圆锥曲线的范围、最值问题.doc

圆锥曲线的最值、范围问题
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．
一、利用圆锥曲线定义求最值
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
【例1】已知是椭圆内的两个点,是椭圆上的动点,求的最大值和最小值．
【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论三点是否共线,总有,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．
【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．
【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知为抛物线上一个动点,为圆上一个动点,当点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小时,点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点到点的距离与点到准线距离之和的最小值就是点到点的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.
【解析】设到抛物线准线的距离为,抛物线的焦点为,圆心为,则,故选A.
二、单变量最值问题转化为函数最值
建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．
【例2】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程.
（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.
【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；
根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设,将直线方程代入椭圆方程得：,
根据得到；设,应用韦达定理.讨论当k=0,的情况,确定的不等式.
【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,
∴圆心到直线的距离*
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得 ∴
故所求椭圆方程为
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设
将直线方程代入椭圆方程得：
∴
∴
设,则………………8分
当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.
当时
得
∴
将上式代入椭圆方程得：
整理得：
由知
所以
【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,进而求函数值域．
【小试牛刀】【2017河南西平县高级中学12月考】已知中心在原点,焦点在轴上,离心率为的椭圆过点．[来源:Z。xx。k.Com]

（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点的直线与该椭圆交于,两点,满足直线,,的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可设椭圆方程,
则解得所以方程为．
（2）由题意可知,直线的斜率存在且不为,故可设直线的方程为（）,
,,由得,
则,
且,,
故．
因直线,,的斜率依次成等比数列,所以,
即,又,所以,即．
由于直线,的斜率存在,且,得且．
设为点到直线的距离,则,
所以的取值范围为．
三、二元变量最值问题转化为二次函数最值
利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．[来源:学|科|网]
【例2】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最大值为
【分析】设点,利用平面向量数量积坐标表示,将用变量表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．

【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．
【小试牛刀】抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又已知点,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由抛物线的定义可得,又,
,
当时,；当时,,
,当且仅当即时取等号,于是,
,,
综上所述的取值范围是.
四、双参数最值问题
该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．
【例3】在平面直角坐标系中,已知椭圆：的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且满足（O为坐标原点）,当时,求实数的取值范围.
【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到与的关系,又因为椭圆上的点到点的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为在椭圆上,所以,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出,所以,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设点坐标,由题意设出直线方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示得出,由于点在椭圆上,得到一个表达式,再由,得到一个表达式,2个表达式联立,得到的取值范围.
【解析】（Ⅰ）∵ ∴
则椭圆方程为即
设则

当时,有最大值为
解得∴,椭圆方程是
（Ⅱ）设方程为
由 整得.
由,得.

∴ 则,

由点P在椭圆上,得化简得①
又由即将,代入得
化简,得
则, ∴②
由①,得
联立②,解得∴或
【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P在椭圆上,和已知向量等式得变量的等量关系,和变量的不等关系联立求参数的取值范围．
【小试牛刀】已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若存在直线,使得直线与椭圆分别交于两点,与圆分别交于两点,点在线
段上,且,求圆的半径的取值范围.
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,因为
所以椭圆的方程为.

显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是y轴,与已知矛盾,所以要使,只要,所以

当时,.
当时,3,
又显然,所以.
综上,圆的半径的取值范围是.
圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
【迁移运用】
1．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.
2．【2016-2017学年河北定州市高二上学期期中】过双曲线的右支上一点,分别向圆：和圆 ：作切线,切点分别为,,则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【解析】由题可知,,因此.故选B．
3．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为,.这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C

4．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线,点Q是圆上任意一点,记抛物线上任意一点到直线的距离为,则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点为,连接,则．将圆化为,圆心为,半径为,则,于是由（当且仅当三点共线时取得等号）．而为圆上的动点到定点的距离,显然当三点共线时取得最小值,且为,故应选．

5．【2016届重庆市巴蜀中学高三10月月考】已知为椭圆C：的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点,的最大值、最小值分别为（ ）
A．9,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8
【答案】B

6．【2016届重庆市南开中学高三12月月考】设点是椭圆上两点,若过点且斜率分别为的两直线交于点,且直线与直线的斜率之积为,,则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由椭圆,设,对两边对x取导数,可得即有切线的斜率为,
由题意可得AP,BP均为椭圆的切线,A,B为切点,则直线AP的方程为
同理可得直线BP的方程为,求得交点P的坐标为
,

,
设,

时,
7．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知为圆：的两条相互垂直的弦,垂足为,则四边形的面积的最大值为 .
【答案】
【解析】设圆心到的距离分别为,则,则,,所以四边形的面积,故填
8．【2017学年河北冀州中学上学期月考四】已知双曲线：的右焦点为,是双曲线的左支上一点,,则△周长最小值为 ．
【答案】[来源:学科网ZXXK]
【解析】周长最小,即最小,设左焦点为,由双曲线的定义可得,而的最小值为,的最小值为,故填.
9．【2017届江西吉安一中高三周考】已知双曲线的右焦点为是双曲线的左支上一点,,则周长最小值为____________．
【答案】
【解析】,右焦点为,设左焦点为,三角形的周长为当三点共线时,周长取得最小值为．
10．【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知椭圆,的离心率,且过点.
(Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)设与圆相切的直线交椭圆与,两点,求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.
【答案】（1）；（2）最大值为,此时直线方程.
【解析】（1）由题意可得：

（2）①当不存在时,,

②当不存在时,设直线为,
,,
,

当且仅当,即时等号成立
,
面积的最大值为,此时直线方程.[来源:学科网]

11．【2017届湖南长沙一中高三月考五】如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点,的最大值是,的最小值是,且满足.

（1）求椭圆的离心率；
（2）设线段的中点为,线段的垂直平分线与轴、轴分别交于,两点,是坐标原点,记的面积为,的面积为,求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)令,则,.
由,得,即,即,,即,
所以椭圆的离心率为.
（2）由线段的垂直平分线分别与轴、轴交与点、,知的斜率存在且不为0.[来源:学&科&网]
令的方程为.
联立,得.
,,.
由,得,解之得.
由,得.
令,则,于是.
而上递增,.于是.
又,,的取值范围是.
12．【2017届贵州遵义南白中学高三上学期联考四】如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,它的一个顶点为,且离心率等于,过点的直线与椭圆相交于不同两点,,点在线段上．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设,若直线与轴不重合,试求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆的标准方程是,
由于椭圆的一个顶点是,故,根据离心率是得,
解得,所以椭圆的标准方程为．

13．【2017届福建连城县二中高三上学期期中】设直线：与椭圆相交于,两个不同的点,与轴相交于点,记为坐标原点．
（1）证明：；
（2）若,的面积取得最大值时椭圆方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）依题意,直线显然不平行于坐标轴,故可化为,
将代入,整理得,①
由直线与椭圆相交于两个不同的点,得,
化简整理即得．（*）

将,及,这两组值分别代入①,
均可解出,
经验证,,满足（*）式．
所以,的面积取得最大值时椭圆方程为．
14．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知椭圆：的一个焦点为,左右顶点分别为,．
经过点的直线与椭圆交于,两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记与的面积分别为和,求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（I）因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为
（Ⅱ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时, 面积相等,
当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然,方程有根,且
此时

因为,上式,（时等号成立）
所以的最大值为
另解：（Ⅱ）设直线的方程为：,则
由 得,．
设,,
则,．
所以,,,

当时,．
由,得 ．
当时,
从而,当时,取得最大值．
15.已知椭圆经过点,其离心率为,设直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与圆相切,求证：（为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段为邻边作平行四边形,若点在椭圆上,且满足（为坐标原点）,求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）,
,将点代入,得,
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）因为直线与圆相切,所以,即
由,得．
设点、的坐标分别为、,
则,,
所以==,
所以===0,故,

点在椭圆上,有,
化简,得．
,有． ①
又,
由,得． ②
将①、②两式,得
,,则且．
综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况,得实数的取值范围是且．