第二章-内积空间.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,例,1,常见几个线性空间上内积的定义：,欧氏空间（有限维实内积空间）：,上连续函数的全体构成的空间 ：,注：向量的长度 或,正交向量 ：,实数域上所有,n,次多项式构成的线性空间 ：,实数域上所有,n,阶方阵构成的线性空间 ：,性质,1,（内积的性质）,定理,1,（,Cauchy-Schwarz,不等式）,设 是内积空间，是 中任意两个向量，则有：,当且仅当 线性相关时等号成立。,上,Cauchy-Schwarz,不等式的分量形式,：,上,Cauchy-Schwarz,不等式的积分形式,：,例,2,设 是 中的一组向量，证明这组,向量线性无关的充要条件是下列行列式（,Gram,）,证明：设,2,、正交基与子空间的正交关系,定义,1,（正交组）,内积空间中两两正交的一组非零向量，称之为正交组。,注：,任何一个正交组都是线性无关的,。,定义,2,（正交基）,在,n,维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。,如果正交基中每个基向量的长度均为,1,，则称该组正交基为标准（或规范）正交基，通常记为,定理,1,（,正交基的构造,）,任一,n,维欧氏空间 都存在正交基。,证明,（略）。,证明过程给出了正交基的一种构造方法：著名的,Schmidt,正交化方法（线性代数学过）。,定义,3,（正交矩阵）,设 ，如果 ，则称 为正交矩阵。,性质,1,不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵。,设,n,维欧氏空间的两组标准正交基为,即,注：,正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。,正交矩阵,性质（略）,定义,4,（正交子空间）,设 是内积空间 的两个子空间，如果对,，均有 ，则称 与,是正交的子空间，并记为 。,性质,2,设内积空间 的两个子空间 与 是正交的，则 是直和。,两种方法说明：交集为零空间；,零元素表示唯一。,定义,5,（正交补空间）,设 是内积空间 的两个子空间，且满足,，则称 是 的正交补空间，简称正交补，记为 。,性质,3,n,维欧氏空间 的任一子空间 都有唯一的正交补。,证明,:,如果 ，则 是 唯一的正交补。,如果 ，在 中选取一组正交基,，并将其扩充为 的一组正交基,则 就是 的正交补。,唯一性：,证明,:,如果 ，则 是 唯一的正交补。,同理,例,3,已知 中：,，其中,求 。,利用,Schmidt,正交化方法将其化为正交基：,将 扩充为 的一组基：,解：,例,4,设 ，称 的子空间,为矩阵 的值域，求 。,注,：一般来说，称 为矩阵 的零空间。,3,、内积空间的同构,定义,1,（内积空间的同构）,设 是两个内积空间，如果,和 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的,满足,则称 和 是同构的。,注：,首先作为线性空间是同构的，在此同构之下保持内积不变。,定理,1,所有,n,维欧氏空间都同构。,设 是,n,维欧氏空间，是其一组标准正交基，则有,定义,容易验证该映射为同构映射，且保持内积不变，从而,与 同构。,设 是另一,n,维欧氏空间，是其一组标准正交基，则有,定义,从而 与 同构。,4,、正交变换,定义,1,（正交变换）,设 是内积空间 的线性变换，如果 对任意的 ，满足,则称线性变换 为 的一个正交变换。,定理,1,（正交变换的等价定义）,设 是,n,维欧氏空间 的一个线性变换，则下列命题等价：,是正交变换。,保持向量长度不变，即对 ，均有 。,如果 是 的一组标准正交基，则,也是 的一组标准正交基。,在 中任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵。,证明思路：,是正交变换,取,是正交变换,由,2,中,性质,1,：不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵，因此 为正交矩阵。,例,5,几个正交变换的例子：,的一个线性变换 ，对,则 是正交变换。,设 是内积空间 的一个线性变换，则,是正交变换 。,即：保持距离不变的线性变换是正交变换。,设 是内积空间 的一个变换，证明：如果 保持,向量的内积不变，即对 ，则,一定是线性变换，故是正交变换。,5,、点到子空间的距离与最小二乘法,定义,1,（距离）,设 是欧氏空间，,称 为 与,的距离，记为 。,性质,1,（距离的性质）,，当且仅当 时等号成立。,定义,2,（点到子空间的距离）,设 是欧氏空间 的一个子空间，,称,为 到 的距离。,问题,:,达到最小距离的 具有什么性质？,设,如果,定义,3,最小二乘法问题,提法,1,（矛盾方程组求解）,设给定不相容（或矛盾）线性代数方程组,其中,寻求近似解 ，满足,故称之为最小二乘解，相应方法称为最小二乘法。,提法,2,（数据拟合问题）,设给定一组数据 ，寻,求一个近似函数 （经验函数）来拟合该组,数据，使得,提法,1,的求法,记,问题 相当于：对于,给定的向量 ，寻求 使得 之间,的距离达到最小。,记,法（正规）方程组,解：,例,6,：,求下列方程组的,最小二乘解,一、复内积空间的定义,6,、复内积空间（酉空间）,定义,1,设,如果对 ，存在复数,（记为 ）与之对应，且满足下列条件,，当且仅当 时等号成立。,则称复数 为向量 的内积，定义了内积的,复线性空间称为复内积空间，或称为酉空间。,例,7,常见几个线性空间上复内积的定义：,n,维酉空间（有限维复内积空间）：,实数域上所有,n,次多项式构成的线性空间 ：,实数域上所有,n,阶方阵构成的线性空间 ：,性质,1,（复内积的性质）,定理,1,（,Cauchy-Schwarz,不等式）,设 是内积空间，是 中任意两个向量，则有：,当且仅当 线性相关时等号成立。,上,Cauchy-Schwarz,不等式的分量形式,：,关于复向量的长度、正交向量、正交基、标准,正交基的概念完全类似实内积空间中的定义，这儿,不再一一概述。,定义,2,（酉变换）,设 是酉空间 的线性变换，如果 对任意的 ，满足,则称线性变换 为 的酉变换。,二、酉变换,定义,3,（酉矩阵）,设 ，如果 ，则称,为酉矩阵。,定理,2,（酉变换的等价定义）,设 是,n,维酉空间 的一个线性变换，则下列命题等价：,是酉变换。,保持向量长度不变，即对 ，均有 。,如果 是 的一组标准正交基，则,也是 的一组标准正交基。,在 中任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵。,定理,3,所有,n,维酉空间都是同构的。,7,、正规矩阵,定义,1,（正规矩阵）,设 ，如果 ，则称 为正规,矩阵。,常见的正规矩阵：,实对称矩阵：实反对称矩阵：,厄米特矩阵：反厄米特矩阵：,正交矩阵：酉矩阵：,不属于前述类型的正规矩阵：,引理,（酉矩阵的构造）,设 是酉空间 的一个单位向量，则存在一个以 为第一个列向量的酉矩阵 。,证明：,取 ，且满足,上述关于变量 的方程组的解空间为,n-1,维，不妨假设,其线性无关组为 ，将其正交单位化后,得到 ，则 构成,的一组标准正交基，从而,证明：充分性直接利用定义验证易得。,定理,1,（正规矩阵的判定条件）,设 为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵 ，使得 酉相似于对角矩阵，即,必要性,：数学归纳法证明（对阶数,n,归纳）,当,n=1,时，结论显然成立。,假设结论对,n-1,阶矩阵,成立，下证对,n,阶矩阵也成立。,设 是 的一个特征值，是相应单位特征向量，,由引理知，存在以 为列向量的酉矩阵,其中 是,n-1,阶矩阵,下面易证 矩阵 和 均为正规矩阵。,因为 是,n-1,阶正规矩阵，由归纳假设结论,成立。,由归纳假设，存在,n-1,阶酉矩阵 ，满足,记 ，仍为酉矩阵，,是矩阵 的,n,个特征值。,推论,1,设 是,n,阶正规矩阵，特征值为,是厄米特矩阵 的特征值全为实数。,是反厄米特矩阵 的特征值为,0,或纯虚数。,是酉矩阵 的每个特征值 的模均为,1,。,推论,2,厄米特（,Hermite,）矩阵 任意两个,不同特征值对应的特征向量是正交的。,8,、厄米特（,Hermite,）二次型,定义,1,（厄米特二次型）,设 ，,为厄米特矩阵，则二次型,称之为厄米特二次型，的秩为二次型的秩。,例如：,注意,：,厄米特二次型与实二次型的区别。,二次型矩阵,厄米特二次型中不含交叉项时，称为二次型的,标准型,，即此时二次型矩阵为,对角形,矩阵。,定理,1,厄米特二次型 经满秩线性变换,后仍为厄米特二次型，且秩不变。,定义,2,（厄米特相合）,设厄米特二次型 经满秩线性变换,化为 ，则称矩阵 与 是,厄米特相合。或者说，存在可逆矩阵 ，使得,，则称 与 厄米特相合。,注意,：实二次型时称为合同关系。,定理,2,每个厄米特二次型 都可用某个酉变换,，使其化为标准型：,其中 是 的特征值。,例,8,化下列厄米特二次型为标准型：,解：,该厄米特二次型的矩阵为,下面先计算矩阵的特征值。,解：,该厄米特二次型的矩阵为,下面特征值相应的特征向量。,解方程组,解方程组,解方程组,将特征向量 利用,Schmite,方法正交化,处理（本题,3,个向量已经正交：不同特征值对应的特,征向量一定正交），然后再进行单位化。,将上述三个向量按照列排起来的矩阵就是酉矩阵,。,所求标准型为：,定义,3,（正（负）定二次型）,如果对 ，厄米特二次型,恒为正（负）数，则称该二次型是正（负）定的，此时厄米特矩阵 称为正（负）定的；若 恒不为负（正）数，即 ，则称 为半正（负）定的，相应的矩阵 称为半正（负）定的。,定理,3,厄米特二次型 为正定（或半正定）的充要条件是 的特征值全为正数（或全为非负数）,。,证明：,充分性由,定理,2,易证，必要性（采用反证法）,设存在特征值为非负，不妨假设,取非零向量,类似地可以证明半正定的情况。,定理,4,如果 为厄米特矩阵，则下列两个条件中的任何一个都是 为正定矩阵的充要条件：,存在满秩矩阵 ，使得 ；,存在满秩矩阵 ，使得 。,精品课件,！,精品课件,！,定理,5,厄米特二次型 为正定的充要条件是 的各阶顺序主子式大于零,。,定理,6,设 ，是两个厄米特二次型，且 正定，则存在满秩线性变换 ，使这两个二次型同时化为标准型：,利用,定理,4,证明。,