高三数学全真模拟试卷2.doc

高三数学全真模拟卷2
一、填空题（每题5分，共70分）
1、若关于的不等式的解集为，则实数m＝
2、若将复数表示为是虚数单位）的形式，则＝ ．
3、已知命题：“，”，请写出命题的否定:
4、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) ,
[140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在
[140，150]内的学生中选取的人数应为 。
5、设向量，，其中，若，则 .
6、圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差是_____________.
7、已知等比数列满足，且，则当时，______
8、已知F1、F2是椭圆=1(5＜a＜10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，则 △F1BF2的面积的最大值是

9、、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：
①⊥ ②⊥ ③⊥ ④⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： _____.
10、将正偶数集合…从小到大按第组有个偶数进行分组如下：
第一组　　 第二组　　　　 第三组 …………
…………
则位于第_______组。
11、设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 。
12、方程所表示的曲线与直线有交点，则实数的取值范围是 。
13、在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为直线上的动点，则的最小值为 。
14、设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足的最大整数的值为 。

二、解答题（90分）
15（本题满分14分）
在△中，已知·=9，sin=cossin，面积S＝6．
（Ⅰ）求△的三边的长；
（Ⅱ）设是△（含边界）内一点，到三边，，的距离分别为x，y和z，求x＋y＋z的取值范围．
16．（本题满分14分）如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。

（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

17、（本题满分15分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分8分。
如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。

18、（本题满分15分）已知圆交轴于两点，曲线是以为长轴，直线为准线的椭圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标。

19、（本题满分16分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。
设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。
（1） 求数列的通项公式；
（2） 试确定实数的值，使得数列为等差数列；
（3） 当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。
20．（16分）已知函数。
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：
附加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相
交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于
点F．求证：△PDF∽△POC．

B．选修4－2　矩阵与变换
已知矩阵．
（1）求逆矩阵；
（2）若矩阵X满足，试求矩阵X．

C．选修4－4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

D．选修4－5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：．
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．已知（其中）
（1）求及；
(2) 试比较与的大小，并说明理由．
23．设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

参考答案

一、填空题
1．;2．8；3。；4。0.030 3；5。；6。；7。;8. ;
9. 或;10. 9组; 11． 12． 13． 4 14．3

二、解答题
15.解：设．
（Ⅰ），，，，
，由，用余弦定理得 …………7分
（Ⅱ）
设，由线性规划得．
∴．…………13分
16． 在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………6分
（Ⅱ）存在这样的点P,连接B1C，因为A1B1ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形。∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP ………8分
因B1BCC1， ………12分
∴BB1CP ∴四边形BB1CP为平行四边形
则BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1 ………14分

17．解：（1）由题意，得在线段CD：上，即，
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以 -------------------2分
-------------------4分
所以的取值范围是。 -------------------6分
（2）由题意，得
所以-------------------8分
则，-------------------10分
因为函数在单调递减-------------------12分
所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米-------------------14分
18．解：（1）设椭圆的标准方程为，则：
，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。
（2）设，则圆方程为 与圆 联立消去得的方程为， 过定点
19．解： （1）由题意，则，解得或
因为为正整数，所以， -------------------3分
又，所以-------------------6分
（2）当时，得，
同理：时，得；时，得，
则由，得。-------------------8分
而当时，，得。-------------------10分
由，知此时数列为等差数列。-------------------12分
（3）由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；-------------------13分
当时，，所以成立；-------------------14分
当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则

-------------------16分
又，所以，
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。
即当时， -------------------17分
综上所述，满足题意的正整数仅有。-------------------18分

20．
（2）为偶函数，恒成立等价于对恒成立
当时，，令，解得
（1）当，即时，在减，在增
，解得，
（2）当，即时，，在上单调递增，
，符合，
综上，。 （10分）
（3）

。。。。。。

。 （16分）
附加题
21.A.证明：因AE=AC，AB为直径，
故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
又∠EAC=∠PDE，
所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分
B．（1）设=，则==．
∴解得∴=．--------6分
（2）．---------------10分
C．解：曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线 4分
设，，将这两个方程联立，消去，
得，． --------------6分
-------8分
∴，． -----------------------10分
D．选修4－5　不等式选讲
证明：因为x，y，z都是为正数，所以．-------------4分
同理可得，
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立． -------------------7分
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． ---------- 10分
22．（1）令，则，令，
则，∴； ----------------------3分
（2）要比较与的大小，即比较：与的大小，
当时，；当时，；
当时，； -----------------------------------5分
猜想：当时时，，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，时结论成立，
假设当时结论成立，即，
两边同乘以3 得：
而∴
即时结论也成立，
∴当时，成立.
综上得，当时，；
当时，；当时， --10分
（23）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
同理，．
∵kPA+kPB=0，
∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8
∴．
即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．
（3）∵kPAkPB=1，∴·=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0．
直线AB的方程为，即(y1+y2)y-y1y2=8x．
将-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得
(y1+y2)(y+4)=8(x+6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．

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