数与式专题复习含答案.doc

2011年中考数学《数与式》单元复习

(一)重点、难点、易错点
1．重点：
①实数与数轴上点的对应关系，利用数轴解决数的有关问题。
②科学记数法、有效数字及实数的运算。
③整式的有关概念的理解；正确进行整式的计算。
④分式、二次根式的有关概念，性质及运算。
2．难点：
①有效数字的理解、实数的运算的灵活运用。
②同底数幂的运算法则的运用。
③因式分解基本方法的灵活运用。
④理解分式、二次根式的意义。
3．易错点：
①对无理数的常见类型掌握不全。
②在确定近似数的精确度和有效数字时，易忽略小数点后的“0”。
③同底幂的乘法和整式的加减法运算易混淆。
④提取公因式时，若有一项被全部提出时，易忽略括号内的项“1”，误以为是“0”。
⑤易忽略二次根式运算结果必须是最简二次根式。
⑥忽略根式中隐含条件对变形的影响。
(二)基本数学思想与方法
1．基本数学思想：
①转化思想。
②分类讨论思想。
③数形结合思想。
④整体思想。
2．基本方法：
①数轴图示法。
②分母有理化。
③因式分解。
④配方法。
⑤公式法等。
(三)主要考点和典型例题
考点1：实数的概念
例1．(2010巴中中考试题) 下列各数：，0，，0.23(·)，cos60°，，0.303003……，
中无理数个数为（ )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
解：选B 。
分析：，0，0.23(·)，，很明显是有理数；而=3，cos60°=，化简后也是有理数；所以，0.303003……，1－，是无理数。选B。
点评：一个数是无理数必须满足下列两个条件：（1）无限小数；（2）是不循环小数，二者缺一不可。对实数分类不能只看表面形式，应根据结果去判断。如是整式、有理数，不是无理数。在复习中要注意常见的几种无理数：①根号型：，等开方开不尽的数；②三角函数型：，等；③构造型：如1.323223…；④与有关的，如-1，等。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。
例2．(2010年浙江省金华中考试题) 在 -3，－， －1， 0 这四个实数中，最大
的是（ ）
A. -3 B.－ C. －1 D. 0
解：选D 。
分析：0大于所有负数。
点评：只需理解正数大于0，大于负数；0大于负数即可。
例3．(2010年山东聊城中考试题) 无理数－的相反数是（ ）
A．－ B． C． D．－
解：选B 。
分析：－的相反数为-（－）=。
点评：绝对值相等，符号相反的两个数是相反数。
例4．（2010·重庆市潼南县中考试题）2的倒数是（ ）
A． B．-2 C. - D. 2
解：选A 。
分析：因为，所以选A。
点评：只需掌握乘积等于1的两个数互为倒数。
考点2：数轴、绝对值
例5．（2010年台湾省试题）图①数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c。
根据图中各点位置，判断下列各式何者正确？（ ）
A．(a-1)(b-1)>0 B．(b-1)(c-1)>0 C．(a+1)(b+1)<0 D．(b+1)(c+1)<0
A
B
C
O
a
b
c
0
-1
1
图①

图②
－1
a
0

1
b

解：选D 。
分析：从数轴上可知，。则，，，，，。∴(b+1)(c+1)<0。是正确的。
点评：实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数。
例6．（2010江苏宿迁中考试题）图②有理数、在数轴上的位置如图所示，则的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．小于 D．大于
解：选A 。
分析：从数轴上可知，。则，即，∴。
点评：离原点越远，绝对值越大，在原点左边的点离原点越远，表示的数越小，在原点右边的点离原点越远，表示的数越大。去绝对值符号时，一定要判断里面数或式的正负性。此类题通过数形结合，考查了实数与数轴上的点的关系，以及实数大小比较方法之一（数轴图示法）。
例7．（2010年毕节地区中考试题）若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
解：选B 。
分析：由，得
∴。
点评：掌握、、形式的数都表示非负数，“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。
考点3： 实数的运算、大小比较
例8。(2010年兰州市中考试题) 计算： 。
解： 5 。
分析：=2--1+4+=5。
点评：本题含有加、减、乘方、绝对值及特殊角三角函数值的混合运算，一定要注意运算顺序。特别要注意正确去掉绝对值的符号，记住非零数的零次幂等于1的结论，二次根式运算结果必须是最简二次根式等。这些都是易错点。
例9。(2010怀化市中考试题)若，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
解： 选C 。
分析：由于学生对字母代表数的运算不是很适应，因此可以根据这一条件设，则，。由，得。故选C。
点评：比较两个实数的大小，除了用差值比较法、商值比较法、绝对值比较法、平方法、倒数法外，对于特殊的用特值验证会更为简单。
考点4：科学记数法和近似数
例10．（1）(2010年浙江省金华中考试题) 据报道5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万。用科学记数法表示数35.6万是（ ）
A．3.56×101 B．3.56×104 C．3.56×105 D．35.6×104
（2）（2009年绵阳市中考试题）2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范。研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m，用科学记数法表示这个数是（ ）
A．0.156×10－5 m B．0.156×105 m C．1.56×10－6 m D．1.56×106 m
解：（1）选C ； （2）选C 。
分析：（1）35.6万=356000=3.56×105；（2）0.00000156 m=1.56×10－6 m 。
点评：科学记数法的表述形式是，这里，（即是只有一位整数数位的数）。若，则的整数位数减1；若，则是一个负整数，其绝对值等于N的第一个有效数字前0的个数（包括小数点前面的一个0）。
用科学计数法一般题目都有说明保留的位数，没有说明的话，默认保留到不是零的最后那个数。
例11。(2010青岛中考试题) 由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确
是（ ）
A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字
解：选C 。
分析：由8.8×103=8800，可知后面的“8”是百位上的数字，故精确到百位；根据有效数字的概念。8.8×103有两个有效数字8、8。故选C。
点评：近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的哪一位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
例12。（2010山东德州中考试题）德州市2009年实现生产总值（GDP）1545.35亿元，用科学记数法表示应是（结果保留3个有效数字）（ ）
A． 元 B．元 C．元 D．元
解：选D 。
分析：1545.35亿元=154535000000元=元≈元。
点评：不能随意将小数末尾部分的“0”删掉。如2.897精确到0.01的近似数是2.90，而不是2.9。用四舍五入法取得的近似数N=2.90，表示2.895≤N＜2.905的一个近似数；用四舍五入法取得的近似数2.9，表示2.85≤N＜2.95的一个近似数。可见，2.9与2.90是精确程度不同的两个数，不能互相代替。
考点5：代数式的运算
例13。（2010年四川省眉山市中考试题）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：选B 。
分析：A项中将整式的加减法与同底数幂的乘除法混淆，应为第5；C项中同底数幂的乘指数相加，应为2；D项中应为；因此只有B项是正确的。
点评：①不要把同底数幂的乘除法和整式的加减法混淆；②单项式除法的关键是注意区别“系数相除”与“同底幂相除”的含意。如，一定不能把同底数幂的指数相除；③使用乘法公式时，要认清公式中、所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：，。
例14。（2010年门头沟区中考试题）已知，求的值。
解：原式=-4。
分析：，由得。所以，原式。
点评：将所求代数式化简成后，与已知条件相比较发现有共同的项“”。我们将这看成一个整体，由已知得，从而求出原式为-4。当然此题也可以由已知先进行分解因式求出，代入求值。
例15。（2010年山东省济宁市中考试题）若代数式可化为，则的值是__________。
解：5 。
分析：=，由题意，得=，则有：
∴ ∴=5。
点评：本题是配方法的应用，关键是找出、的关系式，以达到求值的目的。
例16。（2010日照市中考试题）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（D）
A．15 B．25 C．55 D．1225
解：选D 。
分析：由图2中数据特点可知，正方形数必须是一个完全平方数，在A，B，C，D四个选项中只有B、D是完全平方数，可以排除选项A和C。又由图1中数据特点可知，，很容易判断出数25不是三角形数。所以选D。
点评：本题属于探索规律性试题，要通过观察、猜想、分析、验证，概括出题设反映出的某种规律，进而解决相关问题。这类试题在近几年各地中考题中多有出现，复习时进行适当训练，培养学生探究能力。
考点6：因式分解
例17．（2010年浙江省东阳县中考试题）在实数范围内分解因式：x3-2x=___ ____。
解：x(x+)(x-)。
分析：因式分解的意义是把多项式分解成几个因式的积的形式。基本方法是：提公因式法、公式法。一般步骤：一提（提取公因式）；二套（套公式）；三分组（分组分解法）；一直分解到不能再分解为止。本题中首先可以提公因式，再观察在实数范围内仍能继续分解。
点评：解决此类问题时，一要注意在什么范围内进行因式分解，二要分解彻底。
例18。（2010年山东省济宁市中考试题）把代数式 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：选D 。
分析：首先提取公因式，剩下的式子是一个完全平方式，能继续分
解。。所以原式=。
点评：（1）提取公因式时，其公因式应满足：①系数是各项系数的最大公约数；②字母取各项相同字母的最底次幂。（2）提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内相应的项应是“1”，而不是“0”。 在本题分解因式的过程中，学生往往把公因式中的常数3漏掉而致错，出错的原因是将分解因式的恒等变形与方程中的同解方程变形混为一谈。
例19。(2010年安徽省芜湖市中考试题) 因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________。
解： 。
分析：通过观察式子各项的符号，将－y2－4y－4组合一起构成完全平方公式，然后与9x2构成一个平方差公式。从而得到： 。
点评：分级分解法，主要适用于二次四项以上的多项式，根据多项式的特点恰当地分组（二、二组合；一、三组合）才能达到分解因式的目的。
利用因式分解进行计算、化简或证明是中考中对因式分解的综合应用，在复习中要引起师生的高度重视。如：已知，求的值。此题千万不能由求出的值后，再代入求值。
例20．(2010 达州 )如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为( C )

A．
B．
C．
D．
解：选C 。
分析：由图可知，余下部分拼成的是一个等腰梯形，并且其上底为2，下底为2，高为（-）。由两图形中阴影部分的面积相等，可得，
∴。选C
点评：本题是两数平方差公式的几何解释。
考点7：分式
例21.（2010浙江省喜嘉兴市中考试题）若分式的值为0，则（ ）
A．x＝－2 B．x＝－ C．x＝ D．x＝2
解：选D 。
分析：要使分式有意义，必须使分母的值不能为零；而要使分式的值为零，则需
满足分子为零，且分母不等于零 。
点评：不能忽略分式的分母不能为零这一先决条件。
例22。下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：选A 。
分析：B项的分子、分母同时乘以的数不相等，不符合分式的基本性质，C项中分子看成一整体，即，去括号后均应改变符号，故C不正确，D中分子、分母不可随便颠倒位置，故D也不正确。只有A项分子、分母乘以2，不改变分式值的大小。
点评：在应用分式的基本性质时，应注意分子、分母中系数、符号的变化，同时把分子、分母分别看成一个整体，然后结合分式的基本性质进行变形，才能保证不改变分式的值。
例23。（2010贵阳中考试题）先化简：，当时，
再从－2＜＜2的范围内选取一个合适的整数代入求值。
解：所求值不存在。
分析：原式= =  ，
在中，a可取的整数为-1、0、1，而当b=-1时，
①若a=-1,分式无意义；
②若a=0,分式无意义；
③若a=1,分式无意义．
所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）。
点评：分式的加减乘除混合运算，要注意运算顺序和分式的性质。本题属于条件开放性求值问题，的取值要使原式有意义，即分母不能为零，因此不能取0。同时要对符合条件的值进行讨论。
例24。 (2010年北京崇文区中考试题) 已知，
求：的值。
解：原式=1。
分析：原式==
==。，。原式=1。
点评：分式的化简与求值，主要涉及两种题型：一是常规的分式化简求值，二是在已知条件下进行分式化简求值，包括一些条件开放性求值问题。此题若根据先求出值，再代入求值，将非常麻烦。采取整体代入法将大大减少计算过程，起到事半功倍的效果。
考点8：二次根式
例25．一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________。
解： 。
分析：根据平方根和立方根的概念可知，设这个数为，则，，因此，。
点评：考查学生对平方根、立方根概念的理解。弄清正数的平方根有两个、立方根只有一个，而负数没有平方根，注意平方根和立方根的区别等。
例26。（2009年眉山中考试题）估算的值( )
A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间
解：选C 。
分析：根据25＜27＜36，得5＜＜6，则3＜-2＜4 。
点评：注意估算的取值在哪两个相邻整数之间是解此类题型的关键。
例27。(2010年兰州市中考试题) 函数中自变量的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x ≠3 D．x ≤2且x≠3
解：选 A 。
分析：根据二次根式的性质以及分式的意义可得： 所以， 。
点评：一定要注意二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零的条件。
例28。（2010广东广州中考试题）若a＜1，化简＝（ ）
A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a
解：选 D 。
分析：根据公式可知：＝，由于a＜1，所以a－1＜0，因此＝（1－a）－1＝－a 。
点评：二次根式的化简，重在掌握二次根式的性质，一定要根据条件灵活运用；还要注意与的区别：它们的运算顺序不同，成立条件不同，运算的结果也不同。
例29。如果最简二次根式和可以合并，那么使有意义的的取值范围是_________。
解： 。
分析：由，得。当时，，所以，。由，得 。
点评：要求掌握最简二次根式、同类二次根式的概念，此题在求出后，最容易忽略不检验此时是否为最简二次根式。应将代入，满足题意，然后再解答。
例30。甲、乙两人化简时分别作了如下变形：
甲：。
乙：。
关于这两种变形，正确的是（ ）
A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都不对
解：选 C 。
分析：分母有理化必须依据分式的基本性质，分子和分母同乘以不为零的因式。甲在变形中分子、分母同乘以，而有可能为0，故甲不对 。
点评：在化简的过程中要保持恒等变形，才能保证得到正确的求解。
(四)复习对策和建议
1。立足于学生，抓落实
复习课有它的特殊性，复习的知识都是过去学生学习过的，就全班而言有的学得好，有的学得不扎实，因此先要深入了解哪些学生学得不好，哪部分知识学得不扎实，才能有目的、有准备的让学生参与课堂活动。
2．立足课堂，抓效率
复习课上教师要注意“以题代点、以题论法”，合理地安排训练时间，注意知识的纵横联系，注意基本方法的训练，注意总结出学习的规律性，充分发挥课堂效益，尽量把问题解决在课堂。
3．立足于课本，抓变换
在复习中要立足于课本，离开了课本的复习必然是无源之水，特别是教师要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在的功能，教给学生通过类比、延伸、拓展出一些新颖的变式题，并加以解决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方法，掌握教材中的通性通法。
4．针对题目，抓本质
复习中学生要做大量的习题，因此教师的思维一定要站得高远，要能把一个知识点的应用和考查方式研究透彻，做到收放自入。