一元二次方程的解法-(2).doc

一元二次方程的解法教学设计
学习目标
1、一元二次方程的求根公式的推导
2、会用求根公式解一元二次方程．
3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯
学习重、难点
重点：一元二次方程的求根公式．
难点：求根公式的条件：b2-4ac≥0
学习过程：
一、自学质疑：
1、用配方法解方程：2x2-7x+3＝0．
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
二、交流展示：
刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢?
三、互动探究：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0
(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．
注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号．
(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．

四、精讲点拨：
例1、用公式法解下列方程：
(1) ； (2) ．
总结:其一般步骤是：
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出 的值，最后写出方程的根．
例2、解方程：
（1）2x2-7x+3＝0 （2） x2-7x-1＝0
(3) 2x2-9x+8＝0 (4) 9x2+6x+1＝0
五、纠正反馈：
做书上第Ｐ90练习。
六、迁移应用：
例3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
例4、求方程 的两根之和以及两根之积
拓展应用:关于 的一元二次方程 的一个根是 ,则 ;
方程的另一根是

教学反思：学生能运用公式解一元二次方程，但对求根公式的推导过程掌握比较困难。

“一元二次方程的解法——配方法”教学设计及反思
作者： 潘艳 (初中数学  贺州八步初中数学二班 )    评论数/浏览数： 2 / 101    发表日期： 2011-10-08 19:43:38

教学设计
一、教学目标
1.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为1）.
2.培养思考能力和探索精神.
二、教学重点和难点
1.重点：用配方法解一元二次方程.
2.难点：配方.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.完成下面的解题过程：
(1)解方程：2x2-8=0；
解：原方程化成                  .
      开平方，得                 ，
      x1=         ，x2=         .
(2)解方程：3(x-1)2-6=0.
解：原方程化成                  .
      开平方，得                 ，
      x1=         ，x2=         .
（二）尝试指导，讲授新课
 （师出示下面的板书）
 直接开平方法：
 第一步：化成什么2＝常数；
 第二步：开平方降次；
 第三步：解一元一次方程.
师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么2＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程 ；第三步解一元一次方程，得到两个根.
师：按这三步，我们来做一个题目.
 （师出示例1）
例1 解方程：x2-4x+4=5.
 （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）
 解：原方程化成(x-2)2=5.
      开平方，得x- 2=，
      x1=+2，x2=- +2.
（三）试探练习，回授调节
2.完成下面的解题过程：
 解方程：9x2+6x+1=4；
解：原方程化成                     .
     开平方，得                  ，
      x1=         ，x2=         .
（四）尝试指导，讲授新课
师：下面我们再来做一个题目.
 （师出示例2）
例2 解方程：x2+6x-16=0.
师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么2＝常数的这种样子，也就是左边化成含有x的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）
师：下面我们一起来化.
师：（指准方程）要把这个方程化成什么2＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得x2+6x=16），然后在这个方程的两边加上32（板书：x2+6x+32=16+32），左边x2+6x+32等于什么？（稍停）等于(x+3 )2（边讲边板书：(x+3)2），右边16+32等于25（边讲边板书：＝25）.这样我们把原方程化成了含有x的式子的平方＝常数这种样子.
师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得x+ 3=±5（边讲边板书：开平方，得x+3=±5），解一元一次方程，得到两个根，x1=2，x2=-8（边讲边板书：x1=2，x2=-8）.
师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在 方程两边加上32，把方程的左边配成(x+3)2.这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.
师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：配方法）.
师：下面请大家做几个有关配方法的练习.
（五）试探练习，回授调节
3.填空：
 (1)x2+2·x·2+      ；=(x+      )2
 (2)x2-2·x·6+      ；=(x-      )2
 (3)x2+10x+      =(x+      )2；
 (4)x2-8x+      =(x-      )2.
4.完成下面的解题过程：
解方程：x2-8x+1=0；
解：移项，得                     .
      配方，得                           ，
      开平方，得                 ，
      x1=         ，x2=         .
5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.
（六）归纳小结，布置作业
师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么2＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.
 课外补充作业：
6.填空：
 (1)x2-2·x·3+      ；=(x-      )2
 (2)x2+2·x·4+      ；=(x+      )2
   (3)x2-4x+      =(x-      )2；
 (4)x2+14x+      =(x+      )2.
7.完成下面的解题过程：
解方程：x2+4x-12=0.
解：移项，得                     .
      配方，得                           ，
      开平方，得                 ，
      x1=         ，x2=         .
8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.
四、板书设计
直接开平方法、配方法         例1                   例2
第一步：化成什么2＝常数；
第二步：开平方降次；
第三步：解一元一次方程.

配方法解方程教学反思
     本节共分3课时，第一课时引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，第二课时利用配方法解数字系数的一般一元二次方程，第3课时通过实际问题的解决，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用配方法解题的技能。
     在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：
    1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
    2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。
    3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。
    因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。

分解因式法解一元二次方程的教学设计和反思
发布者： 冯文娟      发布时间： 20/9/2011 PM 8:37:49
分解因式法解一元二次方程的教学设计和反思
一、教学目标
（一）知识与技能目标
1.会用分解因式法解能分解因式的一元二次方程。
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
（二）过程与方法目标
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式法（提公因式法，公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3．通过设置问题串，学生体会分析问题的思考方法。、
（三）情感与态度目标
通过学生探讨一元二次方程的解法，知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。体验成功的喜悦，感受数学学习的乐趣，增加学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点：
教学重点：应用分解因式法解一元二次方程。
教学难点：形如“x²＝ax”等方程的解法。
三、教学方法：列举法、讲授法、练习法等
四、教学过程：
一、创设问题情境，导入新课：
1．复习提问
（1）什么叫做因式分解？分解因式有那些方法？
（2）方程（x－2）（x＋3）＝0是一元二次方程吗？如何解方程（x－2）（x＋3）＝0？试一试。
2. 如果把（x－2）（x＋3）＝0转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．
二、探索新知：
例1  解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可变形x（x＋2）＝0
∴  x＝0或x＋2＝0
∴  x1=0，x2=-2．
分析：第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”。第二步，对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程就是用因式分解法解一元二次方程．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．
课堂练习1：解方程①3x2-6x=0；②2x2=x；③3（x-2）-x（x-2）＝0．
分析③题：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．则 x-2＝0或3-x＝0．
拓展与延伸：.解方程（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．

第一题学生口答，第二题学生笔答，板演．
体会步骤及每一步的依据．
例2 用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．
分析：用十字相乘法分解等式左边为（x＋5）（x-3），原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．
解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．
得，x＋5＝0或x-3＝0．
∴  x1＝-5，x2＝3．
总结因式分解的步骤：①方程化为一般形式；②方程左边因式分解；③至少一个一次因式等于零，得到两个一元一次方程；④两个一元一次方程的解就是原方程的解．
课堂练习2：①y2-y-6=0；②2x2+9x-5=0；
学生练习、板演、评价．教师引导，强化．
例3 解方程（3x＋2）2=4（x-3）2
分析：根据平方差公式，原方程可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．，再进一步变为[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0。
解：原式可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0。
[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0
即：（5x-4）（x＋8）=0．
∴  5x-4＝0或x＋8＝0．
∴x1＝ ，x2＝-8．
课堂练习3： 9（2x＋1）2=（3x-1）2
学生练习、板演、评价．教师引导，强化。
（三）随堂练习：
①  ﹙x＋2﹚﹙x－4﹚＝0        ②  9x2+42x=-49
③   4x﹙2x＋1﹚＝3﹙2 x＋1﹚      ④  y2-16y+64=0  ⑤ 9x2-12=0

（四）课堂总结：
1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
但要具体情况具体分析．
3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，展示了由“二次”转化为“一次”的过程。
作业：教材P．21中1、2．.
五、板书设计
分解因式法解一元二次方程
一、例题
例1．…… 例2……例3……

二、因式分解法的步骤

（1）（2）（3）（4）
三、练习
教学反思

本节课教学注重学生的基础，调动了学生学习的积极性、主动性，并激发了学生学习的兴趣，提高了课堂效率。通过堂上练习、课外作业连贯性的训练，既可以巩固基础知识，又可以把学生学习情况的信息反馈，这样可以了解学生的学习动态。在教学中我没有注意到由于《课程标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决形如“x(x－a﹚＝0、x2－a²＝0”的特殊一元二次方程，但教学时一开始我就增加了学生的难度。所以在今后教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法，然后复习因式分解的基本方法再出示例题，最后总结因式分解法的基本思想和方法是：当一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元二次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。怎样把方程进行快速而准确的因式分解依然是学生的难点,还需要继续训练与讲解,才能有效巩固教学目标.