隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

返回,后页,前页,2,隐 函 数 组,隐函数组存在性、连续性与可微性,是函数方程组求解问题理论基础.利用隐函数组思想,又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题,.,一、隐函数组概念,二、隐函数组定理,三、反函数组与坐标变换,第1页,第1页,一、隐函数组概念,设有一组方程,使得对于任给,足方程组(1),则称由(1)拟定了隐函数组,有惟一 与之相应,且使,满,其中函数 定义在区域 若存在区域,第2页,第2页,并有,关于隐函数组普通情形(含有,m,+,n,个变量,m,个方程所拟定,n,个隐函数)，将在第二十三,章采用向量函数形式作进一步讨论,第3页,第3页,首先来看看,若由方程组(1)能拟定两个可微隐,函数 ,则函数,应满,足何种条件呢?,不妨先设 都可微,由复合求导法,通过对(1),分别求关于,x,与,y,偏导数,得到,第4页,第4页,能由(2)与(3)惟一解出 充要,条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即,由此可见，只要 含有连续一阶偏导数，且,其中 是满足(1)某一,初始点,则由保号性定理，使得在此邻域,内(4)式成立,依据以上分析,便有下述隐函数组定理.,第5页,第5页,雅可比（,Jacobi,C.G.J.,1804-1851,德国,）,第6页,第6页,定理 18.4,(隐函数组定理),设方程组(1)中函数,F,与,G,满足下列条件：,(i)在以点 为内点某区域,上连续；,(ii)(初始条件);,(iii)在,V,内存在连续一阶偏导数；,(iv),二、隐函数组定理,第7页,第7页,即有,则有下列结论成立：,且满足,必定存在邻域,其中,使得,第8页,第8页,在 上连续.,在 上存在一阶连续偏导,数,且有,本定理详细证实从略(第二十三章有普通隐函,数定理及其证实),下面只作一粗略解释:,第9页,第9页,由方程组(1)第一式 拟定隐,函数,将 代入方程组(1)第二式,得,再由此方程拟定隐函数 并代回至,这样就得到了一组隐函数,第10页,第10页,通过详细计算,又可得出下列一些结果:,第11页,第11页,例1,设有方程组,试讨论在点 近旁能拟定如何隐函,数组？并计算各隐函数在点 处导数.,解,易知点 满足方程组(5).设,第12页,第12页,它们在 上有连续各阶偏导数.再考察,在点 关于所有变量雅可比矩阵,由于,第13页,第13页,因此由隐函数组定理可知,在点 近旁能够惟一,地拟定隐函数组:,但不能必定,y,z,可否作为,x,两个隐函数.,第14页,第14页,利用定理 18.4 结论 ,可求得隐函数在点 处,导数值:,第15页,第15页,*注,通过详细计算,还能求得,这阐明 处取极大值,从而知道,在点 任意小邻域内,对每一个,x,值,会有,多个,y,值与之相应.类似地,对每一个,x,值,也会有多个,z,值与之相应.因此方程组(5)在点,近旁不能惟一拟定以,x,作为自变量隐函数组.,第16页,第16页,例 2,设函数 含有连续偏导数,是由方程组,所拟定隐函数组.试求,解,设 则有,第17页,第17页,由此计算所需之雅可比行列式:,于是求得,第18页,第18页,注,计算隐函数组偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示办法(利用雅可比矩阵和,雅可比行列式),掌握其中规律.这里尤其需要,“,精心,细心,耐心,”.,第19页,第19页,三、反函数组与坐标变换,设有一函数组,它拟定了一个映射(或变换):,写成点函数形式,即为 并记,象集为 现在问题是:函数组(6)满足,何种条件时,存在逆变换 即存在,第20页,第20页,亦即存在一个函数组,使得满足,这样函数组(7)称为函数组(6),反函数组,.它,存在性问题可化为隐函数组相应问题来处理.,第21页,第21页,为此,首先把方程组(6)改写为,然后将定理 18.4 应用于(8),即得下述定理.,定理 18.5,(反函数组定理),设(6)中函数在某区域,上含有连续一阶偏导数,是,内点,且,第22页,第22页,则在点 某邻域 内,存在惟一,另外,反函数组(7)在 内存在连续一阶,一组反函数(7),使得,偏导数;若记,第23页,第23页,则有,同理又有,第24页,第24页,由(9)式进一步看到:,此式表示:互为反函数组(6)与(7),它们雅,可比行列式互为倒数.这和以前熟知反函数求,导公式相类似,亦即一元函数导数和函数组(6),雅可比行列式互为相应物.,第25页,第25页,例3,平面上点直角坐标 与极坐标 之,间坐标变换为,试讨论它逆变换.,解,由于,因此除原点(,r,=0)外,在其余一切点处,T,存在,逆变换,第26页,第26页,第27页,第27页,例4,空间直角坐标 与球坐标 之间,坐标变换为(见右图),由于,第28页,第28页,因此在 (即除去,Oz,轴上一切点)时,存在逆变换,例5,设有一微分方程(弦振动方程):,其中 含有二阶连续偏导数.试问此方程在,坐标变换,之下,将变成何,种形式?,第29页,第29页,解,据题意,是要把方程(10)变换成以,u,v,作为自,变量形式.现在按此目的计算下列:首先有,故,T,逆变换存在,并且又有,依据一阶微分形式不变性,得到,并由此推知,第30页,第30页,继续求以,u,v,为自变量 与 表示式:,最后得到以,u,v,为自变量,微分方程为,第31页,第31页,复习思考题,1.,验证:定理 18.4 结论 能够写成,2.,验证:由定理 18.5 (9)式(书本中为(13)式),能够推得,第32页,第32页,