du|2(-1)n-k-1n-k-n-k-n一K-(3）显然，当k=n一1 时，我们将得到经典的函数图像类型的预定平均曲率方程（包括极小曲面方程）和预定高斯曲率方程.No.4极小旋转曲面方程推广了传统的极小曲面方程，并且为非参数极小曲面理论提供了新的更一般的研究框架；上述几种退化椭圆方程的解的存在唯一性、正则性与刚性问题是很有价值的问题，它们和与之对应的经典问题有所类似但是也很不同；由于篇幅问题，对此本文不再展开。然后，我们很容易得到下述推论.推论3.6 函数u:CRkR+满足极小旋转曲面方程李颖等：高维旋转曲面375divun-k-1Du)-(n-k-1)V1+Du/2 un-k-2=0,V1+IDul2当且仅当以u为母函数的 RSn-k-1 型旋转曲面在 Rn 中的平均曲率恒为零.推论3.7 以径向函数 u(ac)=(lcl)为母函数的 RSn-k-1 型常高斯曲率(=ko，对应于上述单位法向量N/INl，在此N=（-(l e l)/lael,T()）旋转曲面满足下述以(r)为未知函数的二阶常微分方程df-1 prr-(-1)n-k-1 ork-1 gn-k-1(1+2)(n+1)/2=0.注我们知道，嵌入在三维欧氏空间的常高斯曲率的二维曲面，球面、环面、平面、伪球面或称曳物面，都是旋转曲面.与此类似，上述推论刻画了以径向函数为母函数的常高斯曲率Rk Sn-k-1 型旋转曲面的存在性.(1)设R0 是一个常数，不难验证：当ko=（-1)n-1/R n-1 时，(r）=VR 2-r 满足方程(3.3)（对应法向量-N/IMI的高斯曲率则为K-N/IMI=1/Rn-1).(2)当高斯曲率ko=0时，(r）=a r+b 满足方程(3.3)，其中a,b为任意常数.(3）当高斯曲率ko2是偶数）是否也存在类似伪球面一样的解，鉴于方程(3.3）的高度非线性，目前我们不是很清楚.证由简单的计算可得Du(c)=(lal)D?u=d(lal)aaT:/2Ko=K=-un-k-1(1+Du/2)n+1)/2(3.3)1+Dul2=1+z,(）a&T3(-1)n-k-1detD2det D?u=十prrdh-12rk-1(-1)-k-1pr-0%-17k-1 m-k-1(1+02)a+1)/2:参考文献1】陈纪修，金路，於崇华.数学分析（上册）M.第3版.北京：高等教育出版社，2 0 1 9.2李成章，黄玉民.数学分析（下册）M.第2 版.北京：科学出版社，2 0 0 7.3】徐森林，薛春华.数学分析 M.北京：清华大学出版社，2 0 0 5.4 Zorich V A.Mathematical analysis II M.Vancouver:Springer,2016.5】朱士信，唐烁，查看清。高等数学（下册）M.第2 版.北京：高等教育出版社，2 0 2 0.6】姜磊.关于欧氏空间中旋转对称的极小超曲面 J.北京：数学的实践与认识，1 9 8 9（1)：9 2-9 4.3767 Liu Y H,Dai Y C.Rotational hypersurfaces with constant Gauss-Kronecker curvatureJ.Shanghai:Chinese Annals of Mathematics,Series B,2022,43(3):343-358.8 Fitzpatrick P.Advanced calculus M.Providence Rhode Island:American Mathematical Society,2009.9 Rudin W.Principles of mathematical analysis M.New York:McGraw-Hill Education,1976.10 Colding T H,Minicozzi W.A course in minimal surfaces M.Providence Rhode Island:AmericanMathematical Society,201l.数学杂志Vol.43HIGH-DIMENSIONAL SURFACE OF REVOLUTIONLI Ying,LI Zhi-su(School of Mathematics&Center for Nonlinear Studies,Northwest University,Xian 710127,China)Abstract:In this paper,we consider a co-dimensional one high-dimensional surface ofrevolution in Euclidean space.By developing a new kind of function composition,dimensionaldecomposition and block matrix recursion argument,we study systematically a series of problemsrelated to the area and curvature of this new kind of surface.While the generating function ismulti-variable,the concept of this high-dimensional surface of revolution is proposed for the firsttime.We give the area formula of the high-dimensional surface of revolution and some of its simpleapplications.We find that,along with the direction of any diameter,the area distribution of theunit sphere is exactly as the same as the volume distribution of the one-dimensional lower unitsphere,and the limit of their density functions is the Dirac function when the dimension tends toinfinity.By studying the variational problem of the corresponding area functional,we obtain theso-called minimal surface of revolution equation.We prove that the mean curvature of a surfaceof revolution corresponding to the generating function satisfying the minimal surface of revolutionequation is equal to zero.The minimal surface of revolution equation is a generalization of thetraditional minimal surface equation,which provides a new and more general research frameworkfor the theory of the nonparametric minimal surface;by calculating the ordinary differentialequation corresponding to the radially symmetric solution,we study some of its simple specialsolutions.We also briefly discuss the corresponding prescribed mean curvature and prescribedGaussian curvature problems.Keywords:high-dimensional surface of revolution;minimal surface of revolution equation;the area distribution of the unit sphere;mean curvature;minimal surface equations2010 MR Subject Classification:14Q10;53A10;53A05;53A07